第十九讲一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案

1、第十二讲：空间解析几何的训练题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1平面与平面相互垂直，则K= （C）A1 B2 C-1 D-2解： ， ， =0 2过轴和点的平面方程是（B）A B C D解：过轴又即3过点且与直线平行的直线方程是 （D）ABCD解： 4空间直线与平面的位置关系是 （B）A 相互垂直 B 相互平行，但直线不在平面上 C 既不平行，也不垂直 D 直线在平面上解：（1） 故或，即(2)上点代入:,直线不在平面上5方程表示的二次曲线是（B）A 球面 B 旋转抛物线C 圆锥面 D 圆柱面解：这是面上，抛物线绕Z轴旋转的旋转抛物面即6在空间直角坐标系中，方程组代表的图形是 （A）

2、A圆 B圆柱面 C抛物线 D直线解：这是旋转抛物面与平行于面的平面的交线是一个圆二、 填空题（每小题4分，共24分）7平面的截距式方程是 解：即8直线与直线的夹角是 解：9已知两平面相互平行，则 ， 解：10过点且垂直与平面的直线方程为 解：点10平面与平面之间的距离d= 解：12在空间直角坐标系中 ，方程表示的曲面是 解：.两个相交平面三、计算题（每小题8分，共64分）13求过点且与连接坐标原点及的线段垂直的平面方程解：（1）法向量（2）平面的点法式方程点，法向量即14过点和且与向量平行的平面方程解：（1）依叉乘的定义知且故取（2）点法式平面方程：即15 求过点且垂直于平面和的平面方程解：（

3、1）取（2）点法式平面方程即16求通过点且平行于直线的直线方程解：（2）所求直线方程17化直线方程为标准式直线方程解：（1）求,（2）求直线上一个点令， 得 代入得 （3）标准式直线方程18确定直线：和平面的位置关系解：（1）设为直线和平面的交角故（2）直线上点代入平面方程故直线不在平面上19指出下列曲面那些是旋转曲面？如果是旋转曲面，说明他是如何产生的？（1）（2）（3）（4）解：若中有两个系数相同时，则为旋转曲面在（2）中，系数相同故选 上双曲线绕轴旋转即旋转双曲面20指出下列各方程在平面解析几何和空间解析几何分别表示什么图形？（1） （2） （3） 解：（1）在平面解析几何表示：圆；在空

4、间解析几何表示：圆柱面（2）在平面解析几何表示：双曲线；在空间解析几何表示：双曲柱面（3）在平面解析几何表示：一条直线；在空间解析几何表示：平面四、 证明题（本题8分）21 证明两平面之间的距离d：证：（1）在平面取一点（2）利用点到平面的距离公式（3）点到:的距离五、综合题（每题10分，共30分）22设一平面通过Z轴，且与平面：的夹角为，求此平面方程解：（1）平面过轴（2）即解得或（3）所求平面的方程或23求过点（1，2，1）且与和平行的平面方程解：（1）（2）（3）（4）点法式平面方程24 设直线问A，B取何值时，才能使直线L同时平行于平面和平面解：（1）已知L的方向向量（2）设=（3）故

5、有从而解得第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1 设则= （A）A BC D解： 2 = （D）A 0 B 1 C D 解：在点（1，0）连续3设在点处有偏导数存在，则=（D）A 0 BC D解：原式=4偏导数存在是可微的 （B）A充分条件 B必要条件C充分必要条件 D无关条件 解：若可微，则存在，反之成立，故偏导数存在是可微必要条件5函数在点（1，1）的全微=（C）A BC D解：在（1，1）6已知且，则= （A）A 2 BC D解：（1）（2）（3）二、填空题（每小题4分，共24分）7 的定义域是 解： 定义域8设则= 解：（1）（2）9 设

6、则= 解： 10设，可微，则= 解：11在点（1，1）处，当，时的全微分是 解：当时，其微分=12设，可微，则= 解：三、计算题（每小题8分，共64分）13已知，若时，求，解：（1）故有（2）（3）14求在点（1，0）处的一阶偏导数，全微分解：（1）故有（2）故（3）15设，求，解：（1）（2）16设，求，解：（1）（2）（3）17 设，可微，求解法（1）：解法（2）：18设，其中有二阶连续偏导数，求解：（1）（2）19设 ，其中，都有二阶连续偏导数，求解：（1）（2）20 设 ，有二阶连续偏导数，求解：（1）（2）四、综合题（每题10分，共20分）21若可微函数满足，计算解：原式注：另法：

