第三章弯曲内力

1、第三章 弯曲内力内容提要一、平面弯曲的概念具有纵向对称平面的梁,当荷载作用在其纵向对称平面内时,变形后梁的轴线位于 纵向对称平面内,这种弯曲称为平面弯曲。二、梁的内力、梁的横截面上的内力剪力SF 横截面上切向分布内力的合力弯矩 M 横截面上法向分布内力的合力偶矩、用截面法求指定截面上的内力1. 截面法:将梁沿拟求内力的截面 (m -m 截开,取任一部分为分离体,由分离体的平衡 2.SF 和 M 的正负号使 dx 微段产生顺时针错动的剪力SF 为正 (图 3-2, a ,反之为负 (图 3-2, b 。使 dx 微段产生下部受拉的弯矩 M 为正 (图 3-2, c ,反之为负 (图 3-2, d

2、 。因为内力是由分离体的平衡条件求出的,故可根据外力情况判断外力在指定截面上产 生的内力的正负号。 横向力绕指定截面顺时针错时,该力在指定截面上产生的剪力为正 (图 4-2, e 、 g ,反 之为负 (图 3-2, f 、 h 。外力 (横向力或力偶 使分离体下部受拉时, 该力在指定截面上产生的弯矩为正 (图 5-2, e 、 h ,反之为负 (图 5-2, f 、 g3. 由截面法的运算可知a. 指定截面上剪力的数值等于该截面一侧所有外力的代数和;b. 指定截面上弯矩的数值等于该截面一侧所有外力对该截面形心的力矩代数和。三、梁的剪力图和弯矩图、 以横坐标 x 表示横截面位置, 纵坐标 S

3、F 表示各横截面剪力的大小的图形称为剪力 图; 以横坐标 x 表示横截面位置, 纵坐标 M 表示各横截面弯矩的大小的图形, 称为弯矩图。 土建工程上习惯上把弯矩图画在受拉侧 (纵坐标 M 向下为正 。、由剪力方程和弯矩方程作图 以 x 表示横截面位置, 函数 (F x 、 (M x 分别为剪力方程和弯矩方程。 可以根据 (s F x 和 (M x 分别作 S F 和 M 图。 、用简易法作内力图 1. (q x 、 (s F x 及 (M x 之间的微分关系 取坐标 xOy 如图 3-3所示, (q x 向上为正。由图 3-3b 所示 dx 微段的平衡方程得(s dF x q x dx = (

4、3 1(s dMx F x dx= (3 2(22d M x q x dx=(3 3式 (3-1、 (3-2、 (3-3分别表示,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度; 载集度。 2 . 集中荷载作用处剪力图和弯 矩图的特征。 a. 在集中力 F 作用处的两侧面上 (图 3-4, a 、 b ,有21s s F F F=+, 21M M =集中力 F 作用处两侧截面上剪力有突变,突变值为集中力 F 。两侧截面的弯矩相等,但弯矩图的斜率有突变。b. 在集中力偶 e M 作用处两侧面上 (图 3-4, a 、 c ,有21s s F F =, 21e M M M =+集中力偶 M e 作用

5、处两侧面上的剪力相等,两侧面上弯矩有突变,突变值等于集中力 偶值。3. 荷载和 S F 、 M 图形状的对应关系 a. 求支反力 (悬壁梁可不必求支反力 b. 根据荷载情况判断内力图形状根据受力情况对梁进行分段,使每段只有一种形式的荷载,根据荷载情况判断其内力 图形状。c. 计算控制截面的内力值。根据内力图的形状,计算其控制截面的内力值。例如,内力图为水平线,只需一个内 力值;内力图为斜直线,需要两端点的内力值;内力图为抛物线,需两端点及极值点的内 力值;此外还要计算集中力作用处两侧面上的剪力值,以及集中力偶作用处两侧面的弯矩 值。d. 根据内力图的形状,分别用直线或曲线将各控制点连接起来,即

6、为所求内力图。 用简易作内力图,是本章的重点,一定要熟练掌握。四、平面刚架和平面曲杆的内力图平面刚架和平面曲杆横截面上的内力一般有轴力、剪力和弯矩。轴力仍以拉为正,剪 力仍以绕分离体顺时针错动为正。轴力图和剪力图画在结构轴线的任一侧,但要标明正负 号,弯矩图画在受拉侧不用标明正负号。圆环形平面曲杆,用极坐标表示横截面位置,一般要列内力方程,再根据内力方程画 内力图。例 3-1 用简易法画图 a 所示外伸梁的剪力图和弯矩图。 解:1. 求支反力(10kN A F =, (5kN B F =2. 作剪力图CA 、 AD 段的剪力图为水平线, A 截面处剪力发生突变, DB 段剪力图为斜直线。用截

