《轴对称图形与等腰三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

1、轴对称图形与等腰三角形全章复习与巩固（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3. 了解垂直平分线、角平分线的概念，掌握其性质定理及应用【知识网络】性质及判定【要点梳理】要点一、轴对称【高清课堂：389304轴对称复习，本章概述】1 .轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 .要点诠释：轴对称图形是指一个图形，

2、图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定2 .轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.3 .轴对称图形与轴对称的区别和联系区别：轴对称是指两个图形的位置关

3、系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.要点二、作轴对称图形1 .作轴对称图形(1)几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段 端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形2 .用坐标表不轴对称点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x,

4、 y)；点(x,y)关于y轴对称的点 的坐标为(一x , y ) ； ( x , y )关于原点对称的点的坐标为(一 x , - y ).3 .对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴.轴对称图形的对称轴作法相同.要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称要点三、等腰三角形 1,等腰三角形(1)定

5、义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形(2)等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”)特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45。.(3)等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”).要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.2,等边三角形(1)定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。.(3)等边三角形的判定：三条边

6、都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形 .3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、线段垂直平分线、角平分线的性质定理 1线段的垂直平分线性质定理定理1:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等定理2:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上2,角平分线的性质定理定理1角平分线上的点到角两边的距离相等定理2角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的?【答案与解

7、析】 该算式的情况是：120+85=205【总结升华】从镜子里看物体一一左右相反举一反三：【变式】如图，是一只停泊在平静水面上的小船 ，它的“倒影”应是图中的（）【答案】B ；提示：从水中看物体一一上下颠倒2、如图，C D E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B提桌面上的两个千怎样击打A球，才能使 A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击 B球？请画出A?球经过的路线，并写出作法.*.BDE【答案与解析】解：作点A关于直线CF对称的点G,连接BG交CF于点巳则点P即为A?求撞击桌面边缘 CF的位置，A?求经过的路线如下图.【总结升华】 这道题利用了轴对称的性质，把AP转化成了线段 GP通过找A点

8、的对称点，从而确定点P的位置.举一反三：【变式】已知/ MONJ有一点P, P关于OM ON的对称点分别是 P和P2, PP2分别交OM, ON与点A、B,已知pp2=i5,则 PAB的周长为（A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24【答案】A提示：根据轴对称的性质,PA PA,PB RB , PAB 的周长等于 P P2.类型二、等腰三角形的性质与判定3、如图，在 ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD= BE, / BAD= / BCE AD与CE相交于点 F,试判断 AFC的形状，并 说明理由.【思路点拨】 要判断 AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看/FAC

9、和/FCA的关系.因为/ BAD= /BCE因此我们只比较/ BAC/ BCA的关系即可.【答案与解析】解：4AFC是等腰三角形.理由如下：在 BAN BCE 中， . / B= / B, / BAD= / BCE BD= BE,.BA阴 BCEBA= BC, / BAC= / BCA ./ BAG- / BAD= / BCA- / BCE 即/ FAG= / FCA AF= CF, .AFC是等腰三角形.【总结升华】 利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键.举一反三：【变式1】如图，/ 1 = /2, AB= AD / B= / D= 90 ,请判断 AEC的形状，并说明理由.【答案】解

10、： AEC是等腰三角形.理由如下：1 = 7 2,. / 1+Z 3=Z 2+Z 3,即/ BAG= / DAE又 AB= AD, Z B= / D,. .AB黄 ADE (ASA), AC= AE.即AEC是等腰三角形.【变式2】已知等腰三角形的一个内角为70 ,则另两个内角的度数是()A.55 , 55 B.70 , 40C.55 , 55 或 70 , 40 D.以上都不对【答案】C;提示：当70。为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为(180 70 ) + 2= 55 ,当70为底角时，另外一个底角也是 70 ,顶角是180 140 =40 .类型三、等边三角形的性质与判定

11、【高清课堂：389303等边三角形：例 4】4、如图，设D为等边 ABC内一点，且 AD= BD, BP AB, / DBP= / DBC求/ BPD的度数.【答案与解析】解：如图，连接CD.ABC是等边三角形，AB= AC= BC,又 AD= BD DC是公共边, .BD隼 ADC (SSS), / DC乐 / DCAf 1 X 60 = 30 , / DBC= / DAQ2 / DBA / DBC/ DAC= / DBP又已知BP AB, BP AC,.DB国 DAC (SAS), ./ 已 / ACD= 30 .【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三

12、角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.类型四、含有30角的直角三角形5、如图,在 RtABC 中，/ C=90 , Z A=30 , BC=6,求AB的长.【思路点拨】根据直角三角形中，30 角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC 的数量关系.【答案与解析】解：/C=90 , /A=30 , BC=6,AB=2BC=12 .【总结升华】 本题考查了含30的直角三角形.含 30的直角三角形中，斜边等于30角的对边的2倍.举一反三：【变式】如 图，在 ABC中，AB=AC=8cm, Z A=30 ,求 ABC的面积.【答案】解：过 B 作 BD) AC 于 D,则 / BDA=90 / A=30

13、,BD= X AB= X 8=4 ,22 ABC的面积是1XACX BD=1X 8X4=16 (cm2)222答： ABC的面积是16cm .类型五、线段垂直平分线性质定理及应用6、如图，已知 AD是线段BC的垂直平分线,且BD=3cm ABC的周长为20cm,求AC的长.【思路点拨】 根据线段垂直平分线的性质，可得 AB=AC , BD=CD ,然后根据等量代换，解 答出即可.【答案与解析】解：.AD是线段BC的垂直平分线，AB=AC BD=CD又BD=3cmBC=6cm又.ABC 的周长=AB+BC+AC=20cm，2AC=14AC=7cm .【总结升华】 本题主要考查线段的垂直平分线的性

14、质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.举一反三：【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A. ED=CD B . /DAC=/B C. /C2/B D. / B+/ ADE=90【答案】D；类型六、角平分线性质定理及应用7、如图， ABC的角平分线 BM CN相交于O.求证：点 O到三边AB BG CA的距离相等.BC【思路点拨】 作OD、OE、OF分别垂直于三边 AB、BC、CA, D、E、F为垂足，根据角 平分线性质可得 OD=OE, OF=OE, OD=OE=OF .【答案与解析】证明：作OD OE OF分别垂直于三边 AR BG CA D E、F为垂足,BM为 ABC的角平分线，ODL AR OE