特殊平行四边形拔高复习

1、第一章特殊平行四边形拔高复习一特殊平行四边形知识汇总矩形1如定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：1矩形的四个角都是直角亠2矩形的对角线相等3具备平行四边形的性质3. 判定：1 有一个角是直角的平行四边形是矩形定义2对角线相等的平行四边形是矩形3有三个角是直角的四边形是矩形養形1如定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形厶 ？性质：1菱形的四 条边都相等2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角a 3具备平行四边形的性质丄 3判定：1 一组邻边相等的平行四边形是菱形亠2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3四边相等的四边形是菱形正方形1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直

2、角的平行四边形是正方形鼻2 ?性质：I 边:两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直亠2 内角：四个 角都是90 ；3对角线：对角线互相垂直;对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组 对角；鼻4对称性：既是 中心对称图形，乂是轴对称图形有四条对称轴。5形状：正方形也属于长方形的一种。6 .正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。3判定：1对角线相等的菱形是正方形。鼻2有一个角为直角的菱形是正方形。鼻3对角线互相垂直的矩形是正方形。4 一组邻边相等的矩形是正方形。鼻5-组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。6对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。人7 对角线互相垂直，平分

3、且相等的四边形是正方形。? 8 一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。9既是菱形乂是矩形的四边形是正方形。二专题整合与拔高专题一特殊四边形的综合应用1、 2021?白银如图，在 ABC中,D是BC边上的一点，E是AD的中点，过 A点作BC的平行线交 CE 的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.1BD与CD有什么数量关系，并说明理由； 当厶ABC满足什么条件时，四边形AFB D是矩形？并说明理由.D C考占.J八、专题:分析:考点.J八、专题:分析:解答:解答:矩形的判定；全等三角形的判左与性质.证明题.(1) 根据两直线平行，内错角相等求出 Z AFE=zDCE,然后利用“角角边证明

4、 A AEF和ADEC全等，根 拯全等三角形对应边相等可得 A F=CD,再利用等量代换 即可得证；(2) 先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边 形,再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知 Z由等腰三角形三线合 一的性质可知必须是 AB=AC.解：(1 )BD=CD.理由如下:T AFII BC.? ?. Z AFE=z DCE?E是 AD的中点，AE = DE,rZxOT=ZDCEAEF 和厶 DEC 屮上 AEF 二 ZDEC ?AE=DE? AEF 更厶 DEC (A AS),.? AF =CD,? ?AF= B D ,? ? BD = C D ；

5、当AABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形.理由如下:V AFII BD, AF=BD四边形AF BD是平行四边形，? ?A B=AC, BD=C D,/. Z ADB=9/. -AFBD是矩形.此题考査了矩形的判曲全等三角形的判定与性质，平行四边形的判曲是根底题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解此题的关键.2、13年山东靑岛、2 1 :如图，在矩形A B CD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点1 求证:AA BMAADCM2判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论：3当AD:AB= 时，四边形MEN F是正方形只写结论，不需证明解析

6、：U因为四边形A BCD是矩形，所以，ZA=ZD=90c，人AB=DC,又 MA 二 HD,所以CM四边形MEN F是菱形；理由:因为 CE=EM/CN=NB,所以,FN MB,同理可得:EN MC,所以，四边形 MENF为平行四边形，又厶ABM AAD CM?:平行四边形畑胪是菱形32:13. 2 012珠海,1 8,7分如图，把正方形 ABCD绕点C按顺时针方向旋转 45。得到正方 形A8CD，此时， 点B，落在对角线 AC上，点N落在CD的延长线上，A8交AD于点E,连结AA、CE.求证：1AA DA f aacI E;2 直线CE是线段AA，的垂直平分线.【解析】 1由题设可得 AD

7、二 DC, ZADA =ZCDE=90 DA二 DE.? ADA AACDE.2证CE是ZACA的角平分线，由等腰三角形的“三线合一可得CE是线段AA，的垂直 平分线.【答案】1由正方形的性质及旋转， 得 AD=DC, ZADC=90 , A C 二 A C, ZDA E=45 ；ZADAZ =ZCD E=90 A ZD EA r =ZDAr E=4 5 .ADA 二 DE.? ADA AACDE ?2由正方形的性质及旋转，得 CD=CB r , ZCBf E=ZC D E=90 ；CE二CE,ARtACB r E ARt ACD E ?:心2 C, /.直线CE是线段AA的垂直平分线.【点评

8、】此题要求综合应用正方形的性质，旋转变换，三角形全等的判左，等腰三角形的“三线合一 S线段垂直平分线的判左等知识解决问题，是一道证线段垂直平分线的典型范例第18题图专题二构造特殊四边形解决问1 ?如图?RtA ABC中，ZC=90。，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE,且正方形对角线交于点O,连接0C,AC = 5.OC= 6竝那么另一直角边 B C的长为丄？考正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.点：专题：计算题：压轴题.题：分析:过o作OF垂直于BC,再过A作AM垂直于OF,由四边形ABDE为正方形，得到 OA=OB, ZAOB为 直角，可得岀两个角互余，再由 AM垂宜于

