矩阵的计算方法

1、三、小结三、小结 思考题思考题二、分块矩阵的运算法则二、分块矩阵的运算法则一、矩阵的分块一、矩阵的分块第二章 矩阵及其运算第四节第四节 矩阵分块法矩阵分块法机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了，为了简化运算，经常采用简化运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算运算化成小矩阵的运算. . 具体做法是：将具体做法是：将矩阵矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为 的的子块子块，以子，以子块为元素的形式上的矩阵称为块为元素的形式上的

2、矩阵称为分块矩阵分块矩阵. .AAA机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、矩阵的分块一、矩阵的分块,321 BBB bbaaA110101000001例例 A001aba110000b110 1B2B3B即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 , BEOA ,4321AAAA bbaaA110101000001 bbaaA110101000001 aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003b

3、A bA1004机动 目录 上页 下页 返回 结束 有有相相同同的的分分块块法法采采用用列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与设设矩矩阵阵,1BA那那末末列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA二、分块矩阵的运算规则 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则 那末那末为数为数设设,21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 654123321A, 2 222222

4、222 654123321A2.12108246644 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设,3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即是是方方阵阵且且非非零零子子块块都都其其余余子子块块都都为为零零矩矩阵阵上上有有非非零零子子块块角角线线的的分分块块矩矩阵阵只只有有在在主主对对若若阶阶矩矩阵阵为为设设.

5、,5AnA,21 sAAAAOO ,411 srAAA设设rA11sA.11 TsrTTAAA则则TsA1TrA1TsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,21 sAAAAOO ., 2 , 1对对角角矩矩阵阵为为分分块块那那末末称称都都是是方方阵阵其其中中AsiAi .21sAAAA 分块对角矩阵的行列式具有下述性质分块对角矩阵的行列式具有下述性质:机动 目录 上页 下页 返回 结束 并并有有则则若若, 0, 2 , 10 AsiAi.21 sAAAAoo ,621 sAAAA设设oo1 1 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ssBBBAAA

6、00000000000072121.0000002211 ssBABABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 设设,1011012100100001 A,0211140110210101 B.AB求求解解分块成分块成把把BA, 1011012100100001A 10011001A00001121 , EEO1A机动 目录 上页 下页 返回 结束 0211140110210101B 11BE21B22B则则 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB机动 目录 上页 下页 返回 结束 .2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA 1101

7、21011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,100100000001 bbaaA设设 bbaaB100000001000.,ABABA 求求例例2机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解分块分块将将BA, bbaaA100100000001,0021 AA bbaaB100000001000,0021 BB其中其中,011 aaA;112 bbA,101 aaB;102 bbB其中其中机动 目录 上

8、页 下页 返回 结束 21210000BBAABA,002211 BABA aaaaBA100111,2112 aa bbbbBA101122,2212 bb机动 目录 上页 下页 返回 结束 .2200120000210012 bbaa 21210000BBAABA 221100BABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 212121000000AABBAAABA,00222111 ABAABA,123223111 aaaaaaABA,231223223222 bbbbbbABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 212121000000AABBAAABA 22211100ABAABA.23

9、001220000001232233223 bbbbbbaaaaaa机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 设设,120130005 A.1 A求求解解 120130005A,21 AOOA ,51 A;5111 A,12132 A机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;321112 A 12111AOOAA;5111 A.3201100051 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、小结 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中, ,矩阵的分块是一种最矩阵的分块是一种最基本基本, ,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法. .(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分块块法法同同型型矩

10、矩阵阵 ,(2) 数乘数乘的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk,(3) 乘法乘法的的划划分分相相一一致致的的列列的的划划分分与与需需相相乘乘与与若若BABA, 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、小结三、小结(4) 转置转置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11(5) 分块对角阵的行列式与逆阵分块对角阵的行列式与逆阵 sAAAA21OO.21sAAAA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 sAAAA21OO ., 2 , 1112111 siAAAdiagAsiAA且且可逆可逆可逆可逆机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题,0都都是是可可逆逆方方阵阵和和其其中中设设CBCDBA .,1 AA并求并求可逆可逆证明证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考