南航理论力学课件8

1、/621理论力学第二部分运动学第八章点的合成运动/622运动学/点的合成运动第八章点的合成运动在前两章中研究点和刚体的运动时,总是把坐标系固结于地面,并认为地球固定不动。另一方面,在实际问题中,还常常要在相对于地球运动着的参考系上观察和研究物体的运动。一般说来,物体相对不同参考系的运动是不同的,它们之间存在一定的关系,此即本章研究的内容。/623运动学/点的合成运动/624运动学/点的合成运动/625运动学/点的合成运动/626运动学/点的合成运动本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。/627运动学/点的合成运动§8-1 点的合成运动的概念一、坐标系1.定坐标系:建立在固定参考物

2、上的坐标系,简称定系。2.动坐标系:建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系,简称动系。如:图中固结在地面上的坐标系oxy 。如:图中固结在汽车车厢上的坐标系oxy注意:动系相对定系运动/628运动学/点的合成运动二、动点动点:相对于定系和动系均有运动的点,本章就是研究动点相对于定系和动系运动的关系。如图中任选车轮上的一点P 作为动点。三、三种运动及三种速度与三种加速度绝对运动:动点相对于定系的运动。如P 相对于地面的运动。相对运动:动点相对于动系的运动。如P 相对于车厢的运动。点的运动点的运动/629运动学/点的合成运动牵连运动:动系相对于定系的运动。如行驶的车箱相对于地面的运动。刚体的运动/

3、6210运动学/点的合成运动绝对(加速度:动点相对于定系的(加速度,用表示。(a a a v 牵连点:动系上与动点重合的点问题:牵连点是否运动?相对(加速度:动点相对于动系的(加速度,用表示。(r r a v 牵连(加速度:牵连点相对于定系的(加速度,用表示。(e e a v /6211运动学/点的合成运动AB 杆上的A 点动系:凸轮定系:地面绝对运动:直线相对运动:曲线(圆弧牵连运动:直线平移动点:/6212运动学/点的合成运动A (在AB 杆上偏心轮C 地面直线圆周(C 定轴转动动系:定系:绝对运动:相对运动:牵连运动:动点:/6213运动学/点的合成运动套筒A 摇杆O 1B 地面圆周(O

4、 直线(沿O 1B 定轴转动(绕O 1动系:定系:绝对运动:相对运动:牵连运动:动点:/6214运动学/点的合成运动套筒A 曲柄OC 地面圆周(O 1直线(沿OC 定轴转动(绕O 动系:定系:绝对运动:相对运动:牵连运动:动点:/6215运动学/点的合成运动四、运动方程及坐标变换坐标变换:建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。(1绝对运动方程为:(,(t y y t x x =(2相对运动方程为:('',(''t y y t x x =(3牵连运动方程为:(,(,(''''t t y y t x x o o o o =坐标变换关系:

5、+=+=cos sin sin cos y x y y y x x x o o 以二维问题为例。定系Oxy ,动系Oxy,动点M/6216运动学/点的合成运动例1用车刀切削工件的端面,车刀刀尖P 沿水平轴x 作往复运动,如图所示。设Oxy 为定坐标系,刀尖的运动方程为。工件以等角速度逆时针方向转动。求车刀在工件端面上切出的痕迹。t sin a x =要求P 相对工件的轨迹方程动点:P动系:工件上的Ox 1y 1定系:Oxytcos x x 1=tsin x y 1=解:Py 1x 1/6217运动学/点的合成运动刀尖的相对轨迹方程(4a 2a y x 22121=+即:车刀在工件上切出的痕迹是

6、一个半径为的圆,该圆的圆心C 在动坐标轴Oy 1上,圆周通过工件的中心O 。2a点P 相对于工件的运动方程:t 2sin 2at cos t sin a x 1=t 2cos 1(2at sin a y 21=t cos x x 1=tsin x y 1=/6218运动学/点的合成运动/6219运动学/点的合成运动§8-2 点的速度合成定理速度合成定理建立了动点的绝对速度,相对速度和牵连速度之间的关系:r r r O M +=Oyzxx z y O (M M Mr O r r k z j y i x r +=k z j y i xk z j y i x rdtr d v O M a

7、+= /6220运动学/点的合成运动O yzxx z y O (M M Mr O r r k z j y i xk z j y i x r dtr d v O M a += 即:在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和,这就是点的速度合成定理。点的速度合成定理是瞬时矢量式,共包括大小方向六个要素,已知任意四个要素,就能求出其它两个。re a v v v +=/6221运动学/点的合成运动例2桥式吊车已知:小车水平运动,速度为v 1,物块A 相对小车垂直上升的速度为v 2。求物块A 的运动速度。/6222运动学/点的合成运动选取动点:A 点动系:小车定系:地面则绝对运动:曲线AA相