9、M0,得到 AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出？对角和等，再由？对直角和等， OA=OB,利用A AS可得til A AOM 与ABOF全等， 由全等三角形的对应边相等可得 UHAM=OF, OM=FB.由三个角为直角的四边形为矩形得到 A CFM为矩 形，根据矩形的对边相等可得出 AC=MF.AM=CF.等虽代换可得出CF=OFJI|Ja COF为等腰直角三角形， 由斜边0C的长，利用勾股定理求曲 OF与CF的长，根据0 F- MF求出0M的长，即为FB的长，由 CF+FB即可求出BC的长.解 解法？：如图1所示，过0作OF丄BC,过A作AM丄OF,答：？?四边形A

10、BDE为正方形，厶人 0 二 ZOFB 二图1? ZAOB=90 .OA=OB.?.ZAOM+ZBOF=90,又 ZAMO=90 ,. Z AOM+Z 0 A M=9 0/.ZBOF = ZOAM,在八 0 卜 1 和厶 BOF 中， PF,.? .PF2PE故错误；由翻折可知EF丄PB,:? ZEBQ=Z E FB=30 ,:.BE=2EQ. E F=2BE、:.FQ=3 EQ,故错误；由翻折的性质 , Z E FB=Z BF P=30 %?ZBFP=30o + 30o=6 0。，?:乙 P B F=9 0 - ZE B0=9O- 30 =6 0。，: ? ZPBF=Z PFB=60,:.H

11、PBF是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的选项是.应选 D.点评：此题考査了翻折变换的性质，直角三角形3 0。角所对的直角边等于斜边的一半的性质 , 直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判泄，熟记各性质并准确识图是解题的关键.3. 2021?扬州，第23题，10分如图，已 处R t MBC中，先把 ABC绕点B顺时针旋转9 0。至公DBE后，再把 ABC沿射线平移至 FEG, DF FG相交于点H.1判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由;2 连结670,求证：四边形CBE是正方形.第5题图考点:旋转的性质；正方形的判上：平移的性质分析：1根据旋转和平移可得 ZDEB=ZACBZG

12、FE=ZA|根据ZABC=9 0可得ZS +进而得到ZDEB+ZGFE=9从而得到DE、FG的位置关系是垂直；2根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四 边形CBEGI正方形.解答：1解：FG丄ED.理由如下：? AA5C绕点B顺时针旋转9 0。至HDBE后? ZDEB=ZA CB?把力B C沿射线平移至EG,?ZGFE=ZA,V ZA BC=9 0。，/. ZA+ZACB=9 0 9? ZDEB+ZGFE=90,:.ZFHE=90。,:.FG 丄 ED;2证明：根据旋转和平移可得 ZGEF=90 ,ZCB F=90, CG/EB. CB=BE,?: CG/EB:

13、.ZBCG+Z C BE=9 0。.?.四边形BCG是矩形，? C B=BE,?四边形CBEG是正方形.点评：此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 ？连接各组对应点的线段平行且相等4. 2 01 2河南省18? 9分如图，在菱形 ABC2,AB=2,ZDAB=60 Qg点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点不与点人重合，延长 Mt交射线CD于点/V,连接MD AN.1求证:四边形AMDN是平行四边形；2填空:当AM的值为 时，四边形AMD是矩形；当AM的值为 时，四边形AMD是菱形。第18题专题四方法与技巧数形结合1

14、 ?如图1所示，在正方形A BCD中, DM,且交乙CB E的平分线于点N.M是AB的中点，E是A/?延长线上一点，MN丄(1 )求证: MD= MN.假设将上述条件中“於是力万的中点改为是力B上任意一点，英余条件不变，如图(2)所示那么结论：炉朋还成立吗 ?假设成立，给出证明：假设不成立，请说明理由.2 ?如图？在边长为3的正方形A BCD中，点E是BC边上的点，BE = 1, ZAEP=90 ,且EP交正 方形外角的平分 线CP于点P交边CD于点F.(1 )求证:AE=EP;(2 )在A B边上是否存在点 M,使得四边形DMEP是平行四边形？假设存在，请给予证明；假设不存在，请说明理由.考

15、 正方形的性质：全等三角形的判定与性质 ; 平行四边形的判定 点：分 由正方形的性质可得： ZB=ZC=9 0,由同角的余角相等，可证得：ZBAE=ZCEF. 根据同角的正弦析：值相等即可解答；(2) 在BA边上截取BK = BE,连接KE.根据角角之间的关系得到 ZAKE=ZECP,由A B=CB.BK = BE,得 AK二EC,结合ZKAE=ZCEP.证明 AKE空AECP.于是结论得出；(3) 作DM丄AE于AB交于点连接 ME、DP,易得(BDM EP,由己知条件证明厶 ADM 竺ABAE.进 而证明MD=EP,四边形DMEP是平行四边形即可证出.解答： (1)证明: 在 BA 边上截