7、原式22 设 有二阶连续偏导数，求解：（1）（2）+=五、证明题（每小题9分，共18分）23设 其中可微，证明证明：（1）（2）（3）24设，证明 解：（1）（2）由轮换对称性知, （3）故有选做题 证明 满足=0证： ，故有第十四讲：隐函数偏导数求法及偏导数应用的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1设则是的 （C）A 极小值点 B 极大值点C 驻点 D最大值点解：使同时成立的点，称为的驻点2函数的驻点是 （A）A （1，-1） B （-1，-1） C （1，1） D （-1，1）解：令，得又令得的驻点3下列命题正确的是 （C）A 函数的极值点一定是驻点B 函数的驻点一定是极值点

8、C 可微函数的极值点一定是的驻点D可微函数的驻点一定是的极值点解： 可微，函数极值点一定是驻点 选C4函数在点可微是在的两个偏导数，和存在的 （A）A 充分条件 B 必要条件C 充分必要条件 D 无关条件解：可微偏导数存在，反之不成立可微是偏导数存在的充分条件（注不是充分必要条件）5设点为的驻点，且有，则极大值点充分条件是（D）A BC D解：当时有极值，极小值，极大值。即6设z=f(x,y)由方程 所确定的隐函数，则=（）A BC D解：(公式法)令, , 选C二、填空题（每小题4分，共24分）7函数的极大值为 解：（1）驻点（2）V有极值有极大值8设在点（1，1，）取得极值，则 解：又，即

9、，9方程确定则= 解：令（2），（3）10设则= 解：方程两边全微分：,故11方程确定，则= 解：令12方程确定，则= 解：（1）（2）在（0，1）处：即（3）三、计算题（每小题8分，共64分）13设方程确定 求解：（1）令（2）14设 由方程所确定，求，解：（1），（2）15设方程确定，求，解：令（2）16设方程确定，求解：（1）（2）（3）17 已知点（5，2）是函数的极值点，求的值解：（1）故（2）故18求的极值解：（1）求驻点，驻点（2，-2）（2）判断极值点：V有极值。（2，-2）为极大值点（3）极大值19求在条件下的极值解：（1）化为无条件极值一元函数的极值（2）， 极小值注：代入

10、约束条件得驻点。由实际问题知极大值20函数z=z(x,y),由方程F(xy,z)=x所确定，其中F(0,0)有连续一阶偏导数，求解：令G=F(xy,z)-x, , ，四、证明题（本题8分）21设都是由方程所确定的所有连续偏导数的函数，证明解：（1）注：是一个完整符号，不能认为是和的商五、综合题（每小题10分，共30分）22 设方程确定，求解：（1）求（用复合函数求导法）（两边对X对导，）解，=（注：与15题结果一样）（2）求，=23求的极值解：（1）求驻点： 由 代入得解得或者驻点（0，0）或（1，）（2）判断极值点： 在（0，0）点处：无极值在（1，）处：有极值且 （1，）为极小值点（3）极

11、小值24 把一个正数a分成3个正数之和，并且使他们的乘积最大，求这3个正数解：设a的三个正数分别为依题意：目标函数 约束条件：（1） 化为无条件极值 （2） - ：代入得 ，（，）为驻点（3）判断极值点：，在点（，）处有极值，且 有极大值 由单峰原理有最大值答第十五讲、第十六讲：二重积分的概念、计算及其应用的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1在平面有界且有面积的闭区域D上连续是二重积分存在的 （ B）A 必要条件 B充分条件C 充分必要条件 D无关条件解：若在D上连续，则存在，反之不成立，故选B2在平面闭区域D上有界是二重积分存在的（ A ）A 必要条件 B充分条件C 充分必要

12、条件 D无关条件解：若存在，则在D有界，反之不成立，故选A3设为连续函数，则 （ A ）A.B.C.D.解：交换二次积分次序原式 选A4设则在极坐标系下= （ D ）A B.C D.解：采用极坐标定限原式 选D5设则= （ C ）A BC D解：（1）画出D的示意图（2）原式6设D：=（B）A0 B. C D解：（1）画出积分区域D（2）原式（D关于y轴对称，关于x轴为奇函数）原式 选B二、填空题（每小题4分，共24分）7设若，则 解：由二重积分几何意义知上半球体积 8若D：，则 解：（1）画出积分区域D（2）原式9设D：则 解：（1）画出D（2）D关于y轴对称，且关于x为奇函数原式010设D

13、为，则 解：（1）画出D（2）原式11设则 解：原式12交换积分次序后， 解：（1）画出积分区域D（2）交换二次积分次序：原式I=三、计算题（每小题8分，共64分）13计算，其中D由所围闭区域解：（1）画出积分区域D（2）选择积分次序：为了不分片先对y分积分，后对x积分原式=14计算，D由所围闭区域解：（1）画出积分区域D（2）为了不分片先对分积分，后对y积分原式15交换积分次序解：（1）画出（2）交换积分次序I16计算解：（1）画出积分域D（2）交换积分次序I 17计算解：（1）画出积分区域D（2）改用极坐标定限，计算18计算解：（1）画出（2）改用极坐标定限，计算19计算，其中D由，所围闭