8、对运动:直线牵连运动:直线平移解:re a v v v +=由大小方向?v 1v 2作出速度平行四边形如图示,则物块A的速度大小和方向为222122v v v v v v r e a A +=+=121tg v v =/6223运动学/点的合成运动/6224运动学/点的合成运动例3 曲柄摇杆机构已知:OA= r ,OO 1=l ,图示瞬时OA OO 1求:摆杆O 1B 的角速度1选取动点:OA 上的A 点动系:O 1B 解:re a v v v +=由大小方向?O 1B沿O 1B作出速度平行四边形如图示r OA222221111222222221,sin ,sin l r r l r r l

9、r AO v A O v l r r v v l r ree a e +=+=+=+=又(/6225运动学/点的合成运动/6226运动学/点的合成运动已知:OC =e ,(匀角速度,图示瞬时,O C CA ,且O ,A ,B 三点共线。求:从动杆AB 的速度。e R 3=选取动点:AB 上的A 点动系:圆盘定系:基座解:re a v v v +=由大小方向OA ?OACA作出速度平行四边形如图示?沿AB(332 332300=e v e tg v v AB e a 例4圆盘凸轮机构/6227运动学/点的合成运动求解合成运动的速度问题的一般步骤为:1 选取动点,动系和定系;2 分析三种运动;3

10、分析三种速度;4 根据速度合成定理作出速度合成平行四边形;5 根据速度平行四边形,求出未知量。1 .动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体;2 .动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断。恰当选择动点、动系和定系是求解合成运动问题的关键:/6228运动学/点的合成运动例5已知: 凸轮半径r , 图示时杆OA 靠在凸轮上。求:杆OA 的角速度。,30 ,°=v 分析:相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化,因此两物体的接触点都不宜选为动点,否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下,需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。/6229运动学/点的合成运动选取动点:凸轮上的C 点动系:

11、OA 杆定系:基座re a v v v +=由大小方向OC ?OC/OA作出速度平行四边形如图示v r vv r r v e 6333212 =v v v a e 33tg =(,2sin r rOC v e =又解:av ev rv /6230运动学/点的合成运动再分析例4已知:OC =e ,(匀角速度,图示瞬时,O C CA ,且O ,A ,B 三点共线。求:从动杆AB 的速度。e R 3=选取动点:圆盘中心C 点动系:AB 杆定系:基座解:re a v v v +=由大小方向OC ?OCCA作出速度平行四边形如图示?铅垂(e 332v e 33230cos /v v AB 0a e =

12、例4圆盘凸轮机构/6231运动学/点的合成运动§8-3点的加速度合成定理速度:圆盘匀角速度,M 点以大小不变的相对速度v r ,则M 点的绝对加速度应是多少?加速度:分析一特例:re a v v v +=a e ra a a =+?/6232运动学/点的合成运动选取动点:点M动系:圆盘定系:基座re a v v v +=由大小方向R v r (常数?常数=+=+=r r e a v R v v v 得即绝对运动也为匀速圆周运动,所以Rva aa 2=rr v RvR 222+=R v R r 2(+=/6233运动学/点的合成运动另一方面Rva v r r r 2,=常数有(指向圆心

13、O 2R a e =(指向圆心O re a a a a +还多出一项2v r2v r 是怎样出现的呢?它的物理意义是什么?(方向指向圆心O rr a v RvR a 222+=/6234运动学/点的合成运动x z y O AA r O r k O yzx A e AA r dtr d v ×=ek r r O A +=(k r dtk d dt r d O e O +×=+O e O O r dtrd v ×=由于k dtk d e ×=或k k e ×= i i e ×= j j e ×= 类似地先分析对时间的导数k /6

14、235运动学/点的合成运动Oyzxx z y O (M M Mr O r r k z j y i x a r += kz j y i x r dtrd a O Me +=k z j y i x k z j y i xr dtv d a O a a +=r r r O M +=k z j y i x r +=k z j y i xk z j y i x r dtr d v O M a += k z j y i x k z j y i x+/6236运动学/点的合成运动k z j y i x k z j y i x r dtv d a O a a +=k z j y i x k z j y i x

