二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法

1、2003年5月第9卷第2期安庆师范学院学报(自然科学版Journal of Anqing Teachers College(Natural ScienceMay.2003Vol.9NO.2二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法舒阿秀1,何家慧2(1安庆师范学院数学计算机系,安徽安庆246011;2安徽省体校,安徽合肥230000摘要:本文主要介绍几种不同类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的三种相对简捷的解法。关键词:微分方程;特解;通解中图分类号:O175.1文献标识码:A文章编号:1007-4260(200302-0103-03对于二阶常系数非齐次线性微分方程:y+p y+qy=f(x的解法

2、,一般教科书上主要归结为其特解的求法,并针对f(x的不同类型分为常数变易法与待定系数法两种。但往往求解过程较为繁琐,计算量较大。本文主要针对上式中f(x的不同类型介绍几种相对灵活简便的求解方法。一、升降法1.先考虑f(x=P m(x,(P m(x为m次多项式的情形。设f(x=a m x m+a m-1x m-1+a1x+a0,则y+p y+qy=a m x m+a m-1x m-1+a1x+a0(1. 1对上式两边连续求导m次,直至方程右边为一个常数,可得:y+p y+qy=ma m x m-1+(m-1a(m-1x m-2+a1y(m+1+py(m+qy(m-1=a m m(m-12x+a

3、m-1(m-1!y(m+2+py(m+1+qy(m=a m m!在上面一系列式子的最后一个中,令y(m=a mq m!(此时y(m+2=y(m+1=0,逐次由下向上代入直至(1.1式即可推得(1.1的一个特解。例1求y-6y+9y=x3的特解。解对原方程连续求3次导数得:y-6y+9y=3x2;y(4-6y+9y=6x;y(5-6y(4+9y=6令y=6/9,(此时y(5=y(4=0逐个代入可得:y=23x +49;y=13x2+49x+29;y=19x3+29x2+2 9x+881。2.设f(x=P m(xe x(P m(x为m次多项式,则y+py+qy=P m(xe x(1.2,此时可令y

4、(x=z(xe x代入(1.2并整理得:z+p1z+q1z=Q m(x,(p1,q1为常数,Q m(x为m次多项式,从而归为1的类型。例2求y-2y=4x2e2x的特解。解令y(x=z(xe2x代入并整理得:z+2z=4x2,利用升降法可得:z+2z=8x;z(4+2z=8再令z=4,(此时z(4=0得:z=4x-2,z=2x2-2x+1,从而z=23x3-x2+x,所以所求特解为:y作者简介:舒阿秀(1977-,女,安徽旌德人,安庆师范学院数学计算机系教师,从事代数教学。收稿日期:2002-12-24=(23x 3-x 2+x e 2x 3.设f (x =P (x cos x +Q (x s

5、in x e ax ,(P (x ,Q (x 为多项式,则y +py +qy =P (x co s x +Q (x sin x e x (1.3利用叠加原理,(1.3的特解y (x 等于方程:y +py +qy =P (x e ax cos x 的特解y 1(x 与方程:y +p y +qy =Q (x e ax sin x 的特解y 2(x 之和,而y 1(x 又等于方程:z +p z +qz =P (x e (a +i x 的特解z (x 的实部,即y 1(x =R e (z (x ;y 2(x 又等于方程:z +p z +qz =Q (x e (a +i x 的特解z (x 的虚部,即y

6、 2(x =Im (z (x 。同时z (x 的求解可归为2的类型,所以(1.3的特解也可用升降法求得。例3求y -2y +2y =x e x sin x 的特解。解先求方程z -2z +2z =x e (1+i x 的特解。令z (x =u (x e (1+i x ,代入得:u +2iu =x ,用升降法求得其特解为:u =-i 4x 2+14x 于是z (x =(-i 4x 2+14x e (1+i x =(14x cos x +14x 2sin x e x +i (14x sin x -14x 2cos x e x ,从而所求特解为:y (x =I m (z (x =(14x sin x

7、 -14x 2cos x e x 。二、公式法设(1对应的齐次线性方程的特征根为 1, 2,由韦达定理:p =-( 1+ 2,q = 1 2则(1化为:y -( 1+ 2y + 1 2y =f (x ,即(y - 1y - 2(y - 1y =f (x 。若令y - 1y =z ,则有z - 2z =f (x ,这是一阶线性方程,易解得:z =e 2x f (x e - 2x d x ,从而z =e 1x e ( 2- 1x f (x e - 2x d x d x ,(2.1对(2.1进一步利用分部积分运算并令积分常数为零可得到以下关于(1的特解的公式:(i若 1 2,则y =1 2- 1e

