[2020理数]第八章第三节直线、平面平行的判定与性质

1、第二节 直线、平面平行的判定与性质1 .能以立体几何中的定义、公理和定理为出 发点,认识和理解空间中线面平行的有关性 质与判定定理.2 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形中平行关系的简单命题.突破点一直线与平面平行的判定与性质基本知识直线与平面平行的判定定理和性质定理文子语百图形语百符号语后判定定理平囿外一条直线与此平囿内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行（线线平 彳T?线面平行）l / a,a? 0,1? a? l / a性质定理一条直线与一个平面平U_,则过这条直 线的平囿与此平囿的交线与该直线平行（线面平行？线线平行）l / a,l? 8an 3= b? l / b基

2、本能力一、判断题（对的打，错的打“X”）（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（）（2）若直线a/平面“FCa,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（）空间四边形 ABCD中,E,F分别是ABAD的中点，则EF /平面BCD.（ ）答案：（1）X （2）X ，二、填空题1 .若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是 .答案：平行、相交或异面2 .若直线 an直线b=A,a/平面 %则b与“的位置关系是 . 解析：因为all ”,，a与平面“没有公共点，若b? %则AC %又A C a,此种情况不可能.b / a或b与a相交.答案：b/ a或b与a相交3

3、 .如图，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中,E为DDi的中点，则BD 1与平面AEC的位置关系答案：平行全析考法考法一线面平行的判定例1如图，空间几何体 ABCDFE中,四边形ADFE是梯形，且EF /AD,P,Q分别为棱 BE,DF的中点.求证： PQ/平面 ABCD .证明法一：如图，取AE的中点G,连接PG,QG.在 ABE 中,PB= PE,AG = GE,所以 PG / BA,又 PG?平面 ABCD ,BA?平面 ABCD ,所以PG /平面 ABCD .在梯形 ADFE 中,DQ= CF,AG = GE所以 GQ/ AD,又 GQ?平面 ABCD ,AD?平面 ABCD ,

4、所以GQ/平面ABCD .因为 PGAGQ= G,PG?平面 PQG,GQ?平面 PQG,所以平面 PQG/平面 ABCD .又PQ?平面PQG,所以PQ/平面 ABCD .BH.法二：如图,连接EQ并延长，与AD的延长线交于点 H,连接因为 EF / DH,所以/ EFQ= / HDQ八C又 FQ= QD,Z EQF=Z DQH,所以 EFHDQ所以 EQ= QH.在ABEH 中,BP = PE,EQ= QH,所以 PQ/ BH .又 PQ?平面 ABCD ,BH ?平面 ABCD ,所以PQ/平面ABCD .考法二线面平行性质定理的应用例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面A

5、BCD % 外一点,M是PC的中点，在DM上取一点 G,过G和AP作平面交平面 BDM于GH.仅求证：AP/GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O,连接MO,广四边形ABCD是平行四边形,尸泮.O是AC的中点，/舞第又M是PC的中点， . AP/ MO. W又MO?平面BMD ,AP?平面BMD , AP / 平面 BMD .平面 PAHG n 平面 BMD = GH ,且AP?平面PAHG , AP / GH .方法技巧线面平行问题的解题关键(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征 ，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造

6、平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.集训冲关1.考法一在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中,AC = 4,CB = 2,AAi = 2,/ 用ACB=60,E,F分别是AiCi,BC的中点.证明： CiF /平面 ABE.证明：取AC的中点M,连接CiM,FM,在4ABC 中,FM / AB,而FM ?平面 ABE ,AB?平面 ABE ,FM / 平面 ABE ,在矩形ACCiAi中,E,M都是中点, CiM / AE,而CiM?平面ABE ,AE?平面 ABE,CiM /平面 ABE , CiM