16、取 BK=BE, 连接 KE,V ZB=90, B K=BE, ZBKE=45 ,A ZAKE=13 5TCP 平分外角 ,AZD CP=45,AZECP=135% A ZAK E=ZECP,VAB=CB,BK=BE .AB - BK=BC ? BE?即：A K =EC,由第一问得 ZKAE=ZCEP,?在厶 AKE和厶ECP中， ZKxAE=ZCEPAK 二 EC ,ZxAKE=ZECPAAAKEAAECP(AS A),.?.AE=EP：(2)答：存在 .证明：作 DM 丄 AE 交 AB 于点 21, 贝U有:DM EP,连接 ME、DP, ?在厶ADM与厶BAE中，ZxOT=ZBAEAD

17、 二 BA ,ZBAD 二 ZABEAADMAABAE(AS A) ,? MD = AE.VAE=EP, AMD=EP, AMD / EP,.? ? 四边形 DME P 为平行四边形 .点 此题考查了相似三角形的判定与性质 ,全等三角形的判定与性质以及正弓 疋 C一？，牛性 评：很强，图形比拟复杂，解题的关键是注总数形结合思想的应用与辅助线的准确选择.分类讨论1. (2 01 4 ?孝感，第9题3分)如图，正方形OABC勺两边0儿0C分别在x轴.y轴上, 点Q (5. 3)在边A B匕以U为中心把厶CDH旋转903那么旋转/考占.八、坐标与图形变化一旋转.分析：分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况

18、讨论解答即可解答：解：？ ？点05,3 )在边AB上，?BC=5,B 0=5-3=2. 假设顺时针旋转，那么点 D在x轴上Q =2,所以，D ( - 2,0), 假设逆时针旋转，那么点到x轴的距离为1 0,到y轴的距离为2,所以，(2,10),综上所述，点D的坐标为(2,10)或(-2, 0 ).应选C?点评：此题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论2. ( 2 0 11 河南省)22. (10 分)如图，在 R tAABC 中，ZB=9 0 , B C=5?点 D从点 C岀发沿C4方向以每秒2个单位长的速度向点&匀速运动，同时点E从点A岀发 沿力方向以每秒1个单位长 的

19、速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点 也随之停止运动.设点6 F运动的时间是秒(t0). 过点D作M丄BC于点F,连接DE、 EF.(1) 求证：AE=DF;(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由.(3) 当r为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由.类比、从特殊到一般思想1、(2021济宁)如图1,在正方形 ABC D中E F分别是边 A IX DC上的点，且 AF丄BE. (1)求证:AF=BE ;(2) 如图2,在正方形 AB C D中卜仁N、P、Q分别是边 AB. BC CD. DA上的点，且MP丄NQ? MP与NQ是否相等？

20、并说明理由.图1图2考点：正方形的性质；全等三角形的判左与性质.专题：证明题.分析：(1)根摒正方形的性质可得 AB=AD.Z BAE=Z D=9 0再根据同角的余角相等求出 Z ABE=ZD A F,然后利用角边角证明厶ABE和厶D A F全等，再根据全等三角形的证 明即可：过点A作AFII MP交CD于F,过点B作BEII NQ交AD于E.然后与(1)相冋.解答:证明:在正方形 ABCD中，AB=AD,z BAE=Z D =90%?*? AF 丄 BE,? ?Z ABE=Z D AF,?在厶ABE和厶DAF中， ZABE=ZDAF? AB 二 AD ,ZBAE =Zd ABE八 DAF A

21、SA ,AF= B E;2解：MP与NQ相等.理由如下:如图，过点A作AFII MP交CD于F,过点B作BEll NQ交AD于E,那么与1的情况完全相同.点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相 等， 每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2、2021*绥化，在厶ABC中，Z BAC=90。，Z ABC= 4 5 点 D为直线BC上一动 点点 D不与点B, C重合？以AD为边做正方形 ADEF,连接CF1如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC ；2如图2,当点D在线段

22、BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF.BC, CD三条线段之间的关系：3如图3，当点D在线段B C的反向延长线上时，且点 A, F分别在直线B C的两侧，英 他条件不变： 请直接写出CF, BC, CD三条线段之间的关系： 假设正方形ADEF的边长为2伍.对角线A E , DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.考占.J八、四边形综合题.分析：1三角形ABC是等腰直角三角形，利用 S AS即可证明厶BAD竺厶CAF,从而证得 CF=BD,据此即可证得；2同1相同，利用SAS即可证得ABAD雯ACAF.从而证得BD=CF,即可得到C F ? C D=BC;3 首先证明厶BAZ CAF.A FCD是宜角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，贝U OC即可求得.解答：证明：( 1)T Z BAC=90 , z ABC =45,? ? AB=AC,?. ?四边形 ADEF 是正方形，? AD=AF, Z D A F=9 0%? Z BA D =90 - ZDAC.Z C A F=9 0 -z D AC.? ? Z BAD=Z CAF,贝9在厶BAD和厶 CAP中