直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题(韩)

1、直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题一、直角三角形的性质1一块直角三角板放在两平行直线上，如图，1+ 2=度2如图，ABC 中，BAC=90 °，AD BC，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 F，AG 平分DAC ，求证： BAD= C；AEF= AFE； AG EF3如图所示，在 ABC 中， CD， BE 是两条高，那么图中与 A 相等的角有4如图，已知ABC 中， AB AC ，BE、CF 都是ABC 的高， P 是 BE 上一点且 BP=AC ， Q 是 CF 延长线上一点且 CQ=AB ，连接 AP、AQ 、 QP，求证：APQ 是等腰直角三角形二、含 30 &#

2、176;角的直角三角形的性质5在 Rt ABC 中，ACB=60 °，DE 是斜边 AC 的中垂线，分别交AB 、AC 于D、 E 两点若 BD=2 ，求 AD 的长第 1页（共 47页）6如图，AOP= BOP=15 °，PCOA 交 OB 于 C，PD OA 于 D，若 PC=6 ，求PD的长7如图所示，矩形ABCD 中， AB=AD ，E 为 BC 上的一点，且 AE=AD ，求EDC 的度数8如图，ABC 为等边三角形，点D 为 BC 边上的中点， DFAB 于点 F，点E 在 BA 的延长线上，且ED=EC ，若 AE=2 ，求 AF 的长9如图所示，已知 1=

3、2 ，AD=BD=4， CE AD ， 2CE=AC ，求 CD 的长第 2页（共 47页）10 如图，在 Rt ABC 中，ACB=90 °，B=30 °，AD 平分BAC ，DEAB于 E，求证：（ 1） CD=DE ；（2 ）AC=BE ；（ 3） BD=2CD ；三、直角三角形斜边中线问题11 如图，在ABC 中A=60 °，BM AC 于点 M ， CN AB 于点 N ，P 为 BC边的中点，连接PM ，PN ，求证：PMN 为等边三角形；12 已知锐角ABC 中， CD ， BE 分别是 AB， AC 边上的高， M 是线段 BC 的中点，连接 DM

4、 ， EM （ 1）若 DE=3 ，BC=8 ，求DME 的周长；（ 2）若A=60 °，求证：DME=60 °；（ 3）若 BC2 =2DE 2 ，求A 的度数第 3页（共 47页）13 如图，在ABC 中， D 是 BC 上一点， AB=AD ，E、F 分别是 AC 、BD 的中点， EF=2 ，求 AC 的长14 如图，在ABC 中， AB=6 ，AC=8 ， BC=10 ， P 为边 BC 上一动点， PEAB 于 E，PFAC 于 F，M 为 EF 中点，求 AM 的最小值15 如图，在ABC 中，ACB=90 °，B=20 °，D 在 BC

5、上， AD=BD ，E 为AB 的中点， AD 、CE 相交于点 F，求DFE 等于多少16 如图，在 RtABC 中，ACB=90 °，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB，若B=50 °，求ACB =17 如图，ABC 中， AB=AC ，D 为 AB 中点， E 在 AC 上，且 BEAC ，若第 4页（共 47页）DE=5 ，AE=8 ，求 BC 的长度18 如图，在平行四边形ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt ACE，又BED=90 °求证： AC=BD 19 已知：如图，在RtABC 中，ACB=90 °，点M 是 AB 边的中点，

6、CH AB 于点 H ， CD 平分ACB （ 1）求证： 1= 2 （ 2）过点 M 作 AB 的垂线交 CD 延长线于 E，求证： CM=EM ；（ 3）AEB 是什么三角形？证明你的猜想20 如图，已知在ABC 中，延长 CA 到 D，使 BA=BD ，延长 BA 到 E，使 CA=CE ，第 5页（共 47页）设 P、M 、 N 分别是 BC、AD 、 AE 的中点求证： PMN 是等腰三角形四、等腰直角三角形问题21 如图，ACB、CDE 为等腰直角三角形， CAB= CDE=90 °，F 为 BE 的中点，求证： AFDF，AF=DF 22 已知等腰直角三角形ABC 中，

