苏教版高中数学必修五等差数列的前n项和一教案

1、让学生学会学习等差数列的前n项和(一)教学目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路， 会用等差数列的前 n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用 .教学难点：灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题 .教学过程：I .复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：(1) an an 1= d(n>1), d 为常数.(2)若a, A, b为等差数列，则aa+ bA=2(3)若 m + n = p + q,则 am+an = ap+aq.(其中 m, n, p, q 均为正整数) n

2、.讲授新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题例：如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支,图，看到此 一个式子来 上共放着多 是一个等差知道他是怎最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔 ？这是一堆放铅笔的 V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个 V形架少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+ 100 = ?对于这个问题，著名数学家高斯1

3、0岁时曾很快求出它的结果，你么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1 + 100=101,第2项与倒数第2项的和：2+99=101,第3项与倒数第3项的和：3+98=101,第50项与倒数第50项的和：50+51= 101,于是所求的和是 101X二=5050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1, 2, 3,，n,的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第 k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列an的前

4、n项和为Si,即Sn= a1 + a2+ an把项的次序反过来，Sn又可写成Sn=an+an-1+ -+a1+ 2Si = (a1+ an)+ (a2+ an-1)+ + (an + a1)又.: a2+ an 1= a3+ an 2= a4 + an-3 = 3= an + a12$=n(a1 + an)即：Sn =n (a1+an)2若根据等差数列an的通项公式，&可写为：Sn=a1+(a1+d)+a1+(n 1)d，把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an d)+an(n1)d,把、两边分别相加，得 n2$= (aan) (ai an)(a1an) =n(a1 + an

5、)即：Sn =n (ai+an)2由此可得等差数列an的前n项和的公式Sn =n (ai+an)2也就是说，等差数列的前 n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半用这个公式来计算1 + 2+3+-4100=?我们有Si00 =100 (1 + 100)= 5050.又 an= a1+(n 1)d,n (a1 + an)na + a+ ( n 1) d)n (n 1)=na1+2 d- n (a1 + an)n ( n 1)Sn=2 或 Sn= na1 +2 d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个 V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的

6、铅笔成等差数列，可记为an,其中 a1= 1, a120= 120, n= 120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列an,其中n= 120, a1=1, a120= 120.则：S，。20 120)=726。答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列10, 6, 2, 2,前多少项的和是 54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解解：设题中的等差数列为 an,前n项为的Sn,由题意可知：a1=- 10, d= (-6)-(-10)= 4, Sn=54 由等差数列前n项求和公式可得：n (n1)10n+2 x 4=54解

7、之得：n=9, n2=3(舍去)答案：等差数列一10, 6, 2, 2,前9项的和是54.例1在等差数列an中,(1)已知 a2+ a5 + a12 + a15 = 36,求 &6(2)已知 a6= 20,求 Su.分析：(1)由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16, d,但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出 a1 + a16的和，于是问题得以解决.(2)要求&1只需知道a1 + a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是 a6,从而问题获解.解：(1)a2+ a15= a5+ a12= a1+ a16= 18_16 (a1 + a16)l-S16=2=8

8、X18=144.(2) a1+ an = 2a6_11 (a + a11)-S11=2= 11a6= 11 X20=220.例2有一项数为2n+ 1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比分析一：利用 Sn= na1 + n(n0 1)d解题.解法一：设该数列的首项为ai,公差为d,奇数项为ai,ai + 2d,其和为Si,共n + 1项；偶数项为ai + d, ai + 3d, ai+5d,，其和为 S2,共 n 项.(n+i) ai + J (n+i) (n+i) - i2d ,.Si2n+i一=S2i ， 八nn (ai + d) + 万 n (n i) 2d分析二：利用Sn =n

