高等数值分析作用――面积坐标

1、 将三角形划分为三个部分,代表整个三角形单元的面积,i 、j 、m 分别代表三角形Pjm 、Pmi 、Pij 的面积,它们分别与三角形单元的3个顶点i 、j 、m 相对应。那么i 、j 、m 分别与的比值L i 、L j 、L m 则称为P 点的面积坐标。i j m L , L , L j i m =又=i +j +m ,所以L i +L j +L m =1根据面积坐标的定义,在平行于jm 边的直线上各点,其L i 坐标值等于该平行线到jm 边的距离与i 点到jm 边的距离之比。对于平行于ij ,im 边的直线,也有相同的性质,于是三角形单元上三个节点的面积坐标为L i L j L m i 点

2、 1 0 0 j 点 0 1 0 m 点1经过二维一次插值,直角坐标和面积坐标的关系为i j m 1L (a +b x+c y,21L (a +b x+c y, 21L (a +b x+c y2i i i j j j m m m =将(,(,(,i i j j m m i x y j x y m x y 代入上式,上式也可以推导为1111 i i j m j ijm m L x x x x L y y y y L =由上式可知,面积坐标不仅把节点位移插值成内位移,而且把节点坐标插值成内部坐标,这样面积坐标把单元的节点插值成内部量。通过直角坐标到面积坐标的变换,可将三角形单元变换为直角三角形形态

3、,如下图。 L j i采用面积坐标分析三角形单元的另一个突出优点,是便于形成形状函数,他可以由下列两个条件唯一确定,即(1 形状函数的阶次和形状与位移函数相同;(2 形状函数N i 在节点i 其值为1,在其余的节点(i 其值为0 下面针对六节点三角形单元举例说明面积坐标下形状函数的确定。i(1,0,0m(0,0,11(1/2,1/2,02(0,1/2, 1/2 3(1/2,0 , 1/2。 。 。1先求三角形顶点i ,j ,m 的形状函数。形状函数N i 在除了i 点之外的其余5个节点其值应为0,显然两条直线j2m 和31通过这5个节点,其方程分别为i i 1L 0, L =2=这样,构建函数

4、i i 1L (L 2-,使其在这5个节点之值为0,又六节点三角形单元有12个自由度,位移函数u 或v 取为完全二次多项式,则形状函数的阶次与位移函数相同也取为二次。再利用N i 在节点i 之值应为1的条件,即可得i i 12L (L 2i N =-对于直线j2m ,即L i =0时,N i =0 对于直线31,即L i =1/2时,N i =0 对于点i ,即L i =1时,N i =1同理可得,12L (L 2j j j N =-,12L (L 2m m m N =-2再来求副节点1,2,3的形状函数。如N 1在除了1点之外的其余5个节点上其值应为0,显然,直线j2m 和i3m 通过这5个节点,其方程分别为i L 0, L =0j =于是,构建函数L i L j ,使其在这些节点上的值为0,且为二次函数,再利用N 1在节点1的值为1,立即可得1i 4L LjN =,24L L j m N =,34L L m i N =在点1时,即L i =1/2,L j =1/2,则1i 4L L j N =1 在点2时,即L