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1、第五节 综合除法、余数定理 内容讲解 一般地,多项式f(x)除以一次多项式(x-a)的商式系数和余数有如下规律:商式的最高次项系数就是f(x)(按降幂排列后)的第一项系数,把这个数乘以b后再加上f(x)的第二项系数就得商的次商为次项系数,如此类推最后得余数,这种方法叫做综合除法 余数定理:多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a)如果f(x)能被(x-a)整除,也就是(x-a)是f(x)的因式反之,如果(x-a)是f(x)的因式,那么f(x)能被(x-a)整除因此,由余数定理,容易得出: 因式定理:如果f(a)=0,那么(x-a)是f(x)的因式,反之,如果(x-a)是f(x)的因式,
2、那么f(a)=0 例题剖析 例1 用综合除法求(3x3+5x2-2)除以(x+3)的商式和余数 分析:整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法,这里我们主要是熟悉综合除法 解:把除式变成(x-a)形为x-(-3) 如右式所示: 所以商式3x2-4x+12 余数38 评注:在用综合除法时,被除式和除式均按降幂排列,其缺项要用“0”补项除式一定要变成(x-a)的形式若f(x)的除式为px-q形(p0),可先变除式为:p(x-)。再用综合除法求出除以(x-)的商式Q(x)和余数k,则f(x)÷(px-q)的商式为Q(x)=Q(x),余数R=R 例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8 分
3、析:原式可能有x±1,x±2,x±4,x±8因式,由于f(1)=0,f(-1)=0,所以由因式定理,原多项式含有(x-1)(x+1)这两个因式,然后用综合除法即可求解 解:f(1)=0,f(-1)=0,原式中含有(x-1)和(x+1)这两个因式由综合除法得: 原式(x-1)(x+1)(x-2)(x+4) 评注:(1)如果多项式f(x)中各项系数的和等于零,那么f(x)有一次因式(x-1);若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和,则f(x)有一次因式(x+1),记住这个结论很有用 (2)本题用分组分解也较简单,请同学们自己求解 例3 已知x+x-6是多项式2
4、x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式,求a,b的值 分析:此题如果用以前的方法求解,就显得特别的繁琐,但用因式定理就比较简单 解:x2+x-6=(x+3)(x-2),又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式x+3,x-2是它的两个因式由因式定理,得f(-3)=0,f(2)=0,即 a=16,b=3 评注:因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用,必须高度重视并熟悉掌握 例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数 分析:我们可以用竖式除法,分离系数法和综合除法求此题的余数,这里我们主要尝试余数定理求解 解:2x+1=2x-(-) 由余数定理,得:r
5、=f(-)=6×(-)4-5×(-)3-3×(-)2-(-)+4=4 评注:余数定理可以直接求多项式f(x)除以(x-a)式除以(px-q)的余数 例5 证明:(1)对任意自然数n,an-bn能被(a-b)整除 (2)当n为偶数时,an-bn能被(a+b)整除; (3)当n为奇数时,an-bn被(a+b)除的余数为-2b 分析:如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f(a)或f(b),问题就转化为f(a)或f(b)被(a-b)或(b-a)整除的问题,于是可用余数定理求解 证明:把an-bn看成是字母a的多项式f(a) (1)对任意自然数n,当a=b时,f(b
6、)=bn-bn=0,所以f(a)=an-bn能被(a-b)整除 (2)当n为偶数时,f(-b)=(-b)n-bn=0,所以an-bn能被a-(-b)=a+b整除 (3)当n为奇数时,f(-b)=(-b)n-bn=-2bn,故an-bn被(a+b)除的余数为-2bn 评注:正确使用余数定理,可以快捷地解答一些复杂的问题,希望读者仔细体会 巩固练习 1用综合除法求(2x3+x-7)÷(2x+1)的商式、余数 2已知x=,求f(x)=3x3-2x2+5的值 3求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式 4利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz 5已知f(x)=ax
7、3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除,求a,b 答案: 1商式=x2-x+ 余数=- 2用综合除法求f(x)÷(x-)的余数得f()= 3令f(x)=2x4-5x3-10x2+15x+18 f(-)=2(-)4-5(-)3-10(-)2+15(-)+18=0,2x+3是f(x)的因式 4令f(x)=x3+y3+z3-3xyz,当x=-(y+z)时,f(x)=f(-(x+y)=-(y+z)3+y3+z3+3(y+z)yz=-(y+z)3+(y+z)3=0,由因式定理知原式有因式x+y+z,又因为原式是关于x,y,z的三次齐次式,故令原式=(x+y+z)a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx),比较两边x3的系数,得a
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