7、CD 是斜边 AB 上的高，AE 平分CAB 交 CD于 E，在 DB 上取点 F，使 DF=DE ，求证： CF 平分DCB23 如图，OBD 和OCA 是等腰直角三角形， ODB= OCA=90 °M 是线段 AB 中点，连接 DM 、CM 、CD 若 C 在直线 OB 上，试判断CDM 的形状第 6页（共 47页）24 如图，已知点D 在 AC 上，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，点M为 EC 的中点（ 1）求证：BMD 为等腰直角三角形；（ 2）将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转 45 °，如图所示，则（1）题中的结论“BMD 为等腰直角三角形”是否仍然成立

8、？请说明理由25 已知：如图 ABC 中，A=90 °，AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点， E，F 分别在线段 AB ，AC 上，且EDF=90 °（ 1）求证：DEF 为等腰直角三角形；（ 2）求证： S 四边形 AEDF=SBDE+S CDF；（ 3）如果点 E 运动到 AB 的延长线上， F 在射线 CA 上且保持EDF=90 °，DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由26 ABC 中，ABC=45 °，AB BC，BEAC 于点 E，AD BC 于点 D第 7页（共 47页）（ 1）如图 1，作ADB 的角平分线 DF 交 BE 于

9、点 F，连接 AF求证：FAB=FBA ；（ 2）如图 2，连接 DE，点 G 与点 D 关于直线 AC 对称，连接 DG、 EG依据题意补全图形；用等式表示线段AE、BE、DG 之间的数量关系，并加以证明27 如图，在ABC 中，ACB=90 °，AC=BC ，D 为 BC 中点， DEAB ，垂足为点 E，过点 B 作 BFAC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF、AF、 AD ，AD 与CF 交于点 G（ 1）求证：ACD CBF；（2）AD 与 CF 的关系是；（ 3）求证：ACF 是等腰三角形；（ 4）ACF 可能是等边三角形吗？（填“可能”或“不可能” ）第 8页（共

10、 47页）直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题参考答案与试题解析1【解答】 解：如图， 1= 3 ，2= 4 （对顶角相等），3+ 4=90 °，1+ 2=90 °故答案为： 90 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等， 熟记性质是解题的关键2如图，ABC 中，BAC=90 °，AD BC，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 F，AG 平分DAC ，给出下列结论： BAD= C；AEF= AFE；EBC= C； AG EF其中正确的结论是（）ABCD 【分析】根据同角的余角相等求出 BAD= C，再根据等角的余角相等可以求出AEF= AFE

11、；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG EF【解答】 解：BAC=90 °，AD BC，第 9页（共 47页）C+ ABC=90 °，BAD+ ABC=90 °，BAD= C，故正确；BE 是ABC 的平分线，ABE= CBE，ABE+ AEF=90 °，CBE+ BFD=90 °，AEF= BFD，又AFE= BFD（对顶角相等），AEF= AFE，故正确；ABE= CBE，只有C=30 °时EBC= C，故错误；AEF= AFE，AE=AF ，AG 平分DAC ，AG EF，故正确综上所述，正确的结论是故选 C【点评】本题考查了直

12、角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键第10页（共 47页）3如图所示，在ABC 中，CD，BE 是两条高，那么图中与 A 相等的角的个数有（）A1 个B2 个 C3 个D4 个【分析】 根据已知条件CD ， BE 是两条高可知： A+ DCA=90 °，ABE+ BHD=90 °，A+ ABE=90 °，CHE+ HCE=90 °，再根据同角的余角相等即可得到答案【解答】 解：CD AB ，CDA= BDH=90 °，A+ DCA=90

