整式的除法知识讲解

1、整式的除法(提高)【学习目标】1. 会用同底数幕的除法性质进行计算.2. 会进行单项式除以单项式的计算.3. 会进行多项式除以单项式的计算.【要点梳理】要点一、同底数幕的除法法则同底数幕相除，底数不变，指数相减，即am an amn ( a工o, m、n都是正整数,并且m n)要点诠释：(1 )同底数幕乘法与同底数幕的除法是互逆运算(2) 被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式(3) 当三个或三个以上同底数幕相除时，也具有这一性质(4) 底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式要点二、零指数幕任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a0 1 ( a工0)要点诠释：底数a不能

2、为0, 00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 .要点诠释：(1)法则包括三个方面：系数相除；同底数幕相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式(2)单项式除法的实质即有理数的除法(系数部分)和同底数幕的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即am bm cm m am m bm m cm m a b

3、 c要点诠释：(1) 由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.(2) 利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变 化.【典型例题】 类型一、同底数幕的除法仇、计算下列各题5(x y) (X y)125(2) (5a 2b)(2b 5a)(3) (3 106)4 (3 106)23 32 4(4) (x 2y) (2y x)【思路点拨】(1)若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽 可能地去变偶次幕的底数， 如(5a 2b)12 (2b 5a)12 .(2)注意指数为1的多项式如x y 的指数为

4、1,而不是0.【答案与解析】解: (1) (x y)5 (x y) (x y)51 (x y)4.1251257(2) (5a 2b)(2b 5a)(2b 5a)(2b 5a)(2b 5a)64626426、212(3) (3 10 )(3 10 )(3 10 )(3 10 )9 10 .3、32、4989 8(4) (x 2y) (2y x) (x 2y) (x 2y) (x 2y) x 2y.【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幕的除法法则进行计算.2、已知 3m 2 , 3n 4，求 9m 1 2n 的值.【答案与解析】m 1解: m 12n 9 _(32)m1

5、(32)2n32m22m23 g334n32m g32(3n)4(3m)2 g32(3n)4'92n34n当3m2 , 3n4时，原式22 3294464 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含 3m,3n的式子，再代入求值.本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式. 举一反三：【变式】已知2 5m 5 2m，求m的值.【答案】m 1解：由 2 5m 5 2m得 5m1 2m 1，即 5m1 2m 1 1 , 51 ,25/ 底数5不等于0和1 ,2m 105555，即 m 1 0, m 1.22类型二、单项式除以单项式3、先化简，

6、再求值.54 5 5x y z182 2 xy z37347*745x y z g4x gy y z ,其中8 2x 1 , y 2 , z 3.解：原式534 15x y2z51532 3x y z7.31 4174x y z18268533 453 :2 374 5 774 5x yzx yzx y zy z1262256 333 24345 47 5xyzxy z1251 042142x2yzx yz2yzx yz .当x1,y2z3时，【答案与解析】74 51 1-yz x4yz2 - ( 2) 3 ( 1)4 ( 2) 323 1 821 .即同底数幕【总结升华】这道单项式的混合运算

7、比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点, 相乘，同底数幕相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错.类型三、多项式除以单项式(1) ( 3xy)2 gx3 2x2g(3xy3)3 g1 y9x4y2 ；2(2) (x 2y)(x 2y) 4(x y)2 6x;(3) 2( a b)5 3(a b)4 ( a b)3 2( a b)3.【思路点拨】(1) (2)将被除式先化简后再进行除法计算.(3)中(a b)看作一个整体，然后再按多项式除以单项式的法则计算.【答案与解析】解: (1)原式9x2y2 g x3 2x2 g27x3y9 g1 y 9x4y2252510428(9x y 27x y )

8、 9x y x 3xy .(2)原式x24y24(x2 2xyy2)6x(x24y24x28xy4y2)6x(3)原式2(5x 8xy) 6x3y -2( a b)5 3(ab)4 (a b)3 2( a b)32(a b)5 2(a b)3 3(a b)4 2(a b)3 (a b)3 2(a b)3(a b)23 (a b) 1 .2 2【总结升华】(1)混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用.(2)在解题时应注意整体思想的应用，如第(3)题.举一反三：【变式】先化简，再求值.2 22241(1) (X 2y ) (x y )(x y ) 5y 2y，其中 x 2, y -;4(2) 已知 2x y 10，求(x2 y2) (x y)2 2y(x y) 4y 的值.【答案】解: (1)原式x2 4xy2 4y4 (x2 y4) 5y4 2y(x2 4xy2 4y4 x25y4)2y4xy2 2y 2xy.1当x 2，y 4时，原式2)(2)原式 (x2xy2xy2y2) 4y(4xy 2y2)4y由已知2x y10，得 x12yiy 5.5、已知一个多项式除以多项式 这个多项式.【答案与解析