振动理论习题答案

《振动力学》一一习题

第二章单自由度系统的自由振动

2-1如图2-1所示，重物”悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物区从

高度为h处自由下落到叱上且无弹跳。试求明下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规

律。

平衡位置

力

解:

皿」丛氏片=4^

2g~

动量守恒:

卬2W.+W,

T岭=-------%，

grr।IVT,

平衡位置:

W；=Q,叫

X'=T

_叱+吗

叫+吗=。2,Xi2~~T~

故:

w,

故:

x=-x0cos^y„r+—sincont

例

=-X0COS69„r+—sin69,/

2-2一均质等直杆，长为/,重量为仍用两根长〃的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图

2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

a

_L_L

.W________T_______

解：给杆一个微转角。

a

20=ha

2F=mg

由动量矩定理：

10=M

1〃

Ir==—ml

12

“厂•eaa2

M=-F6zsinezcos—«-m^—a=-m2——a

228力

其中

0.

sinacos—®1

2

—ml~0+mg•-8=0

124h

〃2=血

Pnl2h

7=生=0包=曳（A

PnvWa《3g

2-3一半圆薄壁筒，平均半径为R,置于粗糙平面上做微幅摆动,如图2-3所示。试求

其摆动的固有频率。

、

机

R

八------

7/////////////////////////7i2—

图2-3图2-4

2-4如图2-4所示，一质量〃z连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求以下情况

系统作垂直振动的固有频率：

(1)振动过程中杆被约束保持水平位置;

(2)杆可以在铅垂平面内微幅转动;

(3)比拟上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T2-9答案图T2-9

解:

⑴保持水平位置:

⑵微幅转动：

K/,+12

=72〃7g7_L______(_______Qina

(什西/4[(#4)&2(/函」

+l^-lk2

G；+，2)KL+AQ+DW

」以1\+“+1汰-1、16

—"PWg

弛+典

mg

故:

k2i,=k2+ky=1k

_k、k?3

123一

k[+a33

一"⑵&

1234—

“123+”42

⑴52。，/"半

⑵则-=2犷学

2-7图2-7所示系统，质量为初的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动

惯量为/,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。

解：

系统动能为:

711/iYFl,2If11

22|_2-212-人"]

if/3Y

司叫+房+泮下2

2-

系统动能为:

rT=\7ir=v*

根据:1

ma>—'max'人max—卬〃人max

k、+k、—7

2(i)=------------------

〃/3

明+示+产

2-8如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼

系数及阻尼固有频率。

斗

图2-8

解:

mOl-/+cfki'a+k3bZ?=0

ml~O+ccrO+klr9=0

0二①〃"8]=I=2—2/

/Vinv4m1bk2ml

由J=1=J=—y/rnk

'a

2-9图2-9所示的系统中，w=lkg,Z=224N/m,c=48N.s/m,/i=/=0.49m,12=1/2,h=

1/4,不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率口“及阻尼7。

图2-9

图所示的系统中，加=

{2.26}T2-26Ikg,k=144N/m,c=48N・s/m,/|=/=0.49m,/2=0.5

/,/3=0.25/,不计刚杆质量，求无阻尼固有频率”及阻尼

6

Z

Z

/

图T2-26答案图T2-25

解：

受力如答案图T2-26。对。点取力矩平衡，有:

mOlx-/]+cGly•/3+k0l2•/2=0

疝衿+ci；@+kge=u

m0+-c0+-k^=0

164

n2=1---人-=3”6

4m

—>q=6rad/s

1

武=2次

"2

C|

=————=0.25W^

16/〃2co“T

l

片T

Y

Jsinco/

第三章单自由度系统的强迫振动S

上i

r

III

3-1如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力P(f)=《sinoi。试求质

量块的振幅。

图3-1

解：设弹簧1,2的伸长分别为的和垃，那么有，

x=x[+x2(A)

由图[1)和图(2)的受力分析，得到

%内=kx+匕)sincot

22(B)