13、°，ABE+ BHD=90 °，BEAC ，A+ ABE=90 °，CHE+ HCE=90 °，A= BHD= CHE，故选： B【点评】此题主要考查了直角三角形的性质， 关键是根据垂直得到有哪些角互余4如图，已知 ABC 中， AB AC，BE、CF 都是ABC 的高， P 是 BE 上一点且 BP=AC ，Q 是 CF 延长线上一点且CQ=AB ，连接 AP、 AQ 、QP ，判断APQ 的形状第11页（共 47页）【分析】 利用 BE、CF 都是ABC 的高，求证1= 2 ，然后求证ACQ PBA，利用 AQ=AP ，AQ AP，即可证明APQ 是

14、等腰直角三角形【解答】 解：APQ 是等腰直角三角形BE、CF 都是ABC 的高，1+ BAE=90 °，2+ CAF=90 °（同角（可等角）的余角相等）1= 2又AC=BP ，CQ=AB ，在ACQ 和PBA 中，ACQ PBAAQ=AP ，CAQ= BPA= 3+90 °QAP= CAQ 3=90 °AQ APAPQ 是等腰直角三角形第12页（共 47页）【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的理解和掌握，难度不大，属于基础题5（2016 秋 ? 泰山区期中）在 RtABC 中，ACB=60 °，DE 是斜边 AC

15、的中垂线，分别交 AB 、AC 于 D 、E 两点若 BD=2 ，则 AD 的长是（）A3B4C5D4.5【分析】根据直角三角形的性质求出 A 的度数，根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC ，解答即可【解答】 解：ACB=60 °，B=90 °，A=30 °，DE 是斜边 AC 的中垂线，DA=DC ，ACD= A=30 °，BD=2 ，第13页（共 47页）AD=4 ，故选 B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质， 掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键6（2016 秋 ? 大丰市月考）如图，AOP=

16、 BOP=15 °，PCOA 交 OB 于 C，PDOA 于 D，若 PC=6 ，则 PD 等于（）A4B3C2D1【分析】 过点 P 作 PEOB 于 E，根据两直线平行，内错角相等可得AOP= COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出PCE=AOB=30 °，再根据直角三角形 30 °角所对的直角边等于斜边的一半解答【解答】 解：如图，过点 P 作 PE OB 于 E，PCOA ，AOP= COP，PCE=BOP+ COP= BOP+ AOP= AOB=30 °，又PC=6 ，PE=PC=3 ，AOP= BOP ，PD OA

17、，PD=PE=3 ，故选 B第14页（共 47页）【点评】本题考查了直角三角形30 °角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及平行线的性质， 作辅助线构造出含 30 °的直角三角形是解题的关键7（2015 春 ? 兰溪市期末）如图所示，矩形ABCD 中， AB=AD ，E 为 BC 上的一点，且 AE=AD ，则EDC 的度数是（）A30°B75 °C45°D15 °【分析】根据矩形性质得出 C= ABC=90 °，AB=CD ，DC AB ，推出 AE=2AB ，得出AEB=3

18、0 °= DAE ，求出EDC 的度数，即可求出答案【解答】 解：四边形 ABCD 是矩形，C= ABC=90 °，AB=CD ， DCAB，AB=AD ，E 为 BC 上的一点，且 AE=AD ，AE=2AB ，AEB=30 °，AD BC，AEB= DAE=30 °，AE=AD ，第15页（共 47页）ADE= AED=（ 180 °EAD） =75 °，ADC=90 °，EDC=90 °75 °=15 °，故选 D【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质

19、，含 30 度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出ABC 和EBA 的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目8（2013 春 ? 重庆校级期末）如图，ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上的中点， DFAB 于点 F，点 E 在 BA 的延长线上，且ED=EC ，若 AE=2 ，则 AF 的长为（）AB2C+1D3【分析】过点 E 作 EHAC 交 BC 的延长线于 H ，证明ABH 是等边三角形，求出 CH ，得到 BD 的长，根据直角三角形的性质求出 BF，计算即可【解答】 解：过点 E 作 EHAC 交 BC 的延长线于 H ，H= ACB=60 °，又B=6

