运用建构主义理论指导一堂课的教学设计

1、 运用建构主义理论指导一堂课的教学设计 陶维林 （南京师大附中 邮编210003） 1教学实录课题：数列的极限。目的：建立数列极限的概念。过程：教师：前一段时间，我们学习了什么叫数列、数列通项的求法、仔细研究了两个特殊的数列等差数列、等比数列。今天我们研究数列的另一个侧面：随n不断增大时，是否“趋向于”某一个常数（虽然“趋向于”并没有确切定义，但是同学们能感觉是什么意思由“粗”到“细”。板书：研究数列随n增大时是否趋向于某一个常数）。请观察下列数列，随n变大时，是否趋向于某一个常数：（1）； （2）； （3）；（4） ； （5） ； （6）.大部分学生在观察、思索，有的在草稿纸上写、划，有的在

2、议论。（几分钟以后）教师：“第一个数列趋向于一个常数吗？” 几乎全体学生：“趋向于1。”（板书：（1）“第二个呢？” “趋向于2。”（板书：（2）教师（小结）：数列（1）中，趋向于1；数列（2）中，趋向于2。“第三个呢？”“不趋向于任何常数。”教师：为什么（提问一个学生）？学生：它一会儿是3，一会儿是3，不趋向于一个固定的常数。教师：噢，“朝三暮四”，不，是“暮负三”。教师：第四个呢？全体学生都认为数列，“它趋向于。” （教师提问一个学生）“不趋向于一个常数，趋向于，请问你心目中的是什么？”“一个很大很大的数。”“是一亿吗？”“比一亿大。”“十亿行吗？”“比十亿大。” 。（学生感到不对劲）“是

3、一个要多大就多大的数。”教师：能确定这个数吗？学生思考片刻，回答“不能。”教师：“不是一个确定的数，是用来描述变量状态的。”第五个呢？这时学生中出现了很大的分歧。大部分学生认为不趋于5，认为它就是5，谈不上“趋向于”“不趋向于”5。事实上，学生没有把数列看成函数。教师未置对否。课后许多老师也觉得“始料未及”。“最后一个数列呢？”“趋向于零。”“怎样趋向于零。”“象阻尼振动一样，摆幅越来越小。”“能靠上零吗？”“不能。”“这个运动会停止吗？”“不会。”教师小结各数列是否“趋向于”一个常数的情况（暂时保留学生中的错误认识）。教师：你们认为随着n的不断变化，数列趋向于1。你们的“趋向于”我还不明白是

4、怎么回事，我请一个同学来解释一下什么叫“趋向于1”（提问一个学生）。“就是无限接近1。”“什么叫无限接近？”“就是n越来越大，与1的差越来越小。”学生又补充说“就是距离越来越小。”“距离比0.1要小，行不行？”“行，只要n比10大就行。”我们用电脑来验证一下（Maple软件）。这时教室的屏幕上出现数列的图象，并同时给出y=0.9，y=1.1的图象，故意给出的n的取值范围是1，4。图象并不在（0.9，1.1）间。教师：数列中的各项并不在（0.9，1.1）上，并不靠近1呀。（片刻）“老师，你给出的n太小了。”把n的范围设定为（10，20）时，数列的各项都在区间（0.9，1.1）上了。教师：看样子，

5、当n在（10，20）上时，数列的各项是在（0.9，1.1）上了，会不会n到了（100，120）间，数列有一项跑出（0.9，1.1）呢？把n的取值范围设定为（100，120），同学们发现数列的各项离开1更近了。教师：你们认为在区间（0.9，1.1）上，此数列有多少项。学生：有无限项。教师：有无限项？赞成的举手（全体同学举了手）。再给出0.01呢，多少项以后，这个数列的各项就能在区间（0.99，1.01）上，大多数同学说100项以后，但有一个同学不加思索就说10000。教师：对，是100项以后。刚才，我听到一个同学说10000，你算了吗？该学生：没算。只要有就行。教师：你们认为他的说法对不对？学生

6、：？，对。教师：对给出的小正数0.01，只要能找到一项，使这一项以后的各项与1的差的绝对值小于0.01就可以了，不必计较大小。（然后，就给出的0.01，0.001，用电脑进行了演示）教师一边与学生讨论，一边板书，至此，黑板形成的板书是：（1），。 nN： 10 100 1000 10000 ： 0.1 0.01 0.001 0.0001 教师：我们把第二行中的数记作，第一行中的数记作N。就是不论给定一个多小的正数（如0.1，0.01，0.001，0.0001，），都能找到一个自然数N（如10 ，100，1000，10000，），使以后各项与1的差的绝对值都小于，即恒成立。你们的“趋向于1”是这