欣=-k2x2(C)

联立解得，

..k\k?k、_.

nix=----L-x+------Rsincot

k.+k2k]+k2°

..k\k、k、门.

x+---———x=----=----smcot

(%+&)/«(kx+k2)m

p=Ik、k2

所以V〃g&),〃=(),得，

3-2图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力P(/)=4sin。/,

写出系统运动微分方程，并求以下情况中质量机作上下振动的振幅值：(1)系统发生共振;

(2)。等于固有频率q的一半。

解：图(1)为系统的静平衡位置，以妫系统的广义坐标，画受力如图(2)

10=—21c(21点)一31・k(。・31)+31Rsin5

又I=mP

＞；4c-9k3.

GH---04----0=—7^sin69/

mmml

那么

29k

Pn=—

m

4c3Po

mml

%=/J

y(Pn/+(2〃⑼"

B=IB(1=,㈤

J(P；-))2+(2〃0)2

1）系统共振，即〃〃="

co=-P

2)2f)

3-3建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率①”，阻尼比，以及稳态

响应振幅。

/1sincW

图3-3

解：以刚杆转角。为广义坐标，由系统的动量矩定理

412m0=-k(l(p-xs)l-cl~(p

c.kka.

(p+——(pH-----(p=—sincot

即4/T?4/n/

p=[±2〃一工G=-心旦^=~

令，"V4/n,4/77,Pn8〃iPn,4，〃/,P”得到

h

B©=f

J(〃:--2)2+(2〃3-

—X2I

B=BQ=―4----------=〃=

p；(「*(23)2—2+(2对

VPnPnPn

3-4一机器质量为450kg,支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm,机器有一偏心重,

产生偏心激振力4=2.254〃/g,其中①是激振频率，g是重力加速度。试求：

(1)在机器转速为1200r/min时传入地基的力；(2)机器的振幅。

解：设系统在平衡位置有位移x,

那么〃吠+丘二£)

x+-x=^-

即mm

又有，叫=他「那么①⑴

；一0

p0=40万

所以机器的振幅为k1-2-(2)且n⑶

又有团久⑷

将(1)(2)(4)代入⑵得机器的振幅3=0.584mm

那么传入地基的力为〃/=3=514.7N

x(t)=Bsin^fy/+-^

2-9一个粘性阻尼系统在激振力尸")二用sin/'作用下的强迫振动力为

A)=196N,B=5cm,/=20兀「ad/s,求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功％及卬2。

由已知可得：

P(t)=P(}sinwt=19.6sin20-

7t71

x(r)=Bwcos(vvr+—)=；FCOS(20R+—)

66

W1二J；P⑴x(t)力

rl71

=JJ9.6sin20加%cos(20^r+—)dt

.../rcos40^-r,i.„ri.<,八、」

=-4.9x/3—————10一4.9乃］()(I-cos804/)力

=-15.39J

同理可得：

W2=j^P(r)x(r)</r

=19.6sin20m•兀cos(20加+令力

=0.0395J

3-5证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为

k(1-22)2+(2^)2

证明

广7722

△E=-cco~B~cos(切-(p)dt=-7rca)B~

Jo

B='F/

,(1_邛+好储

AL万斤2"

AE=一九cco-----\-------=——--------好-------

(1一储y+4jzk(i-r)_+(2^>i)2

3-6单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，MO)=x(0)=()。试求系统的响应。

图3-6

解：由图得激振力方程为

F(f)=-P]t}<t<t2

ot〉t2

当0〈/〈八时，F(r)=《，那么有

-rPP

“。)-I—―sin/?,,(/-T)dT--4-[1-cospnt\

升明"甲〃

2_k_

由于7,所以有

X/)=y[1-cosp,j]

当力时，尸⑺=一匕那么有

x(0=「一^-sinp“Q-7)dr+f—^-sinpn(t-r)dT

J。呷〃人，〃P“

='[cosp“a-1)-cospt]--^[1-cosp”(。-/)]

tnK

当/工时，27)=°,那么有

x(f)=f—sinpn(t-i)dr+[——sinpn(t-i)dv

J。mpnM叩“+o

pp

=_[cosp”&-1)-cosp„r]-[cospn(z2-z)-cosp„(/1-/)]

