知识点一-导数与函数的单调性.

1、1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果f ( x)果 f ( x)0 ，那么函数yf (x) 在这个区间内单调递减间上是常数函数.注：函数yf (x) 在（ a,b）内单调递增，则f ( x)0 ，那么函数yf (x) 在这个区间内单调递增；如.如果 f ( x)0 ，那么函数yf (x) 在这个区0 ， f ( x)0 是 yf ( x) 在（ a,b）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正一般地，当函数y f (x)在点x0处连续时，判断f (x0 )是极

2、大（小）值的方法是：（ 1）如果在 x0附近的左侧f (x)0 ，右侧 f ( x)0，那么 f ( x0 ) 是极大值（ 2）如果在 x0附近的左侧f (x)0 ，右侧 f (x)0，那么 f ( x0 ) 是极小值注：导数为0 的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（a,b）内，如果f ( x)0 ，那么函数yf (x) 在这个区间内单调递增；如果f ( x)0 ，那么函数 y注：函数yf ( x) 在这个区间内单调递减.如果f (x) 在（ a,b）内单调递增，则f (x)f ( x)0 ，那么函数0 ， f ( x)y0是f ( x) 在这个区间上是常数函数

3、.yf ( x) 在（ a,b）内单调递增的充分不必要条件.例 1】（ B 类）已知函数f ( x)x3bx2cxd 的图象过点 P(0, 2) ，且在点 M ( 1,f ( 1) 处的切线方程为 6 xy70 .（）求函数 yf ( x) 的解析式；（）求函数 yf ( x) 的单调区间 .【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数 f ( x) 在区间 a,b 上递增可得：f ( x) 0；函数f (x) 在区间 a,b 上递减可得： f (x)0 .【例 2】（ A 类）若f ( x) ax3x 在区间 1,1 上单调递增，求a 的取值范围 .【解题思路】利用函数f ( x) 在区

4、间 a,b 上递增可得： f ( x)0；函数 f ( x) 在区间 a,b 上递减可得：f (x)0 .得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解【例 3】（ B 类）已知函数 f ( x) ln x ,(x)a (a0)设gF (x)f ( x) g( x),x（）求函数F ( x) 的单调区间；（）若以函数 yF ( x)(x (0,3) 图像上任意一点P(x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k1恒成立，2求实数 a 的最小值【课堂练习】1. （ B ）已 知 函 数 f ( x)ax3bx2 的 图 像 经 过 点 M (1,4) ， 曲 线 在 点 M 处 的 切 线 恰

5、 好 与 直 线x9y0 垂直 .（）求实数a,b 的值；（）若函数f ( x) 在区间 m, m1 上单调递增，求m 的取值范围 .2（ B 类）设函数 g(x)1 x21 ax 2bx(a,b R) ，在其图象上一点P（ x， y）处的切线的斜率记32为 f (x).（ 1）若方程f ( x)0有两个实根分别为2和4,求f ( x) 的表达式；（ 2）若 g( x)在区间 1,3上是单调递减函数 , 求a 2b2 的最小值3.（ A 类）已知函数f ( x)1 x2m ln x (m 1)x ， m R 当 m0 时，讨论函数f ( x) 的单调2性 .例一 解析】（）由 f ( x) 的

6、图象经过 P(0, 2) ，知 d2 ，所以所以f ( x)32cx 2 .xbxf (x)3x22bxc .由在 M ( 1, f (1) 处的切线方程是6x y 7 0 ，知 6 f ( 1)7 0 ，即 f ( 1)1， f ( 1) 6 .所以32bc6,即2bc3,解得 bc3 .1bc21.b c0.故所求的解析式是f ( x)x33x23x2.（）因为 f(x)3x26x3 ，令 3x26x3 0 ，即 x22x1 0 ，解得 x12 ， x12 .12当 x12 或 x12 时， f(x)0 ，当 12x12 时， f(x)0 ，故 f ( x)x33x23x2在 (,12内是

7、增函数，在12,12内是减函数，在12, ) 内是增函数 .例二【解析】f( x)3ax21又 f(x) 在区间 1,1 上单调递增21f ( x)3ax 10 在 1,1上恒成立即 a3x2在 x 1,1 时恒成立 .a1故 a 的取值范围为 1,33例三解析】（ I） Fxfxgxln xax0， F x1axax0xxx2x2 a0 ，由 F x0xa,， Fx在 a,上单调递增 .由 F x0x0, a， Fx 在 0, a上单调递减 . Fx 的单调递减区间为0,a，单调递增区间为a,.（II）x ax0a12x2F x0x0x0 x0F x0x3， k20 x 3恒成立a2max当

8、 x01时，1 x02x0 取得最大值1.2211 a， amin=221，【解析】（）f ( x)ax3bx2M (1,4)a b 4课堂练习；的图象经过点 f (x)3ax22bx ， f(1) 3a2b由已知条件知f (1) (1 )1 即 3a2b99ab4得：a1解2bb33a9（）由（）知f ( x)x3 3x2 ， f (x) 3x26x令 f ( x) 3x26x0 则 x2或 x 0函数 f ( x) 在区间 m, m1上单调递增 m, m 1(, 2 0,) m 0 或 m 12 即 m 0 或 m 32，解析】（ 1）根据导数的几何意义知f(xgx)x2axb)(由已知