20、0 °，第16页（共 47页）EBH 是等边三角形，EB=EH=BH ，CH=AE=2 ，ED=EC ，EDC= ECD，又B= H ，BED= HEC，在BED 和HEC 中，BEDHEC，BD=CH=2 ，BA=BC=4 ， BF=BD=1 ，AF=3 故选： D【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30 °角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的三个角都是 60 °是解题的关键9（ 2012 春 ? 古冶区校级期中）如图所示，已知1= 2，AD=BD=4，CEAD ，第17页（共 47页）2CE=AC

21、 ，那么 CD 的长是（）A2B3C1D1.5【分析】 在 RtAEC 中，由于=，可以得到 1= 2=30 °，又AD=BD=4，得到B= 2=30 °，从而求出ACD=90 °，然后由直角三角形的性质求出 CD 【解答】 解：在 RtAEC 中，=，1= 2=30 °，AD=BD=4，B= 2=30 °，ACD=180 °30 °×3=90 °，CD=AD=2 故选 A【点评】 本题利用了：（ 1）直角三角形的性质；（ 2）三角形内角和定理；（ 3）等边对等角的性质10 （ 2012 秋 ? 包河区期

22、末）如图，在 Rt ABC 中，ACB=90 °，B=30 °，AD平分BAC，DEAB 于 E，以下结论（1 ）CD=DE ；（2 ）AC=BE ；（3）BD=2CD ；（ 4） DE=AC 中，正确的有（）第18页（共 47页）A1 个B2 个 C3 个D4 个【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE ，AC=BE ，结合含 30 °角的直角三角形的性质可得 BD=2CD ，而 AC 和 BD 不一定相等，所以可得出答案【解答】 解：ACB=90 °，B=30 °，AD 平分BAC， DE AB ，DC=DE ，ADC= ADE=60 &#

23、176;，AD 平分CDE，AC=AE ，在 RtBDE 中，B=30 °，BD=2DE=2CD，在 RtADE 中， DE= AE=AC，正确的有（ 1 ）、（2）、（ 3），故选 C【点评】本题主要考查角平分线的性质及含30 °角的直角三角形的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键11 （ 2015 秋 ? 江阴市期中）如图，在ABC 中A=60 °，BM AC 于点 M ，CN AB 于点 N ，P 为 BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论： PM=PN ；PMN 为等边三角形；下面判断正确是（）第19页（共 47页）A正确B正确C

24、都正确 D 都不正确【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出 ABM= ACN=30 °，再根据三角形的内角和定理求出BCN+ CBM=60 °，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 BPN+ CPM=120 °，从而得到MPN=60 °，又由得PM=PN ，根据有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形可判断正确【解答】 解：BM AC 于点 M ，CN AB 于点 N ，P 为 BC 边的中点，PM=BC，PN=BC，PM=PN ，正确；A=60 °，BM

25、AC 于点 M ， CN AB 于点 N ，ABM= ACN=30 °，在ABC 中，BCN+ CBM 180 °60 °30 °×2=60 °，点P 是 BC 的中点， BM AC，CN AB，PM=PN=PB=PC，BPN=2 BCN ，CPM=2 CBM ，BPN+ CPM=2 （BCN+ CBM ） =2 ×60 °=120 °，MPN=60 °，PMN 是等边三角形，正确；第20页（共 47页）所以都正确故选： C【点评】 本题主要考查了直角三角形30 °角所对的直角边等于斜

26、边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键12 已知锐角ABC 中， CD ，BE 分别是 AB ，AC 边上的高， M 是线段 BC的中点，连接 DM ，EM （ 1）若 DE=3 ，BC=8 ，求DME 的周长；（ 2）若A=60 °，求证：DME=60 °；（ 3）若 BC2 =2DE 2 ，求A 的度数【分析】（ 1 ）根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4 ，EM=BC=4 ，即可求出答案；（ 2）根据三角形内角和定理求出 ABC+ ACB=120 °，根据直角三角形斜边上中线性质求出 DM=BM ，EM=CM ，推出ABC