7、个意思吗？“是。”学生一致赞同。教师小结，提出数列极限的定义（板书）：对于无穷数列，如果存在一个常数A，无论预先指定的多么小的正数，都能在数列中找到一项，使得这一项后面的所有项与 A的差的绝对值都小于（即当nN时，恒成立），我们把常数叫做数列的极限，记作A。也可以写成：当n时，A。（板书本节课课题）这就是数列极限的定义。根据这个定义，我们再来查一下其他几个数列。通项公式为的数列为什么没有极限呢？“就是不存在常数A。”（一个学生说）“那么，5是数列5的极限吗？为什么？”停了片刻，原先认为5不是数列5的极限的同学对自己产生怀疑，改变主意，也认为5是数列5的极限。教师：对，数列5的极限就是5。这符合

8、数列极限的定义吗？“符合数列极限的定义。”“无论给定多么小的正数，从第一项起，55=0就恒成立。同学们，常数列的极限就是这个常数本身赞不赞成？”“赞成！”（齐声） 2教学设想数列的极限一直是教学的一个难点，因为它要求学生的认识发生从形式逻辑到辩证逻辑的转变。往往是一段时间过后，甚至到了高中毕业，一些学生还弄不清“N”是怎么回事。本节课就是让学生在自己对“趋向于”的粗糙认识上，经过“协商”、“会话”，来完成数列极限的“意义建构”。教师在此过程中始终注意学生是学习的“主体”，尊重他（她）们，不把任何学生还不能接受的教师认识抛给学生，但又不忽视自己的“主导”地位，比如恰当的“设问”。积极引导使学生的

9、感性认识上升为理性认识。建构主义理论的核心即认为“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”。建构主义认为，虽然学生学习的数学都是前人已经建造好了的，但对学生来说，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成，即用学生自己的活动对人类已有的数学知识构建起自己的正确理解，这应该是学生亲身参与的充满丰富、生动的概念或思维活动的组织过程（1）。建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”、“意义建构”作为学习的四个要素或四大属性。“情景”即要求学习环境中的“情景”必须有利于学生对所学内容的“意义建构”。因此这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然他（她）们对“趋向于

10、”并没有精确的认识，但是凭借他（她）们自身的感受，运用“观察”、“分析”、“归纳”，也能得到一些数列的“极限”。正是由于认识的非理性化，不少同学认为数列5的极限并不是5，这是正常的，这也是认识尚未理性化的必然。在这样的“情景”下，通过“会话”，教师与学生、学生与学生的会话来不断完善学生自己的认识教师的恰当的“设问”，学生间的“争论”，计算机的运用。当学生把几个数列的“极限”找出来后（其实不全正确），教师反问学生，“你们所说的趋向于是什么含义？能否解释给我听。”把学生的认识向理性化推进。“就是越来越近。”“什么叫越来越近？”“就是距离越来越小。”教师在学生亲身感受的认识基础上不断引导学生把这些粗

11、浅的认识精确化、理性化，从而由学生自然得出：不论给出多么小的正数（由0.1，0.01，0.001，抽象出来），都能找出自然数N（由10，100，1000，抽象出来），使以后的各项与常数A的差的绝对值都小于（由“距离越来越小”抽象出来）。这正是数列的极限的定义。由于是任意给出的小正数，这正说明“这个距离要多小有多小”。在以上的过程中，离不开学生与学生、教师与学生间的“协作”。其他同学可以从一个同学的发言受到启发，可以从同学间的争论来完善自己的认识，如一些同学为争论“5”是不是数列5的极限的举手“表态”。“协作”的过程往往也是学习者对学习资料的收集与整理，假设的提出与验证的过程，一些同学不相信当n100时，1与1的差的绝对值小于0.01，为验证0.01是否成立，打开电脑验证n100时，都分布在区间（10.01，10.01）上。从实践及理论上完成对数列极限的“意义建构”。“意义建构”是学习的应用也是学习的目标，所要建构的是对事物的性质、规律、事物之间的内在联系。正是由于强调了“情景”、“会话”、“协作”， “意义建构”就变得十分容易。当完成数列极限的意义建构以后，反过来再认识数列5得极限，就是理论指导下的实践。学生之间的原有分歧消失，认识达到了新的统一。在这一节课上所出现的对于数列，当给出0.01后找N时，一位学生