2020届高考冲刺高考仿真模拟卷(三)数学(理)(解析版)

1、2020高考仿真模拟卷(三)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1 .设集合 P = (x,y)|y=k, Q = (x,y)|y=2x,已知 PAQ=?,那么 k 的取值范围是()A. ( 8, 0)B. (0, +oo)C. (8, 0D. (1, +OO)答案 C解析 由PAQ = ?可得，函数v= 2x的图象与直线y=k无公共点，所以kq8, 0.2 . “(虢p)Vq为真命题”是“ pA(q)为假命题”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 (虢p)内为真命题包

2、括以下三种情况：p假q真、p假q假、p真q真；p虢q) 为假命题包括以下三种情况：p假q真、p假q假、p真q真；所以“(p)凶为真命题”是 “p虢q)为假命题”的充要条件.3 .欧拉公式eix= cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数 函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重sin2a+ i要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知eai为纯虚数，则复数 1 + i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A解析 eai=cosa+ isina是纯虚数，所以cosa=0, sinaw0

3、,所以a=卜冗+, kZ,所以sin2a+ii i(1 i) 1 1/1 1、2a = 2k：t+兀，k&, sin2a = 0,所以=二=5+中，在复平面内对应的点 j 31 + i 1 + i 22 22 2位于第一象限.4 .如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为BDi的中点，则 PAC在该正方体各个面 上的正投影可能是()A .B .C .D .答案 D解析 从上下方向上看， PAC的投影为图所示的情况;从左右方向上看，APAC的投影为图所示的情况;从前后方向上看，APAC的投影为图所示的情况.5 . (2019陕西西安八校4月联考)已知(x+1)6(ax1)2的展

4、开式中，x3的系数为56,则实 数a的值为()A. 6 或1B. 1 或 4C. 6或 5D. 4或 5答案 A解析因为(x+1)6(ax 1)2= (x+ 1)6(a2x2 2ax+ 1),所以(x+ 1)6(ax-1)2 的展开式中 x3 的 系数是 C3+C6(2a)+C6a2=6a230a+ 20,6a2 30a + 20 = 56,解得 a= 6 或一1.故选 A.6. (2019内蒙古呼伦贝尔统一考试一)函数f(x) = sin(2x+矶4<2j的图象向右平移6f单 位后关于原点对称，则函数f(x)在杯。1上的最大值为()A.3B.2D.C.答案 B解析 函数f(x) = s

5、in(2x + 6 1 4引的图象向右平移6个单位后，得到函数y =-19 -sinj2 x,卜(|) sin(2x 3+ 小)勺图象,则- 3 + 4= k兀，k&,.九,刊2,九 一、. J . .43，f(x)=sin 2x+由题意 x| 一京 0 I,彳2 2x+-3C|-yt, 3,sin2x+3j谏函数f(x) = sin?x+3故区间卜2, 0 的最大值为W3故选B.7.已知3sina COS c=4,贝U cos1 升B.A. 0C.3D.故a+冗 冗3=2+k5九而6"故sin一力 2 sin"6 万 一3,故3/ Sin5546 广 一3.8.已

6、知抛物线y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,抛物线上一点P,若|PF|=5,则4PFK的面积为()B. 5A. 4C. 8D. 10答案 A解析由抛物线的方程y2 = 4x,可得F(1,0), K(1,0),准线方程为 x= 1,设 P(x0, y。),则 |PF| = x0+1 = 5,即 x0 = 4,不妨设P(x0, y0)在第一象限，则P(4,4),一 1 _1 -.所以 Szpkf = 2FK| y0|=2X2X4 = 4.9 .如图，4GCD为正三角形，AB为4GCD的中位线，AB=3AE, BC = 3BF,。为DC的中点,则向量FE, OF夹角的余弦值为(B. -2A

7、.C.解析解法一：以O为坐标原点，DC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图所示,设为CD的边长为4,则A(-1,，C(2,0), F出 笔,； 3 3FE =3'FE of=141曲=雪,1心=堂cos <FE, OF>14 § 一2,7 2： 入3312.解法二：设4GCD的边长为4,连接OE, OA,如图，易得AADO为正三角形，/OAE=c260 , AO=2, AE=W，由余弦定理得32；72,72；7-0OE=3-,同理得 EF = -3-，OF=3-, .EFO = 60 ,. cos < FE, O F > =cos120 =-；.10

8、 .王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动 会上，他们四人要组成一个4X100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是 他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是()A.甲B.乙C.丙D. 丁答案 C解析 由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，当内跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第

