竞赛辅导第14节 综合除法、余数定理(含答案)-

1、第五节 综合除法、余数定理 内容讲解 一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法 余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）如果f（x）能被（x-a）整除，也就是（x-a）是f（x）的因式反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）能被（x-a）整除因此，由余数定理，容易得出： 因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）的因式，

2、那么f（a）=0 例题剖析 例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数 分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法 解：把除式变成（x-a）形为x-（-3） 如右式所示： 所以商式3x2-4x+12 余数38 评注：在用综合除法时，被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0”补项除式一定要变成（x-a）的形式若f（x）的除式为px-q形（p0），可先变除式为：p（x-）。再用综合除法求出除以（x-）的商式Q（x）和余数k，则f（x）÷（px-q）的商式为Q（x）=Q（x），余数R=R 例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8 分

3、析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解 解：f（1）=0，f（-1）=0，原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式由综合除法得： 原式（x-1）（x+1）（x-2）（x+4） 评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用 （2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解 例3 已知x+x-6是多项式2

4、x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值 分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，但用因式定理就比较简单 解：x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式x+3，x-2是它的两个因式由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即 a=16，b=3 评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握 例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数 分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解 解：2x+1=2x-（-） 由余数定理，得：r

5、=f（-）=6×（-）4-5×（-）3-3×（-）2-（-）+4=4 评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数 例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除 （2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除； （3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b 分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解 证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a） （1）对任意自然数n，当a=b时，f（b

6、）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除 （2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除 （3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn 评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会 巩固练习 1用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数 2已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值 3求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式 4利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz 5已知f（x）=ax

7、3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b 答案: 1商式=x2-x+ 余数=- 2用综合除法求f（x）÷（x-）的余数得f（）= 3令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18 f（-）=2（-）4-5（-）3-10（-）2+15（-）+18=0，2x+3是f（x）的因式 4令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y）=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx），比较两边x3的系数，得a