14、区域解：（1）画出积分区域D（2）D关于y轴对称，关于x为偶函数。20计算解：（1）画出积分区域D（2）D关于轴对称，y关于y为奇函数四、综合题（每小题10分，共20分）21计算解：（1）画出积分区域（2）交换积分次序（3）计算二次积分22由圆及直线所围成第一象限的薄板，其密度，求该薄板的质量解：（1）画出平面图形（2）设该薄板质量为M五、证明题 (每小题9分，共18分)23证明证：画出左式积分区域D右式24设为连续函数且，其中D：所围闭区域，证明：解：(1)画出积分区域D(2)二重积分是一个确定常数(3)A移项得 A 故第十七讲：数项级数的敛散性的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24

15、分）1若则常数项级数（ D ） A发散 B.条件收敛C绝对收敛 D .不一定收敛解：，但发散；，但收敛 选D2设收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A B.C D解：2008由性质收敛3下列级数中一定收敛的是( A )A BC D解： ，取，且收敛，由比较法收敛4下列级数条件收敛的是（ C ）A BC D解：（1）发散（）（2）为莱布尼兹级数收敛，选C5级数 （k>0）（ B ）A发散 B绝对收敛C条件收敛 D敛散性与K相关解：取且收敛，故选B6设正项极数则（D）A.当0<p<+时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p1时级数发散C.当p1时级数收敛，p>1时级数

16、发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P1时失效。故选D二、填空题（每小题4分，共24分）7若则常数项级数一定是 （发散）解：若收敛，则。由逆否命题知：若则发散8当收敛时，则P>4解：由p一级数的敛散性知，当P3 >1时级数收敛，故P>49级数的前9项的和解:10的和S=解：11若数项级数收敛，则r的取值范围是 1<r< 1 解：收敛，当时收敛12若收敛（a>0），则a的取值范围是 解：三、计算题（每小题8分，共64分）13判别的敛散性解： =取且收敛由比较法的极限形式知也

17、收敛14判别的敛散性解：（1）当时，(2) 1，且收敛（p=2>1）由比较法的极限形式知，也收敛15判别的敛散性解法：（1）这是正项级数 <且，收敛 由比较法非极限形式知收敛解法（2）收敛，收敛由性质知也收敛16判别解：这是正项级数<1由此值判别法知也收敛17判别解：（1）这是正项级数且含有,用比值法（2）由比值法知收敛18判别解：（1） 取（2）判别的收敛性<1收敛（3）综合（1）（2）有收敛，故原级数收敛19判别，若收敛，是绝对收敛或条件收敛解：（1）这是任意项极数（2）（）且收敛收敛故绝对收敛20，若收敛，是绝对收敛或条件收敛解：（1）1且发散 发散为交错级数令（

18、）即有>故原级数条件收敛四、综合题（每小题10分，共20分）21讨论级数在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性解：（1）当0<a<1时， 1级数发散（2）当a1时（3）当时由比较法也收敛22讨论级数在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性解：（1）当0<a<1时且收敛（p=2>1）由比较法知也收敛（2）当a=1时，收敛（p2>1）（3）当a>1时， 由此值判别法知发散 综合：当收敛，当发散五、证明题（每小题9分，共18分）23若正项极数收敛，证明：也收敛（反之不成立）证明：（1）收敛当n充分大时，

19、有：0<<1故有（n充分大时）（2）且收敛由比较法也收敛注：反之不成立如收敛但发散24若收敛，收敛，证明：也收敛证：（1）（2）且由此比较法知也收敛 即也收敛选作题：设 >0 收敛，且存在。证明0（提示：用反证法）证：反证法：设且存在又发散，由此比较法的极限形式知：也发散 这与的题设矛盾故有0第十八讲：幂级数收敛域把函数展成幂级数的练习题参考答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1若收敛半径为， 的收敛半径为（<）则的收敛半径为（ D）A、 B、 C、 D解：的收敛半径是收敛半径为， 的收敛半径为中较小的 即2若在收敛，则在内，（A） A、绝对收敛 B、条件收敛C、

20、发散 D、可能收敛也可能发散解：由定理知，若在收敛则在内绝对收敛 选A3把（其中）时，其收敛半径R（A）A B C D解： <1 R 选A4的收敛区间（考虑端点）是 （C）A（1，1） B-1,1C D解：（1）的半径 ；的半径 故R；（2）在发散，收敛 故原级数在发散 选C5设，则（A）A BC D解：（1） 故选A6幂级数在的和函数（ B）A B C D解：令 故选B二、填空题（每小题4分，共24分）7幂级数 解：收敛半径8幂级数在x3处条件收敛，则该级数的收敛半径R 解：级数在x3条件收敛，当绝对收敛当级数发散 故R39幂级数的收敛半径 解：，<3 < 故R10幂级数