9、四棒，符合题意，故跑第三棒 的人是丙.2211.已知点P为双曲线会帝=1(a>b>0)右支上一点，点Fi, F2分别为双曲线的左、右1焦点，点I是PF1F2的内心(二角形内切圆的圆心)，若恒有Sa IPF1-SAIPF产3s42成立，则 双曲线离心率的取值范围是()A. (1,2B. (1,2)C. (0,3D. (1,3答案 D解析 设ZTF1F2的内切圆的半径为r,由双曲线的定义，得|PF1|PF2|=2a, |F1F2|=2c,1S 盘PF1 二2PF1"，c1-.Saipf2= 2PF2I rS2 2 2c r cr,由题意，得 1|PFi| r 1|PF2| r

10、> 1cr, 22353故 c<2(|PFi|PF2|) = 3a,一 c故 e=-0 3,又 e>1, a所以双曲线的离心率的取值范围是(1,3.aa 312.已知函数f(x) = 2ax3 3ax?+1, g(x) = 彳乂+万，右对任息给止的m 0,2,关于x的方程f(x)=g(m)在区间0,2上总存在唯一的一个解，则实数a的取值范围是()71八A.(-oo, 1B.18,1C.(0,1)U-1D.(-1,0)U8答案 B解析 f' (x) = 6ax2 6ax = 6ax(x 1),一3当 a=0 时，f(x) = 1, g(x) = 2,显然不可能满足题意;

11、当 a>0 时，f' (x)=6ax(x1),x, f' (x), f(x)的变化如下:；r0(0,1)1(1*2)2fg00+yfx)被小值I a1 + 4aJ又因为当a>0时,g(x) = ax+3是减函数, ,、" a 3 31对任忠 m0,2 , g(m)Cl2 + 2，2，由题意,必有 g(m)max< f(x)max,且 g(m)min>f(0),3 ,2< 1 + 4a, 故a 3I -2 + 2>1,-1,解得8&a<1;_ .a 3当a<0时，g(x)= 4x+ 3是增函数，不符合题意.二、填空

12、题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A, B(如图)，要测算两 点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC,测得BC = 50 m, /ABC =105°, /BCA=45°,就 可以计算出A, B两点的距离为.答案 50 2 m解析 根据三角形内角和为180°,所以/BAC=30°,2TE AB BC ，口 AB 50由正弦止理 标=而，行sin45亍sin30 '解得 AB = 5M m.14 . (2019广东广州综合测试一)已知函数f(x) = x3+alog3x,若f(2)

13、= 6,则fg)=17答案«8解析 由题意得f(2) = 8+alog32=6, 变形得 alog32= 2,11 3 . .1 1. 17则 电尸 Q!+alog32 = 8 alog32 = §.3x+y& tt,15 .已知实数x, y满足约束条件x,则sin(x+y)的取值范围为(用区ly10,问表示).答案.l解析 作出约束条件表示的平面区域（如图阴影部分所示）.设z= x+ y,作出直线l: x+ y= z,当直线l过点B g, 0, z取得最小值斓当直线l过点A噎2j时，z取得最大值方:所兀2兀71以6&x+ y< -3,所以 sin(x

14、+y) 163|_216. （2019广东测试二）圆锥Q的底面半径为2,其侧面展开图是圆心角大小为180°的扇 形.正四棱柱ABCD A' B' C' D'的上底面的顶点A' , B' , C' , D'均在圆锥。的侧 面上，棱柱下底面在圆锥。的底面上，则圆锥的高为 ,此正四棱柱的体积的最大值 为.答案2 3堂解析 设圆锥的母线长为1,圆锥底面周长为2 7tx 2 = 4=力 l,.= 4,圆锥的高为4222 = 243.、E 、 一，2-V2ah设正四棱柱ABCD-A BCD 的底面边长为2a,图为h,则 一2 =23

15、，即2寸3也a=h,正四棱柱的体积V=4a2h=4a2(2/3 46a),设 f(a) = 4a2(2/3J6a), f' (a) =一 一2.22.2,2；2,一4a(4>/3-3V6a),令 f (a)=0得 a= 3 ,当 0<a< 3 , f (a)>0,当 a> 3，f (a)<°，故,的最大值为f砰）=6473 32 7三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知正项数

16、列an的前n项和为Sn,若数列log an是公差为一1 3的等差数列，且a2+2是a1，a3的等差中项.（1）证明：数列an是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）若Tn是数列，京韵前n项和，且Tn<M，|S成立，求实数M的取值范围.解 （1）证明：依题意，log1 an+1 log1 an= 1,an+1an+1故 log1 二一=1,故=一=3; 2 分 an'an'3故数列an是公比为3的等比数歹I.因为 2（a2+2） = a+a3,故 2（3a +2） = a+9a1, 4分 解得a1=1,故数列an的通项公式为an=3n-1.6分 依题意，5=,，故数歹I

