一元二次方程提升专题培训(含答案)

1、第三讲：一元二次方程的综合应用(10月5日)a=1，贝U b=(1 .如图，若将左图形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设图1图2Augusi c 一Word专业资料A号 b噜 c号 口同2 .如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3X3个位置相邻的9个数(如6, 7,8, 13, 14, 15, 20 , 21 , 22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192 ,则这9个数的和为(A. 32 B. 126C. 135的面3 .如图，矩形 ABCD 的周长是20cm，以AB , AD 为边向外作形ABEFADGH ,若形ABEF和ADGH的面积之和68cm 2,那么矩形ABCD

2、A. 21cm 2B . 16cm 2 C. 24cm 2 D . 9cm 24 .如果关于x的方程(m-2)x2-2(m-1) x+m=0 只有一个实数根，那么方程mx 2 - (m+2 )x+ (4-m) =0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D .只有一个实数根5 .若a, b , c为三角形三边，则关于x的二次方程：x2+ (a-b) x+c 2=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定6 .已知a, B是关于x的一元二次方程x2+ （2m+3 ） x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+-

3、1-= - 1 ,则m的值是（）Q PA. 3 B. 1 C. 3 或-1D. - 3 或 17 .若从BC的一边a为4,另两边b、c分另满足b2-5b+6=0 , c2 - 5c+6=0 ,贝U9BC的周长为（）A. 9 B. 10C. 9 或 10 D. 8 或 9或 108 .已知 a2+ a 7=0 , 02+ B 7=0 ,且 a W B ,则a + a+ 0 的值为（）A. 2 B, - 2 C. - 1D. 09.A.若 a?b 力，且有 2a2+5a+1=0C.10 .设a, b是方程x2+x - 2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（A. 2006 B. 2007

4、 C. 2008 D. 200911 .设 a, B 是方程x2+9x+1=0的两根，贝 U（a 2+2009a+1） （ 32+20090+1）的值是（）A. 0 B. 1 C. 2000D. 4 000 00012 .若xi、x2是关于x的方程x2+bx - 3b=0的两个根，且xi2+x 22=7 ,那么b的值是（）A. 1 B, - 7C. 1 或-7 D. 7 或113 .如果关于x的方程x2 2 （1 -k） x+k 2=0有实数根a、B ,则a+ B的取值围是（）A. a+0 m B. a+04 C. a+0 义D . a+ 0 i二.解答题（共3小题）14 .等腰zABC的直角

5、边AB=BC=10cm ，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t, APCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式;(2)当点P运动几秒时，S/PCQ=SZABC?(3)作PELAC于点E,当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.15 .某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了 200件;第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低

6、单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40元，设第二个月单价降低x元.(1)填表：(不需化简)时间 第一个月第二个月清仓时单价(元)8040销售量(件)200(2)如果批发商希望通过销售这批 T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元?16 .已知xi, X2是一元二次方程4kx 2 - 4kx+k+2=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使(2x i - X2)(xi - 2x 2)=-/成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由.(2)求使辽+至-2的值为整数的实数k的整数值.Q X117 .已知关于 x 的方程 x2- (

7、2k+1 ) x+4 (k -) =0 .(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 k的值；若不能，请说 明理由.(3)当等腰三角形ABC的边长a=4 ,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求 ABC的周 长.18 .阅读材料: 已知p2 p 1=0 , 1 q q2=0 ,且pq wl ,求四工的值.a解：由p2- p- 1=0及1 -q2=°,可知"，qN0.又书，p梏1 o 111- 1 - q - q2=0可变形为(一)-(一)T=。的特征.所以p与一是方程x2 - x - 1=0的

8、两个不相等的实 q QQ数根.则pH-二1, 四工口Qq根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m 2 - 5m - 1=0 , ”的， 且m wn .求：一J的值.门2 口m n参考答案与试题解析1 .如图，若将左图形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设 a=1 ,则b=（）【分析】根据左图可以知道图形是一个形，边长为（a+b ）,右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b ）、 b,并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b ） 2=b （b+a+b ），而a=1 ,代入即可得到关于 b的方程，解方程即可求出b.【解答】解：依题意得（a+b ） 2=b （b+a+b ）,而 a=1

9、,. b2-b- 1=0 ,. b=生匹，而b不能为负，. b=喑故选B.【点评】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系， 然后利用数量关系列出方程解决问题.2.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3X3个位置相邻的9个数（如6, 7,8, 13, 14, 15, 20 , 21 , 22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192 ,则这9个数的和为（）AUguST .总裁铝?8 rHs颗 龚SU2VI任1219普C.62B3544DA.【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的 9个数，最大数与最小数的差为16,以及利用最大数与最小数的