7、面法求得-3kN SA F =左 , -3107kN SA F =+=右 , 5kNSB F = 剪力图如图 b 所示,利用剪力图上两相似三角形的关 系,确定剪力等于零的 E 截面的位置如图 b 所示。3. 作弯矩图CA 、 AD 段的弯矩图为斜直线, A 截面处弯矩有尖角,DB 段的弯矩图为下凸的抛物线, D 截面处弯矩发生突变,E 截面的弯矩为极值。用截面法求得M=-=-2E M=-=, 0BM=弯矩图如图 c 所示。例 3-2 作图 a 所示组合梁的剪力图和弯矩图。 解:1. 求反力 将梁从中间铰 C 稍右处截开,由 CB 部分的平衡条 件得 C 、 B 截面的支反力,将 C 处支反力反

8、向加在 AC 段的 C 截面处如图 b 所示。 2. 作剪力图AC 、 CB 段的剪力图均为斜直线, C 截面处剪力发生突变,由截面法求得, 1522S A F F F F F =+=, 1322S C F F F F =+=左 , , 12S C F F =右 , , 32S B F F=剪力图如图 c 所示。 3. 作弯矩图AC 段的弯矩图为下凸的抛物线, CB 段的弯矩图为 上凸的抛物线,由截面法求得231222AF MFa a Faa =-=- , 0C M =, B M Fa =弯矩如图 d 所示。讨论: 1. AC 段为悬梁的基本部分, CB 梁为附属部分。CB 梁上的荷载要传递到

9、 AC 梁上,进行受力分析时先分析附属部分再分析基本部分。2. 关于中间铰处的集中力 F ,可以认为 F 力作用在 AC 段的 C 截面处 (图 b ,也可以 认为 F 力作用在 CB 段的 C 截面处 (图 e ,两种处理方法结果相同。例 3-3 已知简支梁的剪力图和弯矩图的形状及部分内力值分别如图 a 、 b 所示。 试求 此梁上诸荷载的形式及数值,并补齐内力图的内力值。解:1. 由剪力图分析梁上的荷载 AC 段的剪力图为水平线, , 6kN S A C F =, 故 AC 段 上 无 分 布 荷 载 和 集 中 力 , 支 反 力(6kN A F =。 , 6kNS C F =左 , ,

10、 0S C F =右 ,故 C 截面有向下的集中力 6kN F =。 CB 段的剪力图为向右 下方倾斜的直线, . S B F 为负,故 CB 段上有向下的 均布荷载 q , 8kN SB F =-支反力 8kN B F =。以 C 截面右侧梁段为分离体, 20B S C F F q =-=右 ,得 4kN mq =2. 由弯矩图分析梁上的荷载并补充内力图的 内力值。3kN mD M =左 , 5kN m D M =右 ,故 D 截面有顺时针转的力偶矩 2kN m e M =,以 C 截面左侧梁 段为分离体,得 简支梁上各荷载及反力如图 c 所示。为了验证以 上分析是否正确,可用平衡方程校核支

11、反力,再检查 剪力图和弯矩图。例 3-4 一根置于地基上的梁受荷载如图 a 所示, 假设地基反力是均匀分布的。试求地基反力的荷载集 度 R q ,并作梁的剪力及弯矩图。解:1. 求地基反力 R q 由0yF=, 012R q l q l=得 012R q q =2. 剪力方程及剪力图取分离体如图 b 所示, (02lx (02x q x q l =,(200111222222S R q x F x q x q x x q x q x lx x l l =-=-=-(S F x 的极值点位置为dFS ( x ) q0 2 = ( l - 4 x0 ) = 0 dx 2l 即 x0 = l 4 F

12、S ( x ) = 0 的位置为 FS ( x ) = q0 ( lx - 2 x 2 ) ， x1 = 0 ， x2 = l 2 2l 2 é 2 ù l 时， F = q0 ê l - 2 æ l ö ú = q0l 当x= S ç ÷ 4 2l ê 4 è 4 ø ú 16 ë û 3. 再根据对称结构，受对称荷载，剪力图是关跨中截面为反对称的，剪力图如图 c 所示。 弯矩方程及弯矩图 1 1 x 1æ1 ö 1 æ 2

13、 x ö x2 q M ( x ) = qR x 2 - q ( x ) x = ç q0 ÷ x 2 - ç q0 ÷ = 0 ( 3lx 2 - 4x3 ) 2 2 3 2è2 ø 2è l ø 3 12l M ( x ) 极值点的位置，为 F ( x ) = 0 的位置，即 x = 0，x = l 2 由 d 2 M( x q0 ) = l - 4x ( ) 2 dx 2l x< l , 4 d 2M ( x) >0；x> l , 4 dx 2 d 2M ( x) <0 dx

14、 2 故 0 £ x £ l 时，M 图为上凸曲线； l £ x £ l ，M 图为下凸曲线。 4 4 2 x= l 4 时 q é ælö ælö M = 0 ê3l ç ÷ - 4 ç ÷ 12l ê è 4 ø è4ø ë 2 3 ù q0l 2 ú= ú 96 û x= l 2 时 M= 2 3 2 q0 é æ l ö

15、 ælö ù ql 3l ç ÷ - 4 ç ÷ ú = 0 ê 12l ê è 2 ø è 2 ø ú 48 ë û F A l (a B a C z x = 0, M =0 y B Pa 再根据对称结构受对称荷载，弯矩图关于跨 中截为对称的，弯矩图如图 d 所示。 F C A 例 3-5 图 a 所示矩形截面外伸梁受移动荷载 F 作用，材料的拉压强度相等。试求活动铰支座 A 的合理位置 a。 解：当 F 位于 C 截面时，