3-7试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。

解：由图得激振力方程为

0、〕%(一)

0/)/,

F(r)=^(l一一)

当力时，4,那么有

x")=——/^(I--)sinpn(/-r)Jr=11--"cospnt+——sinpnt]

当f＜力时，/⑺二°,那么有

Ml)=P------^(l--)sinp〃(/一r)dr+0

,()mp〃4

P.t十」一[sinpnt-sinp“(f-。)]}

=-{-cospnt

P3

3-8图3-8为一车辆的力学模型，车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度攵以及车辆的7、

平行驶速度外道路前方有一隆起的曲形地面：

a1-cos

(1)试求车辆通过曲形地面时的振动;

(2)试求车辆通过曲形地面以后的振动。

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，通『一依)'一匕)

2K\

ys=acos-j-X

由曲形地面：I,得到^y+ky=kys

F(T)=ka(\-cos-x)

得到系统的激振力为，I

x=vt

/.F(r)=^z(l-cos-^vr)

(1)车通过曲形地面时°q"乙的振动为

阿X景sinp.d)小黑)d-j；ciinp“C2

sin(p“+a))t+sin(p“一①)1COS(P〃+CO)t+cos(〃”-co)tP，]

即“{sinpnt[]+cosp/[

2(P“+M2(pn-co)2(p〃+①)2(pn-co)Pn3

,pcoscyr〃“cosp/]a,、->、

na+

〃----7；--^----^=-----r(^~cosp,/-p；cos6yr)

=a(l-cosp/)(〃“一口)(pn-co)P；一①

(2)车通过曲形地面后的振动

车通过曲形地面后,之。以初位移泡)和初速度的)作自由振动，即

ML)=a+J，画cosp/-p：cos<yr1)y(t])=,",(一/p“sinpnt}+cop；,sino')

p；一".凡一”

y(f)

y(t)=)cosP”(1-q)+sinpn(r-r,)

由公式P”，得到车通过曲形地面后的振前响应为

)0=----r[cos〃J-cosPn(r-r1)

Pn

k2不

Pn2=—0)=——V

其中，加,Io

或积分为

/、1I广(7)-/、7s>n〃”('一丁)'〃一工cos3汇sin

y(r)=------sin/7n(r-r)6/r=pn(t-r)dr]

J。mpn

2

coar,、

=------T[COSpltt-cospn(r-/,)

Pn-"

3-9图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离

接触的时间。

m

3-10图3・10所示的箱子从高〃处自山下落，箱体内有足够的间隙允许质量〃7运动，并且

箱体质量远大于〃?。假设箱子触地后不再跳起，试求：（1）箱子下落过程中质量块相对于

箱体的运动；（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。

图3-9图3-10

第四章多单自由度系统的振动

4-1图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设叫二吗=〃4=〃?,

k1=k、=k%=k、=k,==k0试求系统的固有频率及振型矩阵

图4-1

解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为

m00~3k-k-k

0zw0K=-k3k-k

00m-k-k3k

9

由频率方程区一〃讽=°,得

3k-mp2-k-k

-k3k-mp2-k=0

-k_k3k-mp2

解出频率为

由特征矩阵B=K-p2M的伴随矩阵的第一列，

(3k-mp2y-k2

aW=H+k(3k-mp2)

k2+k(3k-mp2)