27、= BDM ，ACB= CEM ，根据三角形内角和定理求出即可；（ 3）求出 EM=EN，解直角三角形求出 EMD 度数，根据三角形的内角和定理求出即可【解答】 解：（1）CD ，BE 分别是 AB ，AC 边上的高，BDC= BEC=90 °，第21页（共 47页）M 是线段 BC 的中点， BC=8 ，DM=BC=4 ，EM=BC=4 ，DME 的周长是 DE+EM+DM=3+4+4=11；（ 2）证明：A=60 °， ABC+ ACB=120 °，BDC= BEC=90 °，M 是线段 BC 的中点， DM=BM ，EM=CM ，ABC= BDM

28、，ACB= CEM ，EMC+ DMB= ABC+ ACB=120 °， DME=180 °120 °=60 °；（ 3）解：过 M 作 MN DE 于 N，DM=EM ，EN=DN=DE，ENM=90 °，EM=DM=BC， DN=EN=DE，BC2 =2DE 2 ，（2EM ）2=2 （2EN ）2，EM=EN，sin EMN=，EMN=45 °，同理DMN=45°，DME=90 °，第22页（共 47页）DMB+ EMC=180 °90 °=90 °，ABC= BDM ，ACB=

29、 CEM ，ABC+ ACB=（ 180 °DMB+180 °EMC ）=135 °，BAC=180 °（ABC+ ACB）=45 °【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理， 解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半13 （ 2014 春 ? 永川区校级期中）如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点， AB=AD ，E、F 分别是 AC、 BD 的中点， EF=2 ，则 AC 的长是（）A3B4C5D

30、6【分析】连结 AF由 AB=AD ，F 是 BD 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF BD 再 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4 第23页（共 47页）【解答】 解：如图，连结 AFAB=AD ，F 是 BD 的中点，AFBD在 RtACF 中，AFC=90 °，E 是 AC 的中点， EF=2 ，AC=2EF=4 故选 B【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中， 斜边上的中线等于斜边的一半利用等腰三角形三线合一的性质得出AF BD 是解题的关键14 （ 2011 秋 ? 姜堰市期末）如图，在ABC 中，AB=6 ，AC

31、=8 ，BC=10 ，P 为边 BC 上一动点， PEAB 于 E，PF AC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（）A2B2.4 C2.6 D3【分析】先求证四边形 AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP 最短时的长，然后即可第24页（共 47页）求出 AM 最短时的长【解答】 解：连结 AP ，在ABC 中， AB=6 ， AC=8 ，BC=10 ，BAC=90 °，PEAB ，PFAC ，四边形 AFPE 是矩形，EF=AP M 是 EF 的中点，AM=AP ，根据直线外一点到直线上任一点的距离，

32、垂线段最短，即 AP BC 时， AP 最短，同样 AM 也最短，当 APBC 时，ABP CBA，=，=，AP 最短时， AP=4.8当 AM 最短时， AM=2.4 故选 B【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题， 有一定的拔高难度， 属于中档题第25页（共 47页）15 （2010 ? 武隆县模拟）如图，在 ABC 中，ACB=90 °，B=20 °，D 在 BC上， AD=BD ，E 为 AB 的中点， AD 、CE 相交于点 F，DFE 等于（）A40°B50 °C60

33、°D70 °【分析】根据已知得， BAC=70 °，BAD= B，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出 ECB=B，从而得出 ACE，再由三角形的内角和定理得AFC，根据对顶角相等求出答案【解答】 解：ACB=90 °，B=20 °，BAC=70 °，AD=BD ，BAD= B=20 °，DAC=50 °，E 为 AB 的中点，BE=CE，ECB=B=20 °，ACE=70 °，在ACF 中，ACF+ AFC+ FAC=180 °，AFC=60 °，DFE= AF

