数字计算方法天津大学作业答案

1、数值计算方法复习题、（1）简述求解非线性方程的常用的方法有哪些?（2）用二分法求解方程1之间的一个根，要求误差不4 / 6超过答案：（1）求解非线性方程的常用的方法有二分法、迭代法、牛顿法、弦截法-si n x则 f 0 =10，f 1 二0.6321 :： 0，x ：: x «且f x _2coson函数值符号有根区间误差限1f (0.5)=-0.1006(0,0.5)122f (0.25)=0.3961(0.25,0.5)1223f (0.375)=0.1317(0.375,0.5)1戸4f (0.4375)=-0.0113(0.4375,0.5)1 尹f x在0,11之间有且仅

2、有一个根x*，其计算过程为:取X40.4375 0.52= 0.46875为x*的近似值，且X*二、举例说明误差的来源主要有哪些？在数值计算中值得注意的问题主要有什 么？答案：误差的主要来源有：（1）模型误差；（2）观测误差；（3）截断误差；（4）舍入误差。在数值计算中值得注意的问题主要有：（1）防止相近的两数相减；（2）防止大数“吃掉”小数；（3）防止除法中除数的数量级远小于被除数。三、（1）简述LU分解法求解线性方程组的步骤;（2）已知_2231 12 2 3477=2 13 1'-2 4 5一i-1 2 116试用LU分解法求解方程组24'-22743 Xi311 。7

3、X25 上X3_j答案：（1） LU分解法求解线性方程组的步骤：对于方程组AX =b，首先对系数矩阵A进行LU分解：A二LU ;则LY =bAX =b= LUX =b= - UX =Y ，接下来分别求解两个三角方程组即可:LY =b和UX =Y（2）首先对系数矩阵A进行LU分解<1i'z223、A = LU =21L-31I-1 2 1八6丿由LY =b，可解得丫=（3,弋6 ）再由 UX 二丫，得 X 二 2,-2,1 T四、叙述收敛阶的定义，并说明一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？用牛顿法求解x3 VOx-20=0在区间1，2内的一个根，要求迭代4次lim答案：设序列Xk收敛于

4、X*。若存在常数p（p> 1）和c（c>0）,使则称序列xk是p阶收敛的 一般情形下牛顿法的收敛阶是2牛顿迭代公式为：xk +10Xk -203x2 10，取x0 =1,则迭代序列为:kXk0111.69230821.59712131.59456441.594562所以取x4 =1.594562为近似根。五、叙述插值的定义；已知函数表如下：x0100304ex试用抛物线插值求1.1052e0.285的近似值。1.22141.34991.4918答案：设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，Xo",，Xn是a,b上n T个互异点，且f (x)在其上的函数值分别为y°

5、;,y1,，yn。若存在函数:(x)使“Xi)=yi(i =0,1/ , n)，则称(x)为 f(x)的插值函数。抛物线插值函数为：L2(x) a(x xj(x X2)(X。Xj(X0 X2)y。(XXo)(x-X2)y(人Xo)(X! X2)(X Xo)(X Xj 兀(X2 Xo)(X2 xj 2'取 xo =o.2, x1 =o.3, x2 =o.4,得e°285 : L2(0.285) =1.32981 六、 用变步长梯形法计算积分I1沁dx的近似值(二分两次即可)o X答案：令f(x) =sinx，则x1T f (0) f (1) =0.920735521 丄1 01

6、T2T1f() =0.93979332 2 21 丄11丄3T4T2 f() f() =0.94451352 444 sjn dx ： 0.94451350 x七、已知函数表如下：x 100121144169.x10111213试构造差商表，用三次牛顿基本插值多项式计算117的值答案： 构造差商表:xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商10010121110.047619144120.043478-0.000094169130.040000-0.0000720.00000031N3 x =10 0.047619 x -100 - 0.000094 x -100 x -1210.00000031 x

7、 -100 x-121 x-144把x=117代入上式，可得 117 =10.817八、叙述向量范数的一般定义。任意给出一种具体的向量范数定义，并求x = (0,1,- 3,4)t的范数。答案：(1) x是一个n维向量，若存在|x| ： R满足Iix >0且|卜|=0当且仅当X=0勿 R，有rlaxl冃训x| l|x + y 卜|xiriiy1则称|x |为x的范数(2)|x|“x+lli+|xj= 0134=8九、推导牛顿法求解非线性方程的公式， 并指明其几何意义；叙述收敛阶的 定义；一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？答案：(1) f x在xR处泰勒展开:5 / 6f x f Xkf X

8、k X -Xk =0(2) limk_icx-Xk 1p=C (C hO常数)X -Xk则称迭代法的收敛阶为 P(3)2十、已知函数f(x)在x =023,5,6处的函数值分别为1,325,6。试求四次牛顿插值多项式，并计算f(2.5)。答案：23N4 X =1 x-3x x-2 1OX x-2 x-3f 2.5 N4 2.52.47924.1一、用龙贝格算法计算积分 0 . 1 cos2 X dx的近似值(要求二分四次)答案:解：S2k丄C2k 25.21784.77524.92144.62764.97014.99294.95284.96334.96294.96244.96204.96494

9、.96514.96517 / 6o' 1 曲xdx 4.9651十二、叙述用幕法求方阵的主特征值和主特征向量的算法。 答案：V0 = y0非零向量yfaV心，川则 lim yk =X1max x-!lim max Vk =名词解释1. 相对误差2. 向量的范数3. 插值函数4代数精度答案：*1若x是准确值，X*是x的一个近似值，则e* =匚沁称为X*的相对误差x2. x是一个n维向量，若存在x R满足： x _0且x =0当且仅当x = 0 ； *三R，有卜x = LH ； xx y则称x为x的范数3. 设函数y = f x在区间！a,b 1上有定义，xo,xn ,xn是La, b 1上n