10、积为192 ,求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可.【解答】解：根据图象可以得出，圈出的 9个数，最大数与最小数的差为 16,设最小数为：x,则最大数为x+16 ,根据题意得出：x （x+16 ） =192 ,解得：x1=8, x2=-24,（不合题意舍去），故最小的三个数为：8, 9, 10,下面一行的数字分别比上面三个数大 7,即为：15, 16, 17,第3行三个数，比上一行三个数分别大 7 ,即为：22 , 23 , 24 ,故这 9 个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.故选：D .【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根

11、据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键.3 .如图，矩形 ABCD的周长是20cm ,以AB , AD为边向外作形 ABEF和形ADGH ,若形ABEF和ADGH的面积之和68cm 2 ,那么矩形ABCD的面积是（）【分析】本题可设 AB=xcm , AD= (10-x) cm ,则形ABEF的面积为x2cm2,形ADGH的面积为(10-x) 2cm2,进而结合题意，可列出方程，求得答案.【解答】解：设 AB=xcm , AD= (10 -x) cm ,则形ABEF的面积为x2cm 2,形ADGH的面积为(10 -x) 2cm 2,根据题意得x2+ (10 -x) 2=68整理得 x2

12、10x+16=0解之得x1=2 , x2=8所以 AB=2cm , AD=8cm 或 AB=8cm , AD=2cm ,综上可求矩形ABCD的面积是16cm 2.故选B【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，在利用一元二次方程解决实际问题时，要根据实际问题对解进行取舍.4 .如果关于x的方程(m-2)x2-2(m-1) x+m=0 只有一个实数根，那么方程mx 2 - (m+2 )x+ (4-m) =0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D .只有一个实数根【分析】由关于x的方程(m - 2) x2-2 (m - 1) x+m=0只有一个实数根，则它为一

13、元一次方程，所以 m 2=0 ,即 m=2 ;把 m=2 代入方程 mx 2 - ( m+2 ) x+ (4 m ) =0 得 2x2 4x+2=0 并且可计算出4=0 ,由此可判断根的情况.【解答】解：二,关于x的方程(m-2) x2-2 (m-1) x+m=0只有一个实数根，. m - 2=0 ,即 m=2 ,则方程 mx 2 - ( m+2 ) x+ (4-m) =0 变为：2x2-4x+2=0 ,占4 2 - 4 X2 X2=0 ,所以方程有两个相等的实数根.故选C.【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a刈，a, b , c为常数)根的判别式.当4> 0, 方

14、程有两个不相等的实数根；当 =0 ,方程有两个相等的实数根；当< 0,方程没有实数根.也考 查了一元一次方程和一元二次方程的定义.5 .若a, b , c为三角形三边，则关于x的二次方程32+ (a-b) x+c 2=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D .无法确定【分析】先求出加2-4ac,再结合a, b, c为三角形的三边，即可判断根的情况.【解答】解：,jx2+ (a-b) x+c 2=0 ,.叁b 2 4ac=(瓦一b)c"= (a - b) 2 - c2= (a bc) (a b+c).a, b, c为三角形三边，. b+c

15、 >a, a+c >b. a - b - c< 0, a - b+c >0(a - b - c) (a-b+c) <0,即二次方程 L2+ (a-b) x+c 2=0无实数根.故选C.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系.6.(非课改)已知a, B是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3 ) x+m 2=0的两个不相等的实数根,且满足9+±= - 1 ,则m的值是()A. 3 B. 1 C. 3 或-1 D . - 3 或 1【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得4> 0,由此可以求出m的取值围，再利用根与系数的关系和

16、1 ,可以求出m的值，最后求出符合题意的 m值.【解答】解：根据条件知:a+ B = - 2m+3 ), a B =m 上±-3) = .a5a B 2口即 m 2 - 2m - 3=0 ,所以，得 解得m=3【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力.一元二次方 程根的情况与判别式的关系：(1) A>0?方程有两个不相等的实数根；(2) *0?方程有两个相等的实数根；(3) «?方程没有实数根.2、一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根与系数的关系为：X1+X2=-¥，x？x2=5.7.若从BC的一边a为4,另两边

17、b、c分另满足b2-5b+6=0 , c2 - 5c+6=0 ,贝U9BC的周长为()A. 9 B. 10 C. 9 或 10 D. 8 或 9或 10【分析】由于两边b、c分别满足b2-5b+6=0 , c2 - 5c+6=0 ,可求出b , c的值，而AABC的一 边a为4,由此即可求出 ABC的一边a为4周长.【解答】解：二,两边b、c分别满足b2 - 5b+6=0 , c2 - 5c+6=0 ,解得：b=3或2 , c=2或3,MBC的一边a为4 ,若b=c ,则b=c=3 或b=c=2，但2+2=4 ,所以三角形不成立，故 b=c=3 . /ABC 的周长为 4+3+3=10若bwc