15、+k z j y i x k z j y i x r O +=(2k zj y i x +(2(2k z j y i x k zj y i x e e e ×+×+×=+ (2k z j y i xe +×= re v ×=2re C v a ×=2Cr e a a a a a +=科氏加速度/6237运动学/点的合成运动加速度合成定理Cr e a a a a a +=re C v a ×=2科氏加速度re a a a a +=特例:当牵连运动为平移时,故0=e0=C a /6238运动学/点的合成运动科氏加速度:, sin

16、(2:r e r e C v v a =大小方向:右手法则, / ( 180 0=°°C r e a v 时或当re C r e v a v 2, ( 90=°时当/6239运动学/点的合成运动/6240运动学/点的合成运动DABC点M 1的科氏加速度例6 矩形板ABCD 以匀角速度绕固定轴z 转动,点M 1和点M 2分别沿板的对角线BD 和边线CD 运动,在图示位置时相对于板的速度分别为和计算点M 1 、M 2的科氏加速度大小,并标出方向。1v 2v sin 211v a C =点M 2 的科氏加速度02=C a 垂直板面向里1c a 解:/( 2v /6241

17、运动学/点的合成运动例7已知:O 1A =r , ,1;取O 1A 杆上A 点为动点,动系固结在O 2B 上,试计算动点A 的科氏加速度。解:rC v a ×=22rC r v a v 222 =re a v v v +=根据作出速度平行四边形sin(cos 1+=r v v a e 1122cos sin sin(cos sin sin(+=+=r r A O v e rv a r c 212cos 22sin(2+=方向:与相同。e v (90+= cos(sin 1+=r v v a r B/6242运动学/点的合成运动例8 已知:凸轮半径求:=60o 时, 顶杆AB 的加速度

18、。oo a v R ,选取动点:AB 上的A 点动系:凸轮解:re a v v v +=由大小方向v 0?CA作速度平行四边形,有?由于求加速度需v r ,故先求v r 。沿AB sin e r v v =03260sin v v o=/6243运动学/点的合成运动naerrCa a a a a =+大小方向?沿ABa 0?CA沿CA 指向CRv a rn r 2=n将上式投影到n 方向,得sin a a sin /cos (nr e a a a a =nra R v R v R v a r n r 34/32(/ 2202=其中:cos e a 0/6244运动学/点的合成运动n60sin

19、/3460cos (200Rva =整理得AB a =思考:与静平衡方程的投影有何不同?sin /cos (nr e a a a a =Cnr r n e e n a a a a a a a a a +=+38(3320Rv a a a =/6245运动学/点的合成运动第八章点的合成运动小结1. 一点、二系、三运动re a v v v +=3. 加速度合成定理C r e a a a a a +=2. 速度合成定理2C e ra v =×一、概念及公式/6246运动学/点的合成运动1. 选择动点、动系和定系2. 分析三种运动3. 速度分析画出速度平行四边形4. 作加速度分析画出加速度矢

20、量图二、解题步骤/6247运动学/点的合成运动1. 选择合适的动点、动系和定系动点和动系不能选在同一刚体上;若有始终接触的点,应选择始终接触的点为动点如:导杆滑块机构中的滑块,凸轮导杆机构中导杆上与凸轮接触的点。2. 速度问题:几何法求解加速度问题:解析法求解三、解题技巧注意投影轴的选取!/6248运动学/点的合成运动1. 牵连(加速度:牵连点(加速度;2. 作速度平行四边形时,要使绝对速度为平行四边形的对角线;3. 加速度分析时要分析科氏加速度;4. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影,与静平衡方程的投影式不同。四、注意问题/6249运动学/点的合成运动已知:OA =l ,= 45o 时、

21、。求:小车的速度与加速度。选取动点:OA 上的A 点动系:滑杆解:re a v v v +=由大小方向?水平铅垂l OA例1曲柄滑杆机构cos a e v v =l l 2245cos = 小车的速度(v a v ev r/6250运动学/点的合成运动n a a e r Ca a a a a +=+大小方向l OA l 2沿OA 指向O?水平铅垂cos a a =e a l (222=将上式投影到水平方向,得sin na a (45cos l45sin 2l =ea aa n aa ea ra 小车的加速度/6251运动学/点的合成运动例2凸轮机构已知:凸轮半径为R ,图示瞬时O 、C 在一条

22、铅直线上,a v 、 选取动点:凸轮上的C 点动系:OA 杆解:re a v v v +=由大小方向?/OAv OC求: 该瞬时OA 杆的角速度和角加速度。=r v vv v a e =v rv av e/6252运动学/点的合成运动OC v e= (0=r v vv v a e =sin sin /Rv R v =由加速度合成定理Cr ne e a a a a a a +=大小方向OC·2?沿OC 指向O /OAa ?OC 02=OC a n e 其中:02=r C v a 2sin (sin RvR =sin 2R v =a r a an ea ea /6253运动学/点的合成运