34、C=60 °（对顶角相等），故选 C第26页（共 47页）【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识要熟练掌握16 （2016 ? 江岸区模拟）如图，在Rt ABC 中，ACB=90 °，将边BC 沿斜边上的中线 CD 折叠到 CB，若B=50 °，则ACB =10 ° 【分析】根据三角形内角和定理求出 A 的度数，根据直角三角形的性质分别求出BCD、DCA 的度数，根据翻折变换的性质求出BCD 的度数，计算即可【解答】 解：ACB=90 °，B=50 °，A=40 °，ACB=90

35、 °，CD 是斜边上的中线，CD=BD ，CD=AD ，BCD= B=50 °，DCA= A=40 °，由翻折变换的性质可知， BCD= BCD=50 °，ACB =BCD DCA=10 °，故答案为： 10 °【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质， 掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键17 （ 2016 秋 ? 嵊州市期末）如图，ABC 中，AB=AC ，D 为 AB 中点， E 在 AC第 27页（共 47页）上，且 BEAC ，若 DE=5 ，AE=8 ，则 BC 的长度为2【分析】 由 B

36、EAC，D 为 AB 中点， DE=5 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB 的长，然后由勾股定理求得BC 的长【解答】 解：BEAC ，AEB=90 °，D 为 AB 中点，AB=2DE=2 ×5=10 ，AE=8 ，BE=6 BC=2，故答案为： 2【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键18 如图，在平行四边形ABCD 中，以 AC 为斜边作 RtACE，又BED=90 °求证： AC=BD 第28页（共 47页）【分析】 连接 EO，首先根据平行四边形的性

37、质可得AO=CO ， BO=DO ，即 O为 BD 和 AC 的中点，在 Rt AEC 中 EO=AC，在 Rt EBD 中，EO=BD ，进而得到 AC=BD ，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论【解答】 证明：连接 EO，四边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO ，BO=DO ，在 RtEBD 中，O 为 BD 中点，EO=BD ，在 RtAEC 中，O 为 AC 中点， EO= AC，AC=BD 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第29页（共 47页）19 已知：如图，在RtABC 中，ACB=90

38、°，点M 是 AB 边的中点， CH AB 于点 H ， CD 平分ACB （ 1）求证： 1= 2 （ 2）过点 M 作 AB 的垂线交 CD 延长线于 E，求证： CM=EM ；（ 3）AEB 是什么三角形？证明你的猜想【分析】（ 1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到由等腰三角形到性质得到 CAB= ACM ，由余角的性质得到量代换得到 BCH= ACM ，根据角平分线的性质得到 ACD=AM=CM=BM，CAB= BCH ，等BCD，即可得到结论；（ 2）根据 EM AB ，CH AB，得到 EM AB，由平行线的性质得到 HCD= MED ，由于HCD= MCD

39、，于是得到 MCD= MED ，即可得到结论；（ 3）根据 CM=EM AM=CM=BM，于是得到 EM=AM=BM，推出AEB 是直角三角形，由于EM 垂直平分 AB ，得到 EA=EB 于是得到结论【解答】 证明：（1）Rt ABC 中，ACB=90 °，M 是 AB 边的中点，AM=CM=BM，第30页（共 47页）CAB= ACM ，CAB=90 ABC，CHAB，BCH=90 ABC，CAB= BCH，BCH= ACM ，CD 平分ACB ，ACD= BCD ，ACD ACM= BCD BCH ，即1= 2；（ 2）EMAB，CHAB，EM CH ，HCD= MED ，HCD= MCD ，MCD= MED ，CM=EM ；（ 3）AEB 是等腰直角三角形，CM=EM AM=CM=BM，EM=AM=BM，AEB 是直角三角形，第31页（共 47页）EM 垂直平分 AB ，EA=EB ，AEB 是等腰三角形，AEB 是等腰直角三角形【点评】本题考查了直角三角形斜边上的