高精度三角高程测量的严密公式

1、2004年第10期测绘通报15文章编号:049420911(2004 1020015203中图分类号:TB22文献标识码:B高精度三角高程测量的严密公式肖根旺1, 许提多2, 周文健1, 朱顺生1(1. 中铁大桥局集团第一工程有限公司, 河南郑州450053; 2. 西南交大, 四川成都610031The Strict Formula of High Precise T rigonometric LevelingXIAO G en 2wang , XU Ti 2duo , ZHOU Wen 2jian ,ZHU Shun 2sheng摘要:用边长几千米的连续多跨高精度三角高程测量代替连续多跨的

2、二等跨海水准测量, 在像杭州湾大桥跨度几十千米的跨海工程中将得到应用。为此要有相应的公式与之配套, 在对现有公式评述的基础上, 将直接用观测天顶距导出了函数模型误差小于0. 5mm 的严密三角高程测量计算公式, 为高精度三角高程测量在跨海工程中的应用提供参考。关键词:三角高程; 相对垂线偏差改正; 椭球项改正; 折光差改正一、三角高程测量公式评述严格来讲, 垂线是一条空间曲线, 地面上的两点的垂线切线是两条空间异面直线(图1 。但一般文献用图1中的平面三角形P 1O P 2导出的公式(1 , 其函数模型误差达厘米级, 不宜用在高精度三角高程高差测量中 。图2由三角形P 1P 2Q 可知(180

3、°-Z 1 +(180°-Z 2 +=180°图1(3 -Z 122将式(3 代入式(2 并略去二次小项可得Jordon 公因此式2cot Z 1+H 2-H 1=S 1, 2(1+R 12R 2S 2R sin Z 1=90°+K 2h 2-h 1=D 1, 2cos Z 1+i 1-v 2+S (12R以球近似地球, 用图2中的平面三角形P 1P 2Q 。文献1导出了大地天顶计算大地高高差公式, 即H S 2Z Z ( H 2-H 1=S 1, 2(1+tanR 212R 2(2 (4将=S /R , sin Z 11代入式(4 同时略去二次项即得收

4、稿日期:2004202217基金项目:交通部资助项目作者简介:肖根旺(19672 , 男, 河南宝丰人, 高级工程师, 研究方向为铁路工程测量。测绘通报2004年第10期162cot Z 1+H 2-H 1=S 1, 2(1+R 2R用大地线长度计算正常高高差公式2cot Z 1h 2-h 1=S (1+i 1-R 12R 22( (12 v 2-+S m 12R因为式(12 是由球近似导出的, 它缺少椭球项的影rr文献2用椭球近似地球, 导出大地天顶计算大地高高差的公式2H 2-H 1=D 1, 2cos Z 1+2(N 2+H 2 sin -222(B 2-B 1 2cos 2B m(5式

5、中, B 2, B 1, B m 分别为P 2, P 1点的纬度和平均纬度, 其椭球项影响为:22(B 2-B 1 2cos 2B m 。由响, 对于几千米的单向三角高程观测, 椭球项的影响最大可达几厘米, 是不可忽略的。而式(11 、式(12 中垂线偏差非线性变化改正项中的m , 实际上很难求定, 而这项影响尤其在山区也可达几厘米, 是不可忽略的, 必须用可以简单计算的方式来取代, 为此下文将导出相应的公式。图2可知大地天顶Z 和观测天顶距Z 有以下关系Z 1=Z 1+1+1Z 2=Z 2-2+2(6=2R式中, 是照准方向的垂线偏差分量, 是垂直折光差角, R 是P 1, P 2点的平均曲

6、率半径。将式(6 代入式(5 中同时略去二次小项可得2H 2-H 1=D 1, 2cos Z 1+S -S -2R 2二、直接用观测天顶距导出的严密三角高程测量计算公式工程常用两种距离进行三角高程计算, 一是光电测距仪测得的斜距; 二是平均施工高程平面上的平距。下面分别导出这两种距离的三角高程测量严密的计算公式。如图1所示, 过P 1点的垂线P 1O , 过P 2点的垂线P 2O , 它们是两条空间异面直线, 总能找到一条平行与地轴的直线使其与两垂线相交, 或尽可能地靠近到对下文的推导其误差可以忽略不计的程度, 设两垂线分别交于O , O 点。1. 斜距三角高程计算公式由图1中平面三角形P 1

7、P 2O 可得cos D 1, 2cos (Z 1+R 1=(h 2+R 21 +h 1h 2+R 2h 2+R 2-OO cos (90°-2 cos 2(B 2-B 1 2cos 2B m(7大地高差和正常高高差有以下关系H 2-H 1=h 2-h 1+1, 22d s -1, 2=-m S1(8是高程异常差之差, 式中, m 是测线沿线垂线偏差分量均值, 将式(8 代入式(7 得h 2-h 1=D 1, 2cos Z 1-(1-m +(9因此D 1, 2cos (Z 1+=1 +h 1+R 1(R 2+h 2-OO cos (90°-2 cos 22(B 2-B 1