9、-2、 4 是方程 x 2axb0 的两个实根24aa2( )228由韦达定理，,24bb 8fxxx（ 2） g ( x) 在区间 1， 3上是单调递减函数，所以在 1， 3区间上恒有f ( x) g ( x) x2ax b0,即 f ( x)x2axb0在1,3恒成立这只需满足f (1)0即可 , 也即 ab1f (3) 0b3a9而 a 2b2可视为平面区域ab1 内的点到原点距离的平方 ,b3a9其中点（ 2， 3）距离原点最近，所以当a2时, a2b 2 有最小值 13b33，【解析】f ( x)xm(m1)x2(m 1)x m ( x 1)(x m)xx，x（ 1）当1m0 时，若

10、 x0,m 时,f( x)0, f ( x) 为增函数；xm,1 时,f( x)0, f ( x) 为减函数；x1,时,f( x)0, f ( x) 为增函数（ 2）当 m1时， x0,1 时, f ( x)0, f (x) 为增函数；x1,m 时, f(x)0, f (x) 为减函数；xm,时, f( x)0, f (x) 为增函数知识点二 : 导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1) 确定函数的定义域，求导数f ( x) .(2)求方程 f (x)0的根.(3)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x) 在方程根左右的值的符号，

11、如果左正右负，那么f ( x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f ( x) 在这个根处无极值 .2.求函数在 a, b 上最值的步骤：（1）求出f ( x) 在 (a,b) 上的极值 .（ 2）求出端点函数值 f (a), f (b) .（ 3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注 :可导函数 yf (x) 在 xx0 处取得极值是f (x0 )0 的充分不必要条件 .【例 4】（ A 类）若函数f ( x)m cos x1 sin 2x 在x处取得极值 ,则 m.24【解题思路】若在x0 附近的左侧f (x)0 ，右侧

12、 f(x)0，且 f ( x0 )0 ,那么 f ( x0 ) 是 f (x) 的极大值；若在 x 0 附近的左侧f ( x)0 ，右侧 f ( x)0 ，且 f (x0 )0 ,那么 f (x0 ) 是 f ( x) 的极小值 .【解析】因为 f ( x) 可导,且f (x)msin xcos2x,所以f()m sincos0解得 m0.,442验证当 m0时 ,函数 f(x)1sin 2x 在 x处取得极大值 .24【注】 若 f ( x) 是可导函数，注意f(x0 )0 是 x0 为函数 f ( x) 极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0 左右判断单调性 . 例 5】（ B 类）已知

13、函数fxxk ex，（ I）求 fx 的单调区间；（ II ）求 fx在区间0,1 上的最小值 .【解析】（I ） f / ( x)( xk1)ex，令f / ( x)0xk1；所以 fx 在 (, k1) 上递减，在(k1,) 上递增；（II ）当k10,即 k 1时，函数f x在区间0,1上递增，所以f ( x)min f (0) k；当 0k 11即 1k 2 时，由（ I）知，函数f x 在区间0, k 1 上递减， (k1,1上递增，所以 f ( x)minf (k1)ek 1； 当 k1 1,即 k2时 ， 函 数 f x 在 区 间 0, 1 上 递 减 ， 所 以f ( x)

14、minf (1)(1 k )e .【例 6】（ B 类）设 x1, x2是 f xa ln x bxx函数的两个极值点 .（ 1）试确定常数a 和 b 的值；（ 2）试判断 x1, x2 是函数 f x的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（ 1） f xa2bx1,xf由已知得：fa2b10210a1 a3204b1012b6（ 2） x 变化时 . f ( x), f ( x) 的变化情况如表：x（0，1）1（ 1，2）2f ， x0+0f x极小值极大值542ln 2故在 x1处，函数 fx 取极小值 6；在 x2 处，函数 fx 取得极大值 33f ( x)1 x31 x 22

15、ax.若 f ( x)( 2 ,)a 的取值范围 .4.（ A 类）设32在 3上存在单调递增区间，求5.（ B 类）设 f ( x) ln x ， g( x)f ( x) f ( x) g(1)（ 1）求 g (x) 的单调区间和最小值；（ 2）讨论 g( x)x与的大小关系；6.（ C 类）已知函数f ( x) x33ax2(3 6a) x 12a 4( a R)( )证明：曲线 yf ( x)在x0 的切线过点 (2,2) ；.( 2 ,)课堂练习； 4，【解析】 f ( x) 在 3上存在单调递增区间，2即存在某个子区间(m, n)( 3 ,)使得 f ( x)0 .f ( x)x2x

16、 2a( x1) 212a由24，f ( x) 在区间 2) 上单调递减，则只需23 ,f(3)0即可 .f ( 2 )22a 0a1由39解得9 ，a1时， f (x)( 2 ,)所以，当9在 3上存在单调递增区间1x15，解】（ 1）由题设知f ( x) ln x, g( x) ln xx ， g (x)x2, 令 g ( x)0 得 x =1 ，当 x （ 0， 1）时， g ( x) 0， g (x) 是减函数，故（ 0， 1）是 g( x) 的单调减区间 .当 x （ 1，+）时， g ( x) 0， g(x) 是增函数，故（ 1， +）是 g( x) 的单调递增区间，因此， x =1 是 g(x) 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g( x) 的最小值为 g (1) 1.g ( 1)ln x xh( x) g( x) g( 1 ) ln x x1h (x)(x 1)2(2)x，设