21、解： 故11)展成的幂级数，则= 解：收敛域12将展成幂级数，则 解：（1）（2）收敛区间三、计算题（每小题8分，共64分）13求的收敛半径与收敛域解：（1） 收敛半径R2（2）当2时，发散当2时，收敛（莱布尼兹级数）（3）收敛域为14求的收敛半径与收敛域解：（1）收敛半径R3 有 即 （2）当5时，发散（调和级数） 当时，收敛（莱布尼兹级数） （3）级数的收敛域为15求的收敛半径与收敛域解：（1） ， ， R2（2）当时发散（3）级数的收敛域（2，2）16将展成（）幂级数（）解：（1）变形（2）展开（3）收敛域（即收敛区间）<117将展开成x的幂级数解：解法（1）收敛域： 解法（2）（

22、）18将展开成的幂级数解：（1）变形（2）展开：（3）收敛区间故有收敛区间19将解：（1）变形（2）展开（3）收敛域（即收敛区间） 20利用逐项积分将展开成麦克劳林级数，并求其收敛域解：（1）（2）当时 收敛（莱布尼兹级数）当时，收敛 故有收敛域四、证明题（本题8分）21利用的麦克劳林展开式，证明：证：（1）令(2) 收敛区间：（3）令移项： 证毕五、综合题（每小题10分，共30分）22求幂级数的收敛域解：（1）变形：原式=（2）（3）当时，发散当时，发散故级数的收敛区间：23将的幂级数解：（1）变形：（2）展开：（3）收敛区间：收敛区间24将展开成x的幂级数，并由此求之值解：（1） 原式=收

23、敛区间为（2）求之值令，=故有=1选作题 ：将展开成x的幂级数解：收敛区间：，故收敛区间：第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案一 、单项选择题（每小题4分，共24分）1微分方程是 （B）A一阶线性方程 B一阶齐次方程C可分离变量方程 D二阶微分方程解:变形 原方程是一阶齐次方程,选B2下列微分方程中，是可分离变量的方程是 （C）A BCD解:是可分离变量方程,选C3的通解是 （B） A B C D解： 选B 4满足的特解是（A）A BC D解：由 得,故 选A5满足的特解是 （ B ） A B C D解：由,知故特解为 选B6可降阶微分方程的通解是 （D）A BC D解：(1)方

24、程不显含:令,. 选D二、 填空题7的通解是 解：令.，8满足的特解是 解：(1)(2)由 特解9满足的特解是 解：(1) (2)特解 10求的通解为 解： ,通解11的通解 解： (可用可分离变量做)12的通解 解：三、计算题13 求曲线所满足的微分方程.解： 通过求导,设法消去任意常数,这是所求的微分方程 14求的通解. 解：(1)判别方程的类型:可分离变量方程 (2) .即:15求满足的特解.解：(1)可分离变量方程(2) (3) ,又.特解16求的通解. 解：(1).一阶齐次方程 (2)令 或 为通解.17求满足的特解.解：(1)变形:.一阶线性方程 (2)(3),特解:18求的通解.

25、 解：(1)变形:.一阶线性方程.(2)故为所求的通解.19求的通解.解(1)降阶法:方程不显含. 令(2).一阶可分离变量方程(3)20求满足的特解. 解：(1)降阶法,方程不显含.令(2)当时,初始条件舍去当时,特解 四、证明题21设曲线上任一点处切线与直线垂直,且曲线过点,证明曲线是以原点为圆心,半径为2的圆.证：(1)列出微分方程,设曲线,画出示意图.直线OM:的斜率为,曲线切线斜率为.依题意:(2)解微分方程:,由故有曲线: 证毕五、综合题22有连接,两点的一条凸曲线,它位于AB弦的上方,为该曲线上的任一点,已知该曲线弧与AP之间的面积(如图阴影部分)为,求该曲线方程.解：(1)列出

26、方程,设阴影部分面积为S S=曲边梯形OADPC面积梯形OAPC面积一阶线性方程(2)通解(3) 故所求的曲线方程为23设可导,且满足求. 解：(1)把积分方程化为微分方程. =1且(2)解微分方程(3)由得故有特解24设,且,求的具体表达式解(1)把偏微分方程化为常微分方程由轮换对称性知:即有 这是可降阶的二阶微分方程.(2)令,第二十讲:二阶线性微分方程的练习题答案一、单项选择题1以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 ( )A B C D 解： 故有 选D 2 的通解为 ( )A B C D 解： 选D 3的待定特解( )A B C D 解：(1), (2) 是特征单根 选B 4的待定特解( )A B C D 解：(1),(2)不是特征根,5的待定特解( )A B C D解：(1),特征根(2)不是特征根, 选B 6若和是(为常数)的两个特解,则(为任意常数)是 ( )A 方程的通解 B 方程的特解C 方程的解