向量的坐标及其运算

1、中职数学高考数学复习学案向量的坐标及其运算考点解析及例题讲解1 .向量的直角坐标在直角坐标系内，我们分别:(1)取基向量：取与x轴和y轴的正方向相同的两个单位向量 e1, e2作为基向量.(2)得到实数对：任作一个向量使得 a= a1 e1 + a2e2，我们把(aj,a,由平面向量基本定理,有且只有一对实数a1, a2,a2)叫做向量a的坐标，记作a = (a1, a2),其中a1叫做a在X轴上的坐标, 的基向量.a2叫做a在y轴上的坐标.e1, e2叫做直角坐标平面上式叫做向量的坐标表示探究:(1)如图，e 1, e2是直角坐标平面上的基向量，你能写出0, ei, e2的坐标吗?eie 1

2、= (1,0), e2= (0, 1), 0 = (0, 0).向量的坐标与点的坐标之间有何关系?y).反之，点 A的坐标也是点A即点A的位置向量6A的坐标(X, y)，也就是点A的坐标;相对于坐标原点的位置向量 6A的坐标.例1如图，用基向量e1, e2分别表示向量a, b, c, d,并求出它们的坐标.-r-i * 41 UiJ I I jl II hrlLFb-L_ hr bp-rbr-.i e23eixd2解由图可知a= 3ei + 202= (3, 2 ),b= 2e 1+ 302= ( 2, 3),c= 2ei 3e2= ( 2，一 3),d= 2ei 3 02= (2, 3).2

3、.向量的直角坐标运算(1)如果 a = (ai, a2), b= (bi, b?)，则a+ b= (ai， 32) + (bi， b2)=(a1 + b1 , a2 + b2)；a b= (ai, a2) (bi, b2)=(ai bi, a2 b2)；?a = ?(ai, a2)=(扫1,扫2),其中入是实数.证明a+ b = (ai, a2)+ (bi, b2)=(aiei + a2e2) + (biei + b2e2)=aiei + bie 1+ a2e2 + b2e2 =(ai + bi) ei + (a2 + b?) e2 =(a1 + b1 , a2 + b2).请同学仿照上面的证

4、明，自己证明其他两个结论.上述向量的坐标运算公式，也可用语言分别表述为:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差;数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.例 2 已知 a= (2, 1), b= ( 3, 4),求 a+ b, a b, 3a+ 4b.解 a+ b= (2, 1) + ( 3, 4)=(1 , 5);a b= (2, 1) ( 3, 4) = (5, 3);3a + 4b= 3(2 , 1)+ 4( 3, 4)=(6, 3)+ ( 12, 16) =(6, 19).例3 已知A (X1, y1)，点B (x2, y2),求XB的坐标.解 Xb = OBSA=(

5、X2,沁一(X1, %)=(X2 X1, y2 y”.此结论可用语言表述为:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的相应坐标.练习一 1.已知a , b的坐标，求a + b , a b：b= ( 4, 8);b= (0, 4).(1) a = (4 , 3),(2) a = (3 , 0),2.已知A, B两点的坐标，求 Xb , "ba的坐标:(1) A( 3, 4),(2) A( 3, 6),B(6 , 3);B( 8, 7).例4 已知A ( 2, 1)，点B (1, 3)，求线段AB中点M的坐标.中职数学高考数学复习学案解因为Rb =ob-oA=(1 , 3

6、)- (-2, 1) = (3, 2);所以OM = OA+ AM=Sa* ab=(2, i) + 2(3, 2) =(-i, 2).i 因此 M( 2 2).3.用向量的坐标表示向量平行的条件复习:(i)平行向量基本定理：如果向量bM0，贝y all b的充分必要条件是，存在唯一实数D 使 a = Ab;(2)数乘向量：已知 b= (bi, b2)，则?b= ( Di, Ab2).问题：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示两个向量探究：设 a= (ai, a2).的平行呢?b= (bi, b2),如果b M 0,则条件a= ?b可用坐标表示为(ai, a2)= Xb

7、i, b2),I ai yb (a 扎 b2消去人得般地，对于任意向量aib2- a2bi= 0.a = (ai, a2), b= (bi, b2)，都有a/ b = aib2- a2bi= 0.例5判断下列两个向量是否平行:(i) a = (- i, 3), b= (5,- i5); e = (2, 0), f= (0, 3).解 (1)因为(-1)X (- 15) 3X 5 = 0,所以向量 a和向量 b平行;(2)因为2X 3 0 X 0= 6工0，所以向量 e和f不平行.例6已知点A(- 2,- 1)- B(0, 4)，向量a= (1 - y),并且壷/ a,求a的纵坐标y.解由已知条

8、件得AB= (0 , 4) - ( 2, 1) = (2 , 5), 因为AB/ a ,所以1X 5-2 X y= 0.解得已知点 A(- 2,- 3) - B(0, 1) - C(2- 5)，求证：A, B, C三点共线.证明由已知条件得AB= (0 , 1) - ( 2, 3) = (2 , 4),aC= (2, 5) - ( 2, - 3) = (4 , 8).A,所以A, B，C三因为2 X 8- 4X 4 = 0，所以 Xb/云C，又线段AB和AC有公共点点共线.综合训练1.已知 a =(10,5) , b=(4 , y),且 a/b -则y等于()(A) 8(B) 2(C) -8(

9、D) -22.已知 A (4,-3) , B (x,9),|AB|=13，则 x 等于(A) -1(B) 9(C) -1 或 91或-93.已知 a=(3,-1), b=(-1,2),则-3a-2b的坐标是()(B) (-7,-1)4.已知向量a=(T,2), b=(1,-2),贝U a+b和a -b的坐标分别为(C) (-2,4), (2,-4)(D) (1,-1), (-3,3)5.向量a =(3,4)的终点坐标为(1,2),它的起点坐标是6. 已知 a =(5 , y),且|a|=13,则 y =.7. 已知向量 a=(Y 3) , b=(3 , 6),则 2a-% =38. 若 A (1,2) , B (3,2),向量 AB= (x+3,0),贝J x=9. 已知点(1,0)是向量a的终点，向量b = (