18、, -.ZABC的周长为4+5=9 .故选C.【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周长结合起来，利用三角形三边关系得出 是解题关键.8 .已知a2+a7=0,02+B 7=0 ,且 a W B ,则a+a+0 的值为（）A. 2 B, - 2 C. - 1 D . 0【分析】由于a2+ a -1=0 , B2+ B T=0 ,且a W B ,所以a , 0是方程x2+x - 1=0的两个根，则 a+ B = -1 , a = =1-代入a g a+ B即可求出其值.【解答】解：: a2+ a 7=0 , 02+ 0 7=0 ,且 a W B , .a ,程方程x2+x - 1=0

19、的两个根，贝U a+ B = T , a B =1,代入 a + a+ 0 = -1-1= 2.故选B.【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.9 .若 a?b 力，且有 2a 2+5a+1=0A.B.C.223【分析】根据已知条件“若 a?b力,且有2a2+5a+1=0 , b2+5b+ 2=0 ”知，二、b可以看成是关 a于x的一元二次方程x2+5x+2=0 的两根；然后根据韦达定理求得 xi?X2=2 ,即L?b=2 , a=;a2再将其代入所求的代数式求值即可.【解答】解：v2a2+5a+1=0 ,- J-+5 xL+2=0 ;a2 a又 USb+Z=O

20、 ,工b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0 的两根; aX1?X2=2 ,即=？b=2 ,由韦达定理，得【点评】此题主要考查了根与系数的关系、 二次根式的化简求值.解答此题时，不要忽视了条件 a?b月.若在方程2a 2+5a+1=0 的两边同时乘以2时，那么2a、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0 的两根，则 a?b=1 10 .设a, b是方程x2+x - 2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（A. 2006 B. 2007 C. 2008 D. 2009【分析】由于a2+2a+b= （a2+a ） + （a+b ）,故根据方程的解的意义，求得（a2

21、+a ）的值，由根与系数的关系得到（a+b ）的值，即可求解.【解答】解：:a是方程x2+x - 2009=0的根，.a2+a=2009 ;由根与系数的关系得：a+b= - 1,. a2+2a+b=(a2+a ) + (a+b ) =2009 - 1=2008 .故选：C.【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代 数式进行恒等变形.11 .设 a, B 是方程 x2+9x+1=0 的两根，贝 U ( a 2+2009 a+1 ) (02+2009 0+1 )的值是()A. 0 B. 1 C. 2000 D . 4 000 000【分析】欲求(a 2

22、+ 2009 a+1 )(仅+ 2009 B+1 )的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式(a2+ 2009 a+1 )(俨+2009 时1 ) = (a2+9a+1+ 2000 a)(B2 + 9B+1+ 2000 B ),再利用 根与系数的关系代入数值计算即可.【解答】解：: a , B是方程X2+9x+1=0的两个实数根，. 廿 B = -9, a ? B =1 .(a2+ 2009 a+1 )(仅+2009 0+1 )=(a2+9 a+1+ 2000 a)(俨+9 0+1+ 2000 0)又:* 建方程x2+9x+1=0 的两个实数根，. +9a+1=0 , 02+9 0+1

23、=0 .( o?+9 a+1+ 2000 a)( 02+9 0+1+ 2000 0)=2000 a ?2000 0=2000 X 2000 a 0 ,而 a ? B =1 ,(2+9a+1+ 2000 a)( 02+9 0+1+ 2000 0)=4 000 000 .故选D .【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.12 .若xi、X2是关于x的方程x2+bx - 3b=0的两个根，且xi2+x 22=7 ,那么b的值是()A. 1 B, - 7 C. 1 或-7 D . 7 或1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可.设 x1 , x

24、2是关于x的一 元二次方程ax2+bx+c=0 (a*0, a , b , c为常数)的两个实数根，则 x1 +x 2=一 , xx2二二.根据x12+x22= (x1+x 2) 2 - 2x 1x2代入数值列出方程解即可.【解答】解：x1、x2是关于x的方程x2+bx - 3b=0的两个根，得 x1+x2=-b, x1x2=-3b.又 x12+x 22=7 ,贝 ( x1+x 2)2 - 2x 1x2=b 2+6b=7 ,解得 b= 7 或 1 ,当b= -7时，A=49 - 84<0,方程无实数根，应舍去，取 b=1 .故选A .【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系