23、动cos a a =e a OCa e =转向由上式符号决定,>0则,<0 则向轴投影,得Cr ne e a a a a a a +=大小方向OC·2?沿OC 指向O /OAa ?OC 0=sin ne a +cos e a tg ne a a a sin /sin 2R R tg v a =222sin sin R tg v R a =a r a an ea ea /6254运动学/点的合成运动已知: 主动轮O 转速为n =30r/min ,OA =150mm 。图示瞬时OA OO 1。求: 滑块B 的速度及加速度。(1动点:轮O 上的A 点动系:O 1D 杆解:re

24、a v v v +=由大小方向?/ O 1DOA OAO 1D例3刨床机构v a v ev r/6255运动学/点的合成运动其中:=OA v a m/s=×=n sin a e v v =A O v e 11=m/s 503.0=rad/s 55=(cos a r v v =m/s506.0=v ev rv a /6256运动学/点的合成运动cos a a Cr ne e a a a a a a +=大小方向O 1A·21?沿O 1D 指向O 1/ O 1D 2OA ?O 1D rv 2O 1Dc a 向方向投影得=Ca +e a 255215.02××

25、×=e a 22m/s 5518.0=A O a e 11=222rad/s 256515.015518.0=(ea aa c a ra ne a 由加速度合成定理/6257运动学/点的合成运动(2动点:滑块B动系:O 1D 杆rBeB aB v v v +=由大小方向O 1B·1?/ O 1D?水平O 1Dcos / eB aB B v v v =tg =eB rB v v m/s15.0=m/s503.0=v aBv eB v rB/6258运动学/点的合成运动由加速度合成定理CBrB neBeBaB a a a a a +=大小方向O 1B·21?沿O 1D

26、 指向O 1/ O 1D ?水平O 1B·1O 1DrBv 12O 1D向x 方向投影得2211m/s 5536.0=B O a eB 其中:221m/s 5506.0 503.0522=××=rB CBv a =252/5506.05536.0(=aB B a a (cos aB a eB a CBa eBa aB a cBa rBa n eBax/6259运动学/点的合成运动已知:图示瞬时,h 。求:套筒O 的,。a v ,例4 套筒滑道机构/6260运动学/点的合成运动选取动点:CD 上的A 点(亦即AB 上的A 点动系:套筒re a v v v +=由大小

27、方向?/OAv OAhv OA v e 2cos /=sin ,cos cos v v v v v r a e =v a v rv e?解:(运动学/点的合成运动 运动学/点的合成运动 由加速度合成定理 大小 a 方向 2 v r ? OA·2 ? OA 沿OA指向O / OA OA v 2 sin 2 其中 a c = 2 v r = cos h 向 a c方向投影得 aa = ae + ae n + ar + ac 另解： A点作直线运动 x A =h tg xA = h sec2 即 = xA cos2 / h ar aa = ( xA cos2 xA sin 2 / h 代入

28、图示瞬时的已知量，得 = v cos 2 （ h ）, = ( v 2 sin 2 ae a e = a cos cos aen h ac ae a v 2 sin 2 2 = =( cos （ ） 类似的情况 OA h h2 61 /62 a a cos = a e + a c a v2 sin 2 cos 2 （ h h2 ） 62 /62 运动学/点的合成运动 运动学/点的合成运动 例2 摇杆滑道机构 已知： h , , v , a 。 求: OA杆的 , 。 选取 解：选取动点：BC上的D点 OA杆 动系： 由 大小 方向 ve vr va va = v ve + vr ? ? 沿OA

29、 OA ve = va cos = v cos 63 /62 64 /62 运动学/点的合成运动 ve = va cos = v cos = ve / OD = v cos /( ve vr va 运动学/点的合成运动 h cos 2 =v cos h （ ） aa = ae + ae + ar + ac n 大小 方向 a ? OD·2 ? 2 v r v r = v a sin = v sin 由加速度合成定理 n OA 沿OA指向O 沿OA OA ae ae 2 v r aa = ae + ae + ar + ac 大小 方向 a ? OD·2 ? ac aa ar aen 加速度矢量如图示。 加速度矢量 向 轴投影，得 aa OA 沿OA指向O 沿OA OA a a cos = a e a c ae = ac + a a cos ac ar aen （ ） 66 /62 n 其中： ae = OD 2 = ac = 2vr v 2 cos 3 h v cos 2 2 ( = h cos h v cos 2 2v 2 cos 2 sin =2 v sin = h h 2 v 2 cos 2