复数加减运算

1、全国名校高中数学典型问题专题汇编（附详解）复数的加减运算例计算(1) (3+5i)+(3-4i) ；(2) (< + 2i)-(4-5i)；(3) (5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。解: ( 1)(3+5i) +(3-4i) =(3 + 3)+(5-4)i = 6 + i.(2) (3 + 2i) -(4-5i) =(<4) + 2-(-5)i = 7 + 7i.(3) (5-6i) +(-2-2i) -(3+3i) =(5-2-3) + (-6-2-3)i =-11i.例如图，平行四边形OABC顶点OA'f B确定向量所表示

2、的复数A C分别表示0, 3+2i，-2 + 4i，试求:AO所表示的复数，BC所表示的对角线CA所表示的复数.对角线OB所表示的复数及OB的长度.分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和 终点。或者用向量的相等直接给出所求的结论.解: (1) AO=-OA二AO所表示的复数为-3-2i .寫 BC = AO ,/. BC所表示的复数为-3 2i .(2) CA =O-OC,/. CA所表示的复数为(3 + 2i)-(2+4i)=5-2i（3）对角线OB =5A+AB =OA+OC，它所对应的复数为(3 +2i) +(2 +4i) =1 +6i| OB |= Jl2 +62 =

3、 737求正方形的第四个顶点对应的复数例 复数召=1乜,Z2=-2+i , Z3=1-2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复 数。分析1 ：利用A5 = BC或者AB = DC求点D对应的复数。A B、C正方形解法1 :设复数Z1 , Z2 , Z3所对应的点分别为的第四个顶点D对应的复数为x + yi （ X,严R ）则AD =0D OA =(x + yi) -(1 +2i)= (x-1)+ (y-2)iBC =0C OB =(1 2i) (-2+i) =1-3iAD =BC ,/. (x-1) +(y-2)i =1 -3i.ly -2十解得&#

4、39;x=2 y = T故点D对应的复数2-i.分析2：利U用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的 中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解.解法2:设复数Z1, Z2, Z3所对应的点分别为A、B、C正方形的第四个顶点D对应的复数为x + yi（ X,严R）因为点A与点C关于原点对称，所以原点 0为正方形的中心.点0也是B与D点的中点，于是由（2 + i） + （x + yi）=0X = 2, y = 1.故D对应的复数为2i.小结：解题1 一定要善于发现问题中可能被利用的条件， 寻找最 佳的解题方法，解法2利用正方形是如C对称固形，解题思路较巧.根据条件求参数

5、的值例 已知 Z, =a2 一3 +(a + 5)i , z2=a-1+(a2 +2a-1)i ( a迂 R)分别对应向量，OZ1 ,OZ2 （O为原点），若向量Z2Z1对应的复数为纯虚数, 求a的值.分析：乙Zi对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出 乙乙对应 的复数，再利用复数为纯虚数的条件求解即得.解：设向量乙乙对应复数ZT Z2Z1 =OZ1 -OZ2=乙一Z2 =a2 -3 + (a + 5)i -a2 -1 + (a + 2a -1)i= (a2 -3) -(a -1) +(a +5) -(a2 +2a -1)i -(a2 -a -2) +(-a +6)i書 2z为纯虚数匕二600

6、叫爲;：2需a = 1.求复数的轨迹方程Z=r，求2Z + 3 4i对应的点的轨迹方程.解解© =2z + 3-4i，贝J 2z=« -3 + 4i.又Z =r，故有2耳=2r.对应点的轨迹是以3-4i为圆心，2r为半径的圆.离.小结：由减法的几何意义知表示复平面上两点Z , Zi间的距z-召=r，表示复数Z对应的点的轨迹是以zi对应的点为圆心,半径为r的圆.Z-Z1=Z-Z2,表示以复数Z1 , Z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.例设复数满足求复数的最大值与最小值+ 4-3i| -2 = 2-|z + 4-3i|，求|Z的最大值和最小值.分析：仔细地观察、分析等式+ 4-3i|-2 =2-|z + 4-3i|，实质是一实数等式，由其特点，根据实数的性质知若|a=-a，则a"，因此已知等式可化为Z+43i2兰0解：由已知等式得z-(_4+3i) -2<0即Z （心）2兰0,它表示的以点P（ 4,3）为圆心