25、数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法.13 .如果关于x的方程x2 2 (1 -k) x+k 2=0有实数根a、B ,则a+ B的取值围是()A. a + 0 m B . a+ 0 同 C. a+ 0 D . a+ 0【分析】由于关于x的方程x2-2 (1-k) x+k 2=0有实数根a、B,则判别式耳，由此可以确定k的取值围，然后利用根与系数的关系确定 a+ B的取值围.【解答】解：= a=1 , b= - 2 (1 k), c=k 2,Ab 2 - 4ac= -2 (1 -k) 2- 4 X1 xk2>0,k4,-a+ B =2 1 - k) =2 - 2k ,而

26、k<,【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.14 .等腰zABC的直角边AB=BC=10cm ，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的 相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点 D.设P点运动时间为t, APCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式；(2)当点P运动几秒时，SzPCQ=S ZABC ?(3)作PELAC于点E,当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s , S=；QCXPB,所以求出Q

27、C、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在 B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我 们应分条回答.【解答】解：(1)当t<10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t , PB=10 -1iI九XtX (10-t )=77(10t-t )当t >10秒时，P在线段AB得延长线上，止匕时CQ=t , PB=t - 10(4分) ,Szabcu一轴=5Q（5 分）二当t<10 秒时，S/PCQ = *（10t-t2）=50整理得t2 - 10t+100=0 无解（6分）当 t >10 秒时，Szp

28、cq = （t2-10t>50整理得t2 - 10t - 100=0解得t=5 ±5曰（舍去负值）（7分）当点P运动5+尻门秒时，Szpcq=S ZABC (8分)(3)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.证明：过Q作QM XAC ,交直线AC于点M易证AAPEzQCM ,. AE=PE=CM=QM= 返t, 2一四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半.又. EM=AC=10 V2. DE=5 1当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.同理，当点P在点B右侧时，DE=5 0!综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.A PS【点评】做此类题应首先

29、找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就 会迎刃而解.15.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了 200件;第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40元，设第二个月单价降低x元.（1）填表：（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批 T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析

30、】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；（2）利用“获利9000元”，即销售额-进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入 实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍.【解答】解：（1 ） 80 x, 200+10X , 800 -200 （200+10X ）时间 第一个月 第二个月清仓时单价（元）8080 -X40销售量(件)200200+10X800 -200 - (200+10X )(2)根据题意，得200 X (80 -50) + (200+10X )义(80 -X- 50) + (400 - 10X)(40 -50 ) =9000整理得 10X 2 - 200X+1000=

31、0,即 X2- 20X+100=0,解得 X1=X 2=10当 x=10 时，80 -x=70 >50答：第二个月的单价应是70元.【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程, 再求解.有关销售问题中的等量关系一般为：利润 =售价-进价.16 【分析】(1)根据已知方程有两个实数根，那么学0,可得k的围，由于方程有两个实数根，那 么根据根与系数的关系可得X1+X 2 = 1 , X1X2 = 普，然后把X 1+X 2、X 1X2代入(2X1-X2)(XL 2X2) =-中，进而可求k的值；(2)由X1, X2是一兀二次方程4kx 2 - 4kx+

32、k+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系表不出Xi 叼X1+X2与X1X2,将+上-2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后， r2 X1把表示出X1+X2与X1X2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数 k的整数值.【解答】解：(1) X1> X2是一元二次方程4kx 2 - 4kx+k+2=0的两个实数根，叁16k 2 - 4 X4k (k+2 ) = - 32k >0 ,且 4k w0 ,解得k<0；X1 > X2是一元二次方程 4kx 2 - 4kx+k+2=0 的两个实数根，dk+2X1+X 2=1 , X1X2=4kQxi X2

33、）（X12x2）=2x 12 4x 1X2 X1X2+2X 22=2（X1+X2） 2 - 9x 1X2=2 X12- 9?!jL=-kTE4k 4k#-kT84k解上述方程得，k二¥，k < 0 ,则k=芈不成立, 5不存在这样k的值.(2) X1, X2是一元二次方程 4kx 2 - 4kx+k+2=0 的两个实数根，X1+X 2=1 , X1X2=-2 ,且 16k 2 16k (k+2 ) >0,即 k<0, 我三+ 匹2=-2=一 2")2-奴 2二口,盯K町马叼k+1k+1由此式子的值为整数，得到k=-5, -3, -2, 0, 1, 3.k<0,. k= -5, - 3, -2.【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用.17 .已知关于 x 的方程 x2- (2k+1 ) x+4 (k -) =0 .(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 k的值；若不能，请说 明理由.(