三角形等高模型与鸟头模型：知识例题精讲

1、三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大 （小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大 （小），三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生1变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的-，则三角形面积与原来的一3样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时 也告诉我们：一个三

2、角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论: 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S : S2 a :b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图Sa acd Sa BCD ；反之，如果Sa acdSabcd，则可知直线 AB平行于CD . 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高

3、之比.【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：3个面积相等的三角形； 4个面积相等的三角形；6个面积相等的三角形.【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上.求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？求三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍?D C【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.tvWVIB【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.CG【例5】长方形ABCD的面积为36 cm

4、2, E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少?厂C【例6】长方形ABCD的面积为36, E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC, AD 12厘米，DE 3厘米.求三角形 ABC的面积是三角形 EBC 面积的几倍？A【例C8】如图，在平行四边形 ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF BF那么与VBEC等积的三角形一共 有哪几个三角形？AA【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形ABC的面积为1,其中AE 3AB，BD 2BC，三角形BDE的面积是多少?【例10】（2008年四中考题）如右图

5、，AD DB，AE的面积是平方厘米.EFFC ,已知阴影部分面积为 5平方厘米,ABCAA【例11】如图ABCD是一个长方形，点 E、F和G分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形 EFG的面积是多少个平方单位.A【例12】如图，大长方形由面积是 12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成.求阴影部分的面积.12cm22/24cm248cm2AA【例13】如图，三角形ABC中，DC2BD , CE 3AE ,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少?A【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形AB

6、C中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是 89，28，26.那么三角形 DBE的面积是.AA【例15】（第四届小数报数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线 BD分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形 ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米求梯形 ABCD的面积.AA【例16】图中VAOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.AA【解析】在 VABD 中，因为 S/aob 15cm2，且 OB 3OD，所以有 S/aod S/aob 3 5cm2. 因为VABD和VACD等底等高，所以有

7、 S/abd S/acd .222从而 S/ocd 15cm，在 VBCD 中，S/boc 3Socd 45cm，所以梯形面积：15 5 15 45 80( cm).【例17】如图，把四边形 ABCD改成一个等积的三角形.【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面2积的15%，黄色三角形面积是 21cm 问：长方形的面积是多少平方厘米？【例19】O是长方形 ABCD内一点，已知OBC的面积是5cm2 , OAB的面积是2cm2，求 OBD的面积是多少？【例20】【例21】【例22】【例23】如右图，正方形DABCD的面积是20,正三角形 BP

8、C的面积是15，求阴影 BPD的面积.在长方形ABCD的18%，那么阴影 AOC的面积是多少?内部有一点O,形成等腰 AOB的面积为16，等腰 DOC（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形别是其两腰 AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知 ADG的面积为72积恰好是梯形 ABCD面积的，则梯形ABCD的面积是cm2.20的面积占长方形面积ABCD 中，E、F 分215cm，而 BCG的面如右图，过平行四边形 ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若 PBD的面积为8平方分 米，求平行四边形 PHCF的面积比平行四边形 PGAE的面积大多少平方分米？AD

9、【例24】如图所示，四边形 ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.F【例25】如图，正方形HABCD的边长为6, AE 1.5 , CF 2.长方形 EFGH的面积为A/EbIFC【例26】如图，ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果VADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.【例27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.【例28】如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为 10厘米，求阴影部分的面积.DCPK【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD和CGEF是两个正

10、方形， AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形 CHG的面积等于6平方厘米，求五边形 ABGEF的面积.【例30】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点,DF FC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等已知梯形 ABCD的面积是32平方厘米求图中阴 影部分的面积.【例31】如图，已知长方形 ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少?FC【例32】如图，在平行四边形 ABCD中，BE EC , CF 2FD .求阴影面积与空白面积的比.【例33】（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级

11、复赛）如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且 AE 3EC , O为DC与BE的交点.若 CEO的面积为a平方厘米， BDO的面积为b平方厘米且b a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.【例34】【例35】【例36】【例37】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 阴影部分的面积是多少？13 , 35 , 49 .那么图中图中是一个各条边分别为 5厘米、 上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分如图，长方形 ABCD的面积是2G12厘米、13厘米的直角三角形. 将它的短直角边对折到斜边 （即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？平方

12、厘米，EC 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是如图，在梯形ABCD中，AD : BE 4:3 , BE : EC 2:3，且 BOE的面积比 AOD的面积小10 平方厘米梯形 ABCD的面积是平方厘米.为b平方厘米且b a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.为b平方厘米且b a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.【例38】（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路 AE和CF ,交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC ,且AD 2DE 则两块地ACF和CFB的面积比是 .EDAABC被分成9【例40】（2007年人大附中

13、分班考试题的中点，已知甲、乙、丙面积和为）已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、143，求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）F分别为三边【例41】（2009年四中入学测试题）如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15, FG 6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG的面积是.【例42】（2008年仁华考题）如图，正方形的边长为 10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是.【例43】（2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB 8 ,【例39】（2008年第一届”学而思杯

14、”综合素质测评六年级 2试）如图，BC 45 , AC 21 ,个面积相等的小三角形，那么DI FK【例44】（清华附中分班考试题）如图，如果长方形 ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形 MNPQ的面积是多少平方厘米？【例45】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是 cm2.【例46】如图，三角形 AEF的面积是17, DE、BF的长度分别为11、3.求长方形ABCD的面积.【例47】（2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛BC 30 . E、F分别是AB、BC边上的两点，BE BF是.）

15、如图，长方形 ABCD中， AB 67 ,49 那么，三角形 DEF面积的最小值【例48】（2007首届全国资优生思维能力测试 ）ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意【例49】【例50】【例51】【例BL DM 4、 BK如图所示，在四边形 形PQRS的面积之比.DN 5，那么阴影部分的面积是ABCD中，E , F , G , H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边如图，四边形 ABCD中,DE:EF:FC 3:2:1 , BG : GH : AH 3:2:1 , AD : BC 1:2，已知则四边形EFHG的面积 .（2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛）有正三角形A

16、BC，在边AB、BC、CA的正中间分别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LP MQ NR，当PM和RL、 QN和RL的相交点分别是 X、Y、Z时，使XY XL .XYZ的面积是三角形 ABC的面积的几分之几？请写出思考过程.PM 和 QN、这时，三角形252】如图：已知在梯形 ABCD中，上底是下底的-，其中F是BC边上任意一点，三角形 AME、3角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12 .求三角形NDE的面积.ABABMABAB21： 3 , S bef 24cm，求【例53】如图，已知ABCD是梯形，AOF的面积.AD / BC , AD : BC 1

17、:2 , SAOF : S DOEABABABAB【例54】（2009年迎春杯决赛高年级组） 如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点.如果ASM、 MTB与DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为.ABAB板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在 ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在AC上）, 则 Saabc : Saade （AB AC）: （AD AE）ABABD图【例55】如图在 ABC

18、中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD : AB 2:5 , 方厘米，求 ABC的面积.AE : AC 4:7 , ade 16 平【例56】【例57】【例58】【例59】【例60】如图在 ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且 AB : ADAE : EC 3: 2 , & ade 12平方厘米，求 ABC的面积.如图所示，在平行四边形 ABCD中，E为AB的中点，AF 2CF 的面积为8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？5: 2 ,，三角形 AFE（图中阴影部分）已知 DEF的面积为7平方厘米，BE CE, AD 2BD,CF 3AF，求 ABC的面积.如图，三角形 ABC的面积为3平方厘米，其中 AB:BE 2:5 , BC : CD 3:2，三角形BDE的 面积是多少？（2007 年” 走美 ”五年级初赛试题1CF 丄BC