将P’F，〃代入得系统的第一阶主振型为

A⑴=(111)7

A⑵满足如下关系：

(A⑴)，MA⑵=0,(长一武乂明⑵二。

展开以上二式得，A'+A『+A'=O。取对)=°,守=一1,可得到4"=1。即有

A⑵=(-101)，

A⑶满足如下关系：

(A⑴AMA⑶一0,(A⑵pMA⑶-O(K-P；M)A⑶=0

展开以上二式得，A："+4『+A『=°,_A：3)+4，=0,联立得A")=A『。取A「)=I,

A；"=1,可得到4；"=一2。即得

A⑶=(1-21)7

主振型矩阵为

1-11

A=10-2

111

图4-2

4-2试计算图4一2所示系统对初始条件/=［。000(和尤=400vf的响应。

解：在习题4-6中己求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为

1-11-1

11-V2-11+&

4=(川)4⑵4⑶呼

1_(1_&)-1-(1+扬

11

主质量振型为

11-V2-11+V2m000

1V2-1-I-1-V20in00

111100m0

000in

■4.000000

T_0-0.41400

M„r=ArMA=m

004.0000

00013.657

AR=^J=AU)

正那么振型的第，列为'

由此得到正那么振型振型为

0.5000-0.65730.5000-0.2706-

10.5000-0.2706-0.50000.6533

AN=

4m0.50000.2706-0.5000-0.6533

0.50000.65330.50000.2706

正那么坐标初始条件为

-0.50000.5(1000.50000.5000-1

-0.6533-0.27060.27060.65330

30)=A；M/=瓜

0.5000-0.5000-0.50000.50000

-0.27060.6533-0.65330.27060

■0.50000.50000.50000.5000-100ril

-0.6533-0.27060.27060.6533(1

.rs(0)=4(.A/AU=yfm

0.5000-0.5(XH)-O.50C00.5000(0

-0.27060.6533-0.65330.2706(0o।?•.M

^Mx_°,

x,v(0)=A0x^(0)=ANMX0_7W(V0V0厂

v\[m.

八%A，3=-----------sin%，

正那么坐标的响应为无M=而1，,打4二。

9*N2=°,〃3其中频率为

〃3=

Y-A0)+A⑵X+A⑶X4-A<4)¥

最终得到响应，由X—ANY十ANX“2十A,VX/V3十八耳X?V4，展开得到

1

V-1

]COSR

2P3

VI.

-(/+—sinp^)

2P3

v.1..

-(/一一sinpt)

2Pyy

X=AK+4)加+4%3+&kvs=

vI..

TQ——sinpj)

2Px

v1.、

-(/+—sinp^r)

,2P3

能：从6—6中可得主频率和主振型矩阵为

'"7000、

0m00

M=

00m0

由质量矩阵、000in,,

U0

02-V2

M/,二Ap『MAp=4/77

00

J)002+仞

那么正那么振刑矩阵为

(2+扬夜-2、

-V2

~2~~T

叵-夜

22

2+叵2-V2

~2~2)

1111

-(2+&)-V2V22+&

A一62~2~~2-2-

N21-1-11

a-2V2-V22-0

、2TF2

7

于是XN(O)=AN-'XO=(O000)

XN(O)=AN-'XO=(VV^0访0

于是得

XNI=li(0)/=v/x/w

X*(v0)7.c

=—~sinp2/=0

Pi

X(O).vyfm

——N二3^sinp]=----sin〃/

Py〃3

XN4=^i^sin/V=0

PA

所以响应为

X=AJ)XNI+Aj女幅+A")XN3+A/)XNN,

X1rI

x?I-1v

sinp3t

X3-12P3

PL

即IxjJ,其中,

-4.000000

0-0.41400

M=A7'MA=m

p004.0000

00013.657

4-3试确定题4-2的系统对作用于质量m\和质量侬上的阶跃力Pi=P4=P的响应。

4-4如图4-4所示，机器质量为网=90kg,吸振器质量为生=2.25kg,假设机器上有一偏心

质量m'=0.5kg,偏心距e=1cm,机器转速n=1800r/m。试问：

U)吸振器的弹簧刚度匕多大，才能使机器振幅为零？

(2)此时吸振器的振幅B2为多大？

(3)假设使吸振器的振幅及不超过2mm,应如何改变吸振器的参数？

第六章弹性体系统的振动

6.1一等直杆沿纵向以速度^向右运动，求以卜情况中杆的自由振动:

(1)杆的左端突然固定;

(2)杆的右端突然固定;

(3)杆的中点突然固定。

EAP

X

图6-1

能：(1)杆的左端突然固定；

杆的初始条件为：G°)=%("=°〃(x°)=v

_]35〃（x）=。sin竺=1,3,5

有题可知‘2/八''2/

力⑼寸一人⑺用嚼松/⑼二。

=pAVD-

17T

4（°）.,

7,=—^-sin/V

所以有：P，进而有:

/、/、（八•g212/.8V7sl.Ex.i/ra

〃（x，/）=LLDisin-^-PAVDi——s,nPf=-L-sin—sin—

a1

z-i.3,5加1.3.5211m0"i=i.3.5212/%

均全部改成：a

图6-2

6-2图6-2所示一端固定一端自由的等直杆，(1)假设受到均匀分布力p(x)=彳的作用,

试求分布力突然移去时杆的自由振动响应；(2)假设杆上作用的轴向均匀分布干扰

力为与sin。/,试求杆的稳态强迫振动。

解：t-=0时的应变为EA

杆的初始条件为

⑴』；等必”祟

JoEA2EA

«o(x)=0

一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为

Pi=1,3,5...)

=D.sin=1,3,5……)

将主振型代入上式归一化为

2

£pA(D{sin^x)dx=i

以正那么坐标表示初始条件为

小'1人,6-讥.PPO八8尸sini乃2

，(0)=|0。A*)?S}n—xdx=—^Dt—(—―——)

J0212Ein2i7i

功(0)=0"=1,3,5……)

8/.讥2

(而万一夕

i~7i

以正那么坐标表示对初始条件的响应为

7=%⑼cosR

于是杆的自由振动为

3

/、白】/、inpp.}八8/,sin/

〃*")=Z5q(l)=X0sm歹•聚。二(^—-)

i=l,3,5...<=1,3.5...ZlZ匕l冗/i兀

161.inxiita

f2121

16£)/1.ijixina

u(xj)=,〉--sin---cos----

兀3£44..『2!2/

杆左端固定端，右端为自由端

〃(x")=U(x)(Acosp/+8sinpt)

U(x)=Ccos-^十Dsin—

aa

边界条件

丝=0

U(0)=0dxxsl

得固有频率，主振型

⑵一1)万、八.⑵―1)乃

P,=-力—&U,(x)=0sin---x

i=l,2,

/.白.i7ix..i7ia八.ijui、

u(x,t)=〉sin——(A；cos---，+8sin——t)

右,..2//21121

杆在x处的应变

与

%=('——dx

°J。EA

2EAI

初始条件

px3

〃(X,0)=Ho(x)=

••

W(X,0)=Mo(x)=0

由〃(x,O)=〃o(x)=O得

Bj=0

.、ijrci

u{x,t)=>sin——A-cos---1

2/2/

再利用三角函数正交性

A二门才(篝心二工小心皿篝公

J。2EAI21

A._W

得'i3;r3EA

/、S.i7Di.ijra

w(x,r)=〉sin——Acos---1

4…21121

16R//1.i7ixijra

=aJ〉-rsin——cos——

『不3叫=£『2/21

(2)解：

因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为

2焉93,5…)

Ui(x)=sin—x(i=1,3,5…)

将主振型代入归一化条件，得

f•\2

[pA.D.sin—xdx=1

Jo('2/)

又第i个正那么方程为

%+p$z=£4(3为小

“冗..板，

=—sin(y/sin—xdx

J。/2/

2。F

=f°sincot(1,3,5…)

171

所以可得正那么坐标的稳态响应为

%S=L~"一smw

(Pi-CD)17T

杆的稳态响应振动为

〃(x，f)=xa%a)=x

r=l,2,-f=l,3.5.-

4/*Qsincot(1.沅

pNn/=1,3.5...i(P；-6/)2/

沅al~E