7、n FM = M,平面 ABE /平面 FMC i,又CiF?平面FMC i,故CiF /平面ABE.2 .考法二如图 在直四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中,E为线段AD上的 任意一点（不包括A,D两点），平面CECi与平面BBiD交于FG .证明：FG /平面AAiBiB.证明：在四棱柱 ABCD -AiBiCiDi 中，BB i / CCi,BB i?平面BBiD,CCi?平面 BBiD,所以CCi /平面BBiD.又CCi?平面CECi,平面CECi与平面 BBiD交于FG , 所以 CCi / FG.因为 BB i / CCi,所以 BB i / FG .而 BBi?平面 AAiB

8、iB,FG?平面 AAiBiB,所以FG /平面AAiBiB.突破点二平面与平面平行的判定与性质基本知识平面与平面平行的判定定理和性质定理文子语百图形语百符号语后判定定理一个平囿内的两条相父直线与 另一个平囿平行，则这两个平囿 平行（线囿平行？囿囿平行）all 8b/ 8aAb = P,a? %b ? a? a/ 3性质定理如果两个平行平囿同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行a / 8 aCl y= a, 3rl y= b? a/ b基本能力一、判断题（对的打，错的打“X”）（1）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ，那么这两个平面平行.（）（2）若一个平面内有无数条直线与另一个平面

9、平行，则这两个平面平行.（）（3）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（）（4）若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行.（）答案：（1）X （2）X ，（4），二、填空题3 .设/ 3 丫为三个不同的平面，a,b为直线，给出下列条件：a? a,b? 3,a/ 8b/ a; a/ / 丫 a_L %3_L .其中能推出a/ 3的条件是 .（填上所有正确的序号）答案：4 .已知平面 a/ 3,直线a? %有下列命题：a与3内的所有直线平行；a与3内无数条直线平行；a与3内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是.解析：由面面平行和线面平行的性质可知，过a与3

10、相交的平面与 3的交线才与a平行,故错误；正确；平面3内的直线与直线a平彳T ,异面均可，其中包括异面垂直，故错误.答案：即3分别交于CD,AB,若PC=2,CA5 .如图，/ BPAB所在的平面与 =3,CD = 1,则 AB =.CDPCAB =PAX CDPC5X 1 52 =2AB解析： a/ 3,，CD / AB,则PA答案：2典例如图ABCD是边长为3的正方形,DE，平面ABCD ,AF，平面ABCD ,DE = 3AF = 3.证明：平面ABF /平面DCE.证明法一：应用面面平行的判定定理证明 因为DE，平面 ABCD ,AF，平面 ABCD ,所以DE /AF ,因为AF?平

11、面 DCE,DE?平面 DCE,所以AF /平面 DCE ,因为四边形 ABCD是正方形所以AB / CD,因为AB?平面DCE ,所以AB /平面DCE ,因为ABAAF=A,AB?平面 ABF,AF?平面 ABF ,所以平面 ABF /平面 DCE .法二：利用两个平面内的两条相交直线分别平行证明因为DE，平面 ABCD ,AF，平面 ABCD ,所以 DE / AF ,因为四边形 ABCD为正方形，所以AB / CD.又 AF n AB = A,DE n DC = D,所以平面 ABF /平面 DCE .法三：利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明因为DE，平面 ABCD ,所以DE L

12、AD,在正方形 ABCD中,AD，DC,又 DE n DC= D,所以AD，平面DEC .同理AD，平面ABF .所以平面 ABF /平面 DCE .方法技巧判定面面平行的4种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).针对训练1.(2019南昌模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD中,/ABC = /ACD = 90,/ BAC = / CAD = 60,PAL平面 ABCD ,PA= 2,AB =

13、1.设 M,N 分别 为PD,AD的中点.(1)求证：平面 CMN /平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.解：(1)证明：.M,N分别为PD,AD的中点，MN / PA. MN?平面 PAB,PA?平面 PAB,MN /平面 PAB.在 RtAACD 中，/CAD=60,CN = AN,，/ ACN = 60 .又/ BAC = 60 ,. CN / AB.,. CN?平面 PAB,AB?平面 PAB, .CN/平面 PAB.又 CN A MN = N,平面 CMN /平面 PAB.（2）由知，平面CMN /平面 PAB,点M到平面PAB的距离等于点 C到平面PAB的距离.由 AB =

