等差等比数列(学生用)

1、【基础过关】等差等比数列第2页共6页1.等差数列的定义:_- = d(d为常数)；等比数列的定义:r = q(q为不等于零的常数).2.等差数列的通项公式:(1) an= ai +X d ；( 2) an= am +等比数列的通项公式:(1 )an = a1qn 1 ；(2) an = amqn-m3 .等差数列的前n项和公式:Sn =等比数列的前n项和公式:q工1q =14 等差中项：如果 a、b、c成等差数列，则 b叫做a与c的等差中项，即 等比中项：如果a、b、c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2 =b=(或b=).5等差数列an的两个重要性质：(1) m, n, p, q

2、N*，若 m+n=p+q,则(2)数列an的前 n 项和为 Sn , S2n Sn , S3n _ S2n成等比数列an的几个重要性质：(1) m, n, p, q N*，若 m + n= p+ q,则数列.(2) Sn是等比数列 an的前 n项和且Sn 0，则S , S2n Sn, S2n成 (3) 若等比数列an的前n项和Sn满足Sn是等差数列，则an的公比q = 6.判断和证明数列an是等差(等比)数列常有三种方法：(1)定义法：对于n >2的任意自然数，验证 anan-1 (玉)为同一常数. an丄数列.(2)通项公式法： 若 an= a1 + (n 1)d = ak+(n k)

3、d,则 an为等差数列; 若an= a1q n 1 = akqn k，则an为等比数列.(3)中项公式法：验证 2an+ 1 = an+ an + 2( an+ = an + an+ 2)n N 都成立.【基础自测】1.等差数列 an共有2n + 1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290,则其中间项为2.已知等差数列an中，a2与a6的等差中项为5, a3与a?的等差中项为 乙则an =3.设Sn是等差数列an的前n项和，S6= 36, Sn= 324, Sn-6= 144(n>6)，贝U n等于 a +a3 +a5a2 *4 *614已知等比数列an公比为q=-,则35.首项为

4、-24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差 d的取值范围是6.“ b2= ac”是"a、b、c成等比数列”的条件.7.在等比数列an中，an> 0, (n N)且 a3a6a9= 8，则 log 2a2 + log2a4 + log2a6 + log 2a8 + log2ai0 =&等差数列an的前n项和为Sn,已知a5= 20 as,贝U Sio=9若an是等比数列,下列数列中是等比数列的所有代号为是第3页共6页，a2n:10.已知数列an中,a1= 1, 32= 0,对任意正整数 n, m(n>m)满足 a*2 am2=man+m,则 aii9=11.在圆

5、x2+ y2= 5x内，过点(-,3)有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最2 2长的弦长为an,若公差d (1 ,丄，那么n的取值集合为.6312.数列an中 a1 = 1 , a5= 13 , an+2 + an= 2an + 1 ；数列 bn中，b2= 6, b3= 3 , bn+2bn = b2n+ 1,在直角坐标平面内，已知点列 P 1(a1,b”,p2(a2,b2),P3,bj, ,Pn(an,g),贝U向量PP?+RP4+ P5P6 +, +P2005P2006 的坐标为13.已知各项均正的等比数列 an中，Ig(a3a8ai3)= 6,贝U aiai5的值为14

6、.在数列an中，如果对任意n N +都有乳卡"an + = k(k为常数)，则称an为等差比数列, an+ an为公差比.现给出下列命题:(1 )等差比数列的公差比一定不为0;(2)等差数列一定是等差比数列;(3)若an= 3n+2,则数列an是等差比数列;(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确的命题的序号为【题例分析】例1.设数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且 bi = 0, Cn= an+bn,若Cn是1 , 1 , 2, 求Cn的前10项和.例2.(1)已知数列 an中，ai= 1且点P(an, an+1)(n N)在直线x y+ 1 = 0上. 求

7、数列an的通项公式；若函数f(n)=1+1+1+ +1 (n N*，且n2),求函数f(n)的最小值.n +4 n +a2 n +a3n +an有固定项的数列an的前n项和Sn= 2n2+n,现从中抽取某一项(不包括首项、末项)后，余例3.下的项的平均值是 79.(1) 求数列an的通项an；(2) 求这个数列的项数，抽取的是第几项.第7页共6页例4.在等差数列an中，公差dM0,a2是a1与a4的等比中项，已知印，a3,ak,，,ak，成 等比数列，求数列kn的通项公式.【巩固训练】1.已知an为等差数列，前10项的和为Si0= 100,前100项的和Si00= 10,求前110项的和Sii

8、0.2.已知数列an的通项公式 an(n N + )，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由.练习：已知an =n "Y98 (n N +)，则在数列an中的前30项中，最大项和最小项分别为什么? n J99n 项为 Sn, Sn= 2an 3n(n N).an+ 3是等比数列；(2)求数列an的通项公式an；3.数列an的前(1)证明：数列(3)数列an中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不 存在，请说明理由.4.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2= al + a3,数列 yjSn 是公差为d的等差数列. 求数列an的通项公式(用n, d表示); 设c为实数，对满足 m+n= 3k且m n的任意正整数 m, n, k，不等式Sm+ Sn> cSk都成立. 求证：c的最大值为9 .25.已知数列an、bn中，对任何正整数 n都