8、2x e - 2x f (x d x -e 1x e - 1x f (x d x (2.2特别地,若 1,2=a ±i ,则y =e ax sin x e -ax f (x cos x d x -co s x e -a x f (x sin x d x (2.3(ii若 1= 2,则y =e 1x x e - 1x f (x d x -x e - 1x f (x d x (2.4这三个公式的适用范围较广而且f (x =e a c cos x ,e ac sin x 时或 1、2为共轭复根时求解过程要比待定系数法简捷。例4求y -2y +2y =x e x sin x 的特解。解因y

9、-2y +2y =0的特征根为 1,2=1±i ,所以由(2.3原方程有特解:y =e x sin x e -x x e x sin x cos x d x -cos x e -x x e x sin x sin x d x =e x (sin x x sin x co s x d x -cos x x sin 2x d x =(14x sin x -14x 2cos x +18co s x e x (取积分常数为零注:若取积分常数c 1=0,c 2=-1/4,即有y (x =(14x sin x -14x 2cos x e x ,与例3的结果相同。例5求y -6y +9y =2x

10、e 3x 1+x 2的特解。解因y -6y +9y =0的特征根为1= 2=3,故由(2.4原方程有特解:(取积分常数为零y =e 3x x e -3x 2x e 3x 1+x 2d x -x e -3x 2x e 3x 1+x 2d x =e 3x x ln(1+x -2x +2arctan x 。三、拼凑法104安庆师范学院学报(自然科学版2003年为简便起见,仅以f (x =P 2(x e x ,(P 2(x 为二次多项式为例说明此法的可行性。设f (x =e x (ax 2+bx +c ,则y +py +qy =e x (ax 2+bx +c (3.1若 不是对应齐次线性方程的特征根,

11、即 2+p +q 0时,(3.1可拼凑为:y -e x (a x 2+b x +c +p y -e x (a x 2+b x +c +q y -e x (a x 2+b x +c =0(3.2其中:a =a 2+p +q ;b =b 2+p +q -(4 +2p a ( 2+p +q 2;c =c 2+p +q -2a +(2 +p b ( 2+p +q 2+2a (2 +p 2( +p +q 令y -e x (a x 2+b x +c =z ,则(3.1可化为齐次线性方程:z +p z +qz =0进行求解。例6求y +2y +2y =x 2+2x -1的通解。解由(3.2得:y -(12x

12、 2-1+2y -(12x 2-1+2y -(12x 2-1=0令y -(12x 2-1=z 得:z +2z +2z =0,其通解为:z =(c 1cos x +c 2sin x e -x所以所求通解为:y =(c 1cos x +c 2sin x e -x +12x 2-1。通过例子可以看出,利用此法可避免繁琐的求特解过程,直接将(1拼凑为齐次线性方程求得通解,但它只适用于 不是对应齐次线性方程的特征根的情形,适用面不广。同时若 =0或q =0则用此法更为简便。同样地,若f (x =P (x cos x +Q (x sin x e ax ,(P (x ,Q (x 为多项式,对于 =a +i

13、不是对应齐次线性方程的特征根的情形也可用此法直接求通解,但相对复杂一些,此处不作介绍。参考文献1E.R.Love.Particular Solutions of Cons tant coefficien t Linear Differen tial Equations.Th e Ins titu te of M athem atics and its Applica-tion s,25,(6:165166.2胡伟鹏.一类二阶常系数非齐次线性微分方程的解法J.高等数学研究,2001.4(2:4546.3周尚仁,权宏顺.常微分方程习题集M .北京:人民教育出版社,1980.Particular S

14、olutions of Nonhomogeneous Linear DifferentialEquations with C onstant Coefficient of the Second OrderSHU A -xiu 1;HE Jia-hui 2(1T he M ath .and Compu ter Dept .of Anqin g T each ers 'college ,Anqing 246011,Ch ina2Anh ui Ph ysical Education School ,H efei 230000,Ch ina Abstract :T his paper pr imar ily int ro duces thr ee simple solutio ns of sever al kinds of nonhomo -ge