14、 1,/ABC = 90,/BAC=60,BC = $,11 一 一 3二梭锥 P-ABM 的体积 V= Vm-pab= Vc-pab= Vp-abc =3* ,X 1 X3x 2= 3 .2. （2019西安调研）如图，在多面体 ABCDEF 中,AD / BC,AB AD,FAL平面 ABCD ,FA / DE ,且 AB = AD =AF =2BC = 2DE = 2.若M为线段EF的中点，求证：CM /平面ABF ;（2）求多面体 ABCDEF的体积.解：（1）证明：取 AD的中点N,连接CN,MN,. AD / BC 且 AD = 2BC,AN / BC 且 AN = BC,四边形A

15、BCN为平行四边形， .CN / AB. M 是 EF 的中点,. MN / AF .又 CN A MN = N,AB A AF = A, 平面CMN /平面ABF .又 CM?平面 CMN ,. CM /平面 ABF .(2)FA，平面 ABCD,.1. FAXAB .又 AB AD,且 FAP AD = A,AB，平面 ADEF ,即 CN,平面 ADEF .1 1- 一 1 1连接 AC,则多面体 ABCDEF 的体积 Vabcdef = Vf-abc + Vc-adef = 3X 2X 2X 1 X 2+ 3*2X（1 + 2）X2X2 = 3.课时跟踪检测1. （2019西安模拟）设

16、o, 3是两个平面，直线a? %则“a/ 6是“ M 6的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 依题意，由a? o,a/ 3不能推出all 8此时平面“与3可能相交；反过来由all 8a? %可彳导a/ 0综上所述，“a/ 3”是“ all 6的必要不充分条件，选B.2. （2019四川名校联考）如图,正方体 ABCD-AiBiCiDi的棱长为2 , a,M,N 分别为 AiB和 AC 上的点，AiM = AN = 4-a,则 MN 与平面BBiCiC的位置关系是（）B.平行A.相交D,不能确定解析：选B 由题可得 AiM=3aiB,AN

17、= 3aC,所以分别取 BC,BBi上的点P,Q使得CP= 2BC,BQ= 2BBi,连接 MQNP,PQ则 MQ触2BiAi,NP 遥AB ,又 BiAi 触 AB,故 MQ触 NP,所以 3333四边形MQPN是平行四边形，则MN / QP,QP?平面BBiCiC,MN?平面BBiCiC,则MN /平面BBiCiC,故选 B.3. （20i9枣庄诊断）如图，直三棱柱 ABC-A B C中，4ABC是边 长为2的等边三角形，AA = 4,点 E,F,G,H,M分别是边 AA ,AB,BB ,A B ,BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并 且始终有MP /平面ACC A ，则动点P的

18、轨迹长度为（）A. 2B. 2 %C. 2V3D. 4解析：选D 连接MF,FH,MH,因为M ,F,H分别为BC,AB,A B的中点，所以MF /平 面AA C C,FH /平面AA C C,所以平面 MFH /平面AA C C,所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA C C,所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.4. （20i9成都模拟）已知直线a,b和平面即下列说法中正确的是（）A.若 a / a,b? a,则 a / bB.若 a a,b? %贝U abC.若a,b与“所成的角相等，则all bD.若 a / a,b/ a,贝U a/ b解析：选B 对于A,若a

19、/ a,b? %则a / b或a与b异面，故A错；又于B,利用线面垂 直的性质，可知若a ab? %则ab,故B正确；对于 C,若a,b与“所成的角相等，则a与b 相交、平行或异面，故C错；对于D,由a/ /b/ ”,则a,b之间的位置关系可以是相交、平行 或异面，故D错.5. （20i7全国卷I ）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）解析：选A 法一：对于选项B,如图所示，连接CD,因为AB /CD,M,Q 分别是所在棱的中点，所以MQ/ CD,所以AB / MQ又AB?平面MNQMQ ?平面 M