16、M 图如图 b 所示， F (b 1 (l - a ) 2 B D1 2 (l - a ) C M B = - Fa ；当 F 位于 B 的中央截面 D 时，M 图 如图 c 所示。 M D = F (l - a ) 。 4 第 6 页 共 9 页 (c 1 P (l - a ) 4 例3 - 5图 当 ì MB ï a (­) í ïM D î ì MB ï a (¯) í ïM D î (­) ； (¯) (¯) (­) 当 M D

17、 = -M B 时 1 l F ( l - a ) = Fa 即 a = 4 5 此时， M D = -M B = Fl 5 ，最大正弯矩和绝对值最大的负弯矩均为最小值，梁的最大 正应力(见第五章为最小，可以充分利用材料抵抗强度破坏的能力，故 a = l 5 为活动铰支 座的合理位置。 *例 3-6 矩形截面的组合梁如图 a 所示， 受 移动荷载 F 作用，材料的拉压强度相等。试求 中间铰 B 和活动铰支座 C 的合理位置 x1 和 x2 。 解：同例 3-5 一样，使梁的最大正弯矩和 A 绝对值最大的负弯矩为最小时，中间铰 B 和活 动铰支座 C 的位置是合理的。所不同的是该题 Px1 有两

18、个未知量。分析如下 1. 当 F 位于 B 截面时， 弯矩图如图 b 所示。 A F A x1 B E C b D x2 C l h z F B F 2 y D (a E F 2 F E1 C D M A1 = -Fx1 2. 当 F 位于 BC 之中点 E 截面时，弯矩图 如图 c 所示。 1 1 M A = - Fx1 ， M E = F ( l - x1 - x2 ) 2 4 3. 当 F 位于 D 截面时， 弯矩图如图 a 所示。 B 1 ( l - x1 - x2 ) 2 2 ( l - x1 - x2 ) (b Fx1 2 1 P ( l - x1 - x2 ) 4 A B FB

19、FB = x2 F l - x1 - x2 C F D MC = -Fx2 ， M A3 x1 x2 = F l - x1 - x2 (c Fx2 (d 4. 由弯矩图可见，负弯矩为 M A1 = -Fx1 ， x1 x2 F l - x1 - x2 例3 - 6图 1 M A2 = - Fx1 ， MC = -Fx2 ， 2 M A1 > M A2 令 M A1 = M C (1 Fx1 = Fx2 ，即 x1 = x2 负弯矩的绝对值最大值为 Fx1(Fx2 第 7 页 共 9 页 正弯矩为 ME = 1 F ( l - x1 - x2 ) 4 M A3 = x1 x2 F l -

20、x1 - x2 令 ME = MD 得 1 F ( l- 1x - 2) = F2x x 4 x1 = x2 = l 6 (2 将(1代入(2式，得 (3 此时， M E = 令 1 1 1 Fl ， M C = - Fl ， M A3 = Fl 6 6 24 M A3 = MC x1 x2 F = Fx2 l - x1 - x2 (4 将(1代入(4式，得 x1 = x2 = l 3 (5 1 1 1 此时， M A3 = Fl ， M C = - Fl ， M E = Fl 3 3 12 l 可见， x1 = x2 = 为中间铰 B 和活动铰支座 C 的合理位置。 6 例 3-7 作图 a

21、 所示刚架的内力图。 q A a B C q FBy FDx B a a q FAx FBx FBx C qa FN图 (d (a 1 qa 2 D qa A FAy FBy B (c D (b FDy 3qa 2 qa 2 1 qa 8 qa qa 2 B 3 qa 2 3 qa 2 FS图 (e 3 qa 2 M图 qa qa 2 (f 例3 - 7图 (g 解：以 AB 部分(图 b为分离体 由 åF åF y x = 0, FAx = FBx 1 qa 2 = 0, FAy = FBy = 第 8 页 共 9 页 以 BCD 部分为分离体，并将 FBy 反向加在 B

22、CD 部的 B 截面处(图 c 由 1 3 qa + qa = qa 2 2 1 2 - å M B = 0 , FD y× a - FD x× a 2 q a = 1 3 1 FD x = F D y - q a= qa - q= qa a 2 2 2 åF y = 0, FDy = 0 åF åF x = 0, FBx = FDx = FAx = qa e 取节点 B 为分离为分离体， 节点满足 B FN 、FS 及 M 图分别如图 d、 及 f 所示。 y åF x =0， = 0 ， å M B = 0 故以上内力 图无误。由 M BC = M DC 可知，在 刚架结点处只要没有力偶作用， 定有 M BC = M DC ，且为同侧(外侧 或内侧受拉。 *例 3-8 图示半圆形曲杆， 沿圆弧的切线方向受均布荷载 q 作用。试求支反力，并列出轴力、 剪力和弯矩方程。 解：在图 a 中，由 得 q R FAx d