8、2cos 2B m S -2R 2r是h 2, i 1是仪器高, v 2是觇标高, 显然有rh 1=h 1-i 1展开上式并略去二次小项得D 1, 2cos Z 1-D 1, 2sin Z 1=1+h 1+R 12-OO sin 2=2R 2+h 2-2(R 2+h 2 -OO sin 222r设测站点地面的正常高是h 1, 照准点地面的正常高(R 2+h 2 (1-(13h 2=h 2-v r(10因为1, D sin Z 1S , 将其和式(10 代入2R将式(10 代入式(9 得h 2-h 1=D 1, 2cos Z 1+i 1-v 2-rr上式经整理可得(1-m +h 2-h 1=D

9、1, 2cos Z 1+i 1-v 2+2(R 2+h 2S 2-rr-22(1422(B 2-B 1 2cos 2B m (11 S -2R 2-(R 2-R 1 +OO sin 222R式(11 是目前文献所能见到的最严密三角高程测量计算公式, 等式右边的第4、5、6项分别是垂线偏差改正, 折光差改正和椭球改正项, 对于几千米的边长其函数模型误差小于0. 5mm 。同理, 将式(6 、式(8 和式(10 代入式(4 可得由图2可知180°-(Z 1+-(Z 2+1 +180°2 +=180°-=180-(Z 1+1+Z 22同理可得-=180-(Z 1+Z 2

10、代入式(6 得-=180-(Z 1+1+Z 22 +(2-1 =-+(2-1r r将式(21 代入式(20 同时顾及到h 1=h 1-i 1, h 2=h 2-v 2, 则得平距单向三角高程公式即=+(2-1(15将式(15 代入式(14 , 略去二次小项。顾及到2(R 2+h 2 l , 则得斜距单向观测三角高测量2计算正常高高差的公式2h 2-h 1=D 1, 2cos Z 1+i 1-v 2+S +2R +OO -(R 2-R 1sin 2(16 2rr2cot Z 1h 2-h 1=S (1+i 1-v 2+R 12R 2K 2 +S +-(R 2-R 12R 2rrOO sin 2(

11、22其反向方程为2cot Z 2h 2-h 1=S (1+i 2-v 1+R 12R 2K 2 +S +-(R 1-R 22R 2rr其反向观测公式为h 1-h 2=D 2, 1cos Z 2+i 2-v 1+rrOO sin 1(232S -2R对式(22 和式(23 取平均值, 于是得平距双向三角高程公式h 2-h 1=S (1+rr2r rh 2-h 1=+OO +(R 2-R 1sin 1(17取正、反向观测的平均值得双向观测方程(D 1, 2cos Z 1 -D 2, 1cos Z 22K K 2(i 2-i 1 -(v 2-v 1 +S +224R +-(R 2-R 12(sin

12、OO 1-sin 2 2(182(cot Z 1 -cot Z 2R 12R 22(i 2-i 1 -(v 2-v 1 +S +224R +-(R 2-R 12(sin 2-sin OO 1 2(24式中, l 为平均高程面上的平距, 可用椭球近似来估(sin 2-sin 项; 式中的算OO -R 11 -(R 22(2-1 为地面P 1, P 2点相对垂线偏差在测线方向设地面上测得平距为l , 高斯平面上的距离为式(23 、式(24 改为相应距离的三d , 可将式(22 、角高程公式l =S (1+d =S (1+h R y 2(25上的分量, 是一个可以用地面测量值计算的量。2. 平距三角

13、高程测量公式2R 2利用图1中三角形P 1P 2O , 用类似公式(4 的推导得出下式2h 2-h 1=S (1+2 cot Z 1+R 12R 2R sin 2Z 1(19将Z 1=Z 1+1, =+(2-1 , 1=2cot Z 1h 2-h 1=S (1+R 12R 22S +2R 2代入式2R式(16 、式(17 、式(18 和式(22 、式(23 、式(24 对于几千米的三角高程测量其函数模型误差小于0. 5mm , 满足高精度三角高程测量的应用, 与式(11 比较, 其垂线偏差改正可以计算。应用式(18 、式(24 计算的三角高程测量高差相当于水准测量高差的结果。当由它们组成高精度

14、三角高程测量闭合或附合线路时, 与水准测量一样应考虑水准面不平行改正。由对向三角高程测量公式可知, 若不考虑后三项改正, 将产生系统误差, 其中最主要的是两观测点在观测时间内的折光差系数之差异, 这种差别与对向观测时间间隔的长短, 观测时的天气情况及视线高度有关。显然山区折光差的影响比平原小, 但垂线偏差变化大, 因此在山区进行高精度三角高程测量还应加相对垂线偏差改正。(下转第45页(19 展开并略去小于0. 01mm 的二次项得(20由图1可知h 2+R 2h 2+R 2-OO sin 2h 2h 2+R 2-R 2-OO sin 2R 2R 1(21图9(a 。以此绘制的等高线失真, 如图9(b 。图 8图9在绘等高线时, 先根据实地绘出陡坎、斜坡。在建立地面高程模型时, 最好选择“不考虑坎高”的功能, 而用在坎上、坎下立镜测量的高程建模。对于剔除不能代表当地高程的碎部点, 等高线绘好后, 应用展测点点位”的功能展在图上(几乎看不见 , 以便使用者用节点(Node 捕捉该点高程。地形图绘出后, 可以自动生成任意方向