人教版 初中数学 八年级上册14.3因式分解（二）教案

1、 因式分解（二）一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 熟练的使用提取公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法进行多项式的因式分解；l 熟练的使用因式分解进行简便运算；l 了解使用配方法、添项（拆项）法、待定系数法来分解因式；l 会利用因式分解解决有关的综合题目。重点难点：l 重点：熟练的运用十字相乘法、分组分解法、配方法进行多项式的因式分解；l 难点：利用因式分解解决有关的综合题目。学习策略：l 在因式分解最基本的两种方法：提公因式法和公式法的基础上，继续学习根据多项式的特点，选择适当的方法进行因式分解，培养逆向思维的意识。二、

2、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）把一个多项式化成几个 的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 .（二）把多项式分解成两个因式的 的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 ，即 ，而正好是 除以 所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法（三）公式法因式分解（1）用平方差公式因式分解： 两个数的 等于这两个数的 与这两个数的 的乘积如：；（2）用完全平方公式因式分解： 两个数（

3、整式）的 加上（减去）这两个数（整式）的 的 倍，等于这两个数（整式）的和（差）的平方如：知识要点预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。知识点一：十字相乘法在二次三项式ax2bxc(a0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即aa1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到 ，若它正好等于二次三项式ax2bxc的一次项系数 ，即a1c2a2c1b，那么二次三项式就可以分解为

4、两个因式_与_之积，即ax2bxc_.要点诠释： （1）正确的十字相乘必须满足以下条件：在上式中，竖向的两个数必须满足关系 ， ；斜向的两个数必须满足关系a1c2a2c1b，分解思路为“看两端，凑中间.”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出 ，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的 添上.（3）形如x2pxq的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.这时只需考虑如何把常数项分解因数. 例如把x22x15分解因式，x22x15_.知识点二：分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用_法和_法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分

5、别分解因式，然后再对整体作因式分解分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.例如：如何将多项式a22abb21分解因式？分析：多项式的前三项是 ，可以先分解然后结合最后一项利用 公式来分解. a22abb21 = = 注：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项五项六项知识点三：配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例如：x2+3x-40=x2+3x+- - 40= (x+)2 - = (x+)2 -

6、=(x+)+(x+)-=_ 要点诠释：把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个多项式整数次幂的形式。其中，用的最多的是配成完全平方式.即公式，要会判断什么是：“”或“”，或“”，怎样从这两项去找出“”，或“从这两项去找出”，或“从去找出和”. 知识点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+_+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-

7、ab(a+b) =c(c-a)( )+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)注意：添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.知识点五：待定系数法在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式的 ，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该 ，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母 的值，这种因式分解的方法叫做待定系数法.注：运用待定系数法分解因式首先判断

8、出分解因式的 ，然后设出相应整式的字母 ，求出字母系数，从而把多项式因式分解.经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。类型一：十字相乘法例1把2x27x3因式分解.思路点拨：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的 和 ，再分解常数项，分别写在十字交叉线的 和 ，然后交叉相乘，求代数和，使其等于 次项系数.具体如下：分解二次项系数（只取正因数）：21×22×1；分解常数项：31×33×1(3)×(1)(1)×(3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

9、 经过观察，第 种情况是正确有.这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数_.解析： 总结升华： 例2把(xy)(2x2y3)2分解因式.思路点拨：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之_的形式，只有先_，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(xy)，它是第一个因式的二倍，然后把_看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(xy)的二次三项式，就可以用十个字相乘法分解因式了.解析： 总结升华： 举一反三：【变式1】用十字相乘法分解因式（1）x46x28（2）(ab)24(ab)3（3）(x23x2)(x23x4)72（4）x

10、23xy2y2答案：【变式2】用十字相乘法分解因式（1）2x27x3 （2）6x27x5（3）5x26xy8y2（4）(xy)(2x2y3)2答案：类型二：分组分解法分解因式例3用分组分解法分解因式（1）a22abb2c2（2）x3x2yxy2y3（3）x5x4x3x2x1思路点拨：（1）经过观察前三项是一个完全平方式，(ab)2与c2正好又构造为_公式的形式，能继续分解；（2）把第一、二项分为一组，第三、四项分为一组，它们分别提取公因式_和_，它们的另一个因式都是_，能继续提公因式分解；（3）这是一个_项式，很显然要先进行_，此题可分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分

11、解；也可把，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解.解析：总结升华： 举一反三：【变式1】对4x22x9y23y运用分组分解法分解因式，分组正确的是：（ ）A. (4x22x)(9y23y)B. (4x29y2)(2x3y)C. (4x23y)(9y22x)D. (4x22x3y)9y2答案：【变式2】将x3x2yxy2y3分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）A. (x3x2y)(xy2y3)B. (x3xy2)(x2yy3)C. (x3y3)(x2yxy2)D. (x3x2yxy2)y3答案：【变式3】用分组分解法分解因式（1）（2）（3）（4）（5）答案：类型三：

12、配方法分解因式例4分解因式思路点拨：第一、三项，第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式，进而两者又构成一平方差，因此拆常数项即可.解析： 总结升华： 举一反三：【变式1】分解因式解： 【变式2】分解因式解： 类型四：添、拆项法分解因式例5分解因式：x44思路点拨：题目是配完全平方，利用完全平方公式分解因式，在完全平方公式（a±b）2a2±2ab b2中，是配2ab呢，还是配2ab呢？要因题而异.在因式分解中，我们有时根据需要，也可能添上仅符号不同的两项，使它能够使用公式法或提取公因式法继续分解.解析：例6分解因式：x39x8.思路点拨：本题解法很多，这里只

13、介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧，（1）将常数项8拆成_，（2）将一次项9x拆成_，（3）将三次项x3拆成_，（4）添加两项_.解法1：解法2：解法3：解法4：总结升华： 举一反三：【变式】分解因式：（1）x9x6x33；（2）(m21)(n21)4mn；（3）(x1)4(x21)2(x1)4；（4）a3bab3a2b21.解：类型五：待定系数法分解因式例7分解因式2x25xy3y23x5y2思路点拨：多项式中的二次项2x25xy3y2，可以分解成_，因此，如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积.那么这两个因式是_的形式. 和原式对照从而求出m，n的值.解析：总结升华： 举一反三：【变式1】因式分解2x313x23解析：【变式2】分解因式：x23xy2y24x5y3.解析：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。（一）运