20、NQ,所以AB/平面 MNQ同理可证选项 C、D中均有 AB/平 面MN Q故选A.法二：对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为0（如图所示）,连接0Q则0Q/ AB.因为0Q与平面 MNQ有交点，所以AB与平面 MN Q 有交点，即AB与平面MNQ不平行根据直线与平面平行的判定定理及三 角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB /平面MNQ故选A.6. 已知m,n是两条不同的直线， 8 丫是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A .若 a_L 丫 a_L 8 则 y/ 3B.若 m / n,m? %n? 8则 a/ 3C.若 m n,m a,n 8贝U all 3D.若 m / n ,

21、m / %则 n / a解析：选C 对于A,若a8则丫/ 3或丫与3相交；对于 B,若m / n,m? a,n? 8则a/ 3或a与3相交；易知 C正确；对于 D,若m / n,m / %则n / a或n在平面a内.故选C.7 .如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1的侧面BCCiBi是菱形，设D是AiCi上的点且 AiB / 平面BiCD,则AiD : DCi的值为.解析：设BCmBiC=O,连接OD.AiB/平面 BiCD 且平面 AiBCiA 平面 BiCD = OD, AiB / OD,.四边形BCCiBi是菱形，O为BCi的中点, D 为 AiCi 的中点，则 AiD : DCi=

22、1.答案：i8 .已知正方体 ABCD-AiBiCiDi,下列结论中，正确的是（只填序号）. ADi/ BCi；平面 ABiDi/平面 BDCi; ADi/DCi; ADi/平面 BDCi.解析：连接ADi,BCi,ABi,BiDi,CiD,BD,因为AB触CiDi所以四边 形ADiCiB为平行四边形，故ADi/ BCi,从而正确；易证BD/ BiDi,ABi /DCi,又 ABiABiDi= Bi,BD A DCi=D,故平面 ABiDi/平面 BDCi,从而正确；由图易知 ADi与DCi异面，故错误；因为 ADi/ BCi,ADi?平面BDCi,BCi?平面 BDCi,故ADi/平面BDC

23、i,故正确.答案：9.在三棱锥 P-ABC中,PB = 6,AC=3,G为 PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面 使截面平行于PB和AC,则截面的周长为.解析：如图，过点G作EF/AC分别交PA,PC于点E,F,过点E作 EN / PB交AB于点N,过点F作FM / PB交BC于点 M，连接 MN，则 四边形EFMN是平行四边形（平面EFMN为所求截面，且EF = MN = 3aC = 2,FM =EN=；PB=2,所以截面的周长为 2X4=8.答案：8210 .（2019南宁毕业班摸底）如图,4ABC中,AC=BC=j-AB,四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED，底面 ABC,G

24、,F分别是EC,BD 的中点.（1）求证：GF /底面ABC ;（2）求几何体 ADEBC的体积.解：（1）证明：如图，取BC的中点M,AB的中点N,连接GM ,FN,MN . G,F分别是EC,BD的中点，_, 一 _1.GM / BE,且 GM =2BE,一一 一_ 1NF / DA，且 NF = 2DA .又四边形 ABED为正方形，BE/ AD,BE = AD,.GM / NF 且 GM = NF .四边形MNFG为平行四边形.GF / MN,又 MN ?平面 ABC ,GF ?平面 ABC ,GF / 平面 ABC.(2)连接 CN, /AC=BC,. .CNAB, 又平面 ABED，平面 ABC ,CN?平面ABC, .CN,平面 ABED .11易知 ABC是等腰直角二角形，. CN = 1AB = 2, C-ABED是四棱锥，V C-ABEDgs四边形ABEDCN=3X1X=16.11 .如图，四边形ABCD与四边形 ADEF为平行四边形，M,N,G分别是AB ,AD,EF的中点 ,求证：(1)BE /平面 DMF ;平面BDE /平面MNG .