点差法整理版

1、、重要结论及证明过程在椭圆点，弦MN证明:“点差法”巧解椭圆中点弦题型2爲 1 ( a b 0)中，若直线I与椭圆相交于b2所在的直线l的斜率为kMN，则 kMNyoXob22 -a设M、N两点的坐标分别为(x-yj、(X2,y2)，则有2 2X1 X9(1)(2)，得 12 2a2 2Y1Y20.y2y1y2y12X1-2a2X22a两点,2y12y2又kMNy2 y1yiy2X2XiX2Xib22 -aX2X1X1X22y2xb2-2 . a同理可证，在椭圆(a b 0 )中，若直线是弦MN的中点,弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMN二、典型例题1 、设椭圆方程为OP (OA OB)

2、,2点P(x0,yo)是弦l与椭圆相交于YoXo2ab7MN的中1,1.(1)N两点，点P( X0, y0 )2y1，过点M (0,1)的直线I交椭圆于点4点N的坐标为B, O为坐标原点，点P满足-.当I绕点M旋转时，求:2(1)动点P的轨迹方程;(2) | NP |的最大值和最小值2X22、在直角坐标系xOy中，经过点(0, . 2)且斜率为k的直线I与椭圆讨1有两个不同的交点 P2和Q.( 1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数k，使得向量OP OQ与AB共线？如果存在，求 k的取值范围；如果不存在，请说明理由2 2X y.3、已知椭圆

3、21 ( a b 0)的左、右焦点分别为a bFi、F2，离心率e，右准线方程为x 2.(I )求椭圆的标准方程;(n )过点F1的直线l与该椭圆相交于 M、N两点，且|F?Mf2n | 2-26，求直线l的方程.232xv232 1( a b 0)的离心率为，过右焦点 F的直线I与C相交于A、Bb23两点当I的斜率为1时，坐标原点0到I的距离为手.(1)求a,b的值;(2) C上是否存在点P,使得当I绕F转到某一位置时，有 OPoA OB成立？若存在，求出所有点I : y mx 1(m0)对称，求k的值.P的坐标与I的方程；若不存在，说明理由25.椭圆C的中心在原点，并以双曲线 41的焦点为

4、焦点,以抛物线x26. 6 y的准线为其中一条准线(1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线I : y kx 2(k0)与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线“点差法”巧解双曲线中点弦题型、重要结论及证明过程2x在双曲线二a 0，b 0)中，若直线I与双曲线相交于 M、N两点，点P(x, y)是弦MN的中点,y0MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMN -X。b1 22 a证明过程和椭圆证法相同(略)2同理可证，在双曲线爲a1 ( a 0, b 0)中，若直线I与双曲线相交于N两点，点P(xo, yo)是弦MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMNyoXo二、典型例题1.已知双

5、曲线1,过点P( , 3)作直线I交双曲线于A、B2 2两点(1)求弦AB的中点M的轨迹；(2)若点P恰好是弦AB的中点，求直线的方程和弦AB的长22设A、B是双曲线X 如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什彳1上两点，点N(1,2)是线段AB的中点2 23、双曲线C的中心在原点，并以椭圆 x 1的焦点为焦点，以抛物线 y22 3x的准线为右2513准线( 1)求双曲线C的方程;(2)设直线l :y kx 3(k0)与双曲线C相交于A、B两点，使 A、B两点关于直线l : y mx6(m0)对称，求k的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型三、重要结

6、论及证明过程(略)2在抛物线y 2mx(m 0)中，若直线I与抛物线相交于 M、N两点，点P(xo,y)是弦MN的中 点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMN y0 m.同理可证，在抛物线x2 2my(m 0)中，若直线I与抛物线相交于 M、N两点，点P(x0, y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线1I的斜率为kMN，贝yx0m .kMN注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点；(2 )直线的斜率存在，且不等于零.、典型例题21、设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y 2x 上, l是AB的垂直平分线.(I)当且仅当Xi X2取何值时，直线I经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论.()当Xi 1,X23时，求直线I的方程.(理)当直线I的斜率为2时，求I在y轴上的截距的取值范围.2.已知抛物线C: y22x，直线y kx 2交C于A、B两点，M