9、(ai+an)解题.解法二：由解法一知：(n+i)(a + a2n+1)Si =S2 =n (a2+a2n)- ai+ a2n+i= a2+ a2n例3 分析一: 解法一:若两个等差数列的前Sin+1,-S2nn项和之比是(7n+1) ： (4n + 27),试求它们的第11项之比.利用性质m + n=p+q设数列an的前n项和为am+ an= ap+ aq 解题.Sn,数列bn的前n项和为Tn.则：a1i =ai + a2i2bib2ibii=2aii biiai+ a2i2bi+ b2i-2ai + a2i21bi + b2i21S2iT217X2ii4-一 =T4X2i273分析二：利用

10、等差数列前n项和Sn=An2+Bn解题.解法二：由题设，令 S=(7n+1)nk, Tn=(4n+27)- nk 由 an= Si Sn i = k(14n 6),得 aii = 148k, n>2 bn=Tn-Tn i=k(8n-23),得 bii=111k, n>2,aii148k4而=111k =3 .评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,则:/ 、anS2n1am2n 1S2m1(1) (2)bnT2n1' (2) bn2m1T2n1.例4等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为A.30B.170

11、C.210D.260 答案：C分析一：把问题特殊化，即命 m=1来解.解法一：取 m=1,则 ai = Si=30, a2=&Si = 70 d = a2 ai= 40, a3= a2+ d = 70 + 40= 110, S3= ai + a2 + a3= 210分析二：利用等差数列的前n项和公式S = nai+n(n2 1)d进行求解.解法二：由已知，得Sm = mai +m (m 1)2d=302m (2m1)S?m=2mai+cd=100解得 ai = +22 , d=42 mm2' m23m (3m 1)d= 210. S2m = 3ma 1 +o分析三：借助等差数列

12、的前n项和公式Sn =n ( ai + an)及性质 m+n=p+qam + an= ap+aq 求解.m (a1+ am) =60解法三：由已知得m(a1+a2m)=100 月3m (a1 + a3m) = 2S3ma3m a2m = a2m am(J由一及一结合，得S3m = 210.分析四：根据性质："已知an成等差数列，则S?n-Sn, S3n &n ,，Skn-S(k-1)n,(k>2)成等差数列”解题.解法四：根据上述性质，知Sm, S2m-Sm, S3m Qm成等差数列.故 Sm+ (S3m S?m) = 2(S2m Sm),.S3m = 3(&m

13、Sm)=210.分析五：根据Sn=an2+bn求解.解法五：.an为等差数列，设 Sn= a n2+ b n,1. Sm= am2+ bm = 30, S2m = 4m2a+2mb = 100得 a = 22 , b=10 m2m1- S3m = 9m2a+ 3mb= 210.分析六：运用等差数列求和公式,- n (n 1)，,、-Sn= na1 +2 d的变形式解题.Snd,即7比、,_ n (n 1)斛法K:由 Si= na1 +2由此可知数列Sn 也成等差数列，也即SmS2m S3mSm，Sm成等差数列.S2mSmS3m由需=m +3m , Sm：3。，s2m=100，S3m = 210

14、.评述：一般地，又于等差数列am中，有Sp =-Sp±£ (pwq).p- qp+q例5在a, b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这 10个数的和.分析：求解的关键有二：其一是求和公式的选择；其二是用好等差数列的性质解法一：设插入的10个数依次为X1,X2,X3 ,，X10,则a,X1 ,X2 ,，X10,b成等差数列.令S= X1 + X2 + X3+ X10,需求出首项 X1和公差d.1.- b= a12= a1+ 11d,b ad= 11,X1 a + 11b a10a+ b111- S= 10X1 +1B*9 d= 10 , 解法二：设法同上，但不求10a + b 10 x 9 b a11+ 2彳=5(a+b)d.依 X1 + x10= a+ bS=10(X1 + X10)= 5(a+b)解法三：设法同上，正难则反12 (a+ b)一 S= S12一(a+ b) =2一 (a+ b)= 5(a+ b)评述：求和问题灵活多变，要注意理解和运用 .例6在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为 120° ,试问它是几边形？解：设