17、W况以1为首项，1，公为公比的等比数列，8分 3n.1111,111 3( S 310分故 Tn=a1+ a2+a3+- + an=1 + 3+k =T = 211 -3n尸2，31-3.3 一.73、 一故M2,即实数M的取值沱围为12, + 00 ,12分18. （2019湖南师大附中考前演练五）（本小题满分12分）在五边形AEBCD中，BCXCD,CD/AB, AB=2CD = 2BC, AEXBE, AE=BE（如图 1）.将AABE 沿 AB 折起，使平面 ABE ，平面ABCD,线段AB的中点为O（如图2）.tl(1)求证：平面 ABE，平面DOE;(2)求平面EAB与平面ECD所

18、成的锐二面角的大小.解(1)证明：由题意AB = 2CD, O是线段AB的中点，则OB = CD.又CDAB,则四边形OBCD 为平行四边形，又 BCXD, WJ ABJOD,因 AE= BE, OB=OA, WJ EO 必B, 2 分又 EOADO = O,贝UAB，平面EOD,又AB?平面ABE,故平面 ABEL平面EOD. 4分(2)由(1)易知OB, OD, OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB, OD, OE所在直线分 别为x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,在AB为等腰直角三角形，O为线段 AB 的中点，且 AB = 2CD = 2BC,则 OA= OB= OD

19、= OE,取 CD = BC=1,则 O(0,0,0), A(1,0,0), B(1, 0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1),则CD= (1,0,0), DE=(0, 1,1),设平面 ECD 的法向量为 n = (x, y, z),nCD = 0,x=0,贝武即lnDl=0,- y+z=0,令z= 1,得平面 ECD的一个法向量 n = (0,1,1),因为ODL平面ABE,则平面 ABE的一个法向量为OD = (0,1,0), 8分设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为9,|cosOD|0X 0+1X1+0X 1| 二1xN2=2因为9qo,90）；所以

20、445°,故平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为45°. 12分19. （2019东北三省四市一模）（本小题满分12分）已知椭圆C: 2 + y=1的短轴端点为18 9B1, B2,点M是椭圆C上的动点，且不与 Bi, B2重合，点N满足NBiXMBi, NB2±MB2.(1)求动点N的轨迹方程；求四边形MB2NB1的面积的最大值.解(1)解法一：设 N(x, y), M(x0, y0)(x0T0),.MB1JNB1, MB2JNB2,直线NB1: y+3=-°-x,y0+3直线 NB2: y 3= 3-x,2 分y0 - 32)(02-X91-2辿9

21、+2期一18 又2X2- -2X9-2W -922整理得点N的轨迹方程为9+9= 1（xw 0）.6分2解法二：设 N(x, y), M(xo, yo)(xo0),.MB1JNB1, MB2JNB2,.xo一直线NBi: y+3=x,yo+ 3X0 八直线 NB2： y 3= X,2 分yo 一 3'y0-92 2由解得x x Xo 5又含+ y= 1,18 9X0x0= 2x，x= X0,故 S w= -y,2v= y0,件入x0 yo/曰y2 x2代入18+9= i得七+§ = i.22y x八.二点N的轨迹方程为1 + 9= 1(xw0).6分9 9 2解法三：设直线

22、MBi: y=kx 3(kw 0),1则直线NBi： y= kx 3,直线MBi与椭圆C:2218 + y9=1的交点M的坐标为12k必k2+ 1'6k2-32k2+1.2分6k2 3 六则直线MB2的斜率为kMB2=一五一12k2k2+1±2k. .直线 NB2： y=2kx+ 3,由解得，点N的轨迹方程为y +1 0).6分9 92(2)解法一：设 N(x1, y1), M(xo, yo)(xo*0).由(1)解法二得%=xo，四边形MB2NB1的面积一 1_ .3. . 9.S=引B1B2KM1I+ Mo|)= 3X 2愉| = 2伙0|, 9 分0<x2<

23、18, 当x2=18时，S的最大值为272叵.12分解法二：由(1)解法三得四边形MB2NB1的面积C 1S= o|B1Bo|(|xm|+ |xn|)=3X 2k4ki2|k|+ |k|当且仅当|k|=平时，S取得最大值呼2？分20. (2019吉林长春质量监测二)(本小题满分12分)已知函数f(x) = ex+ bx 1(bCR).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x) = ln x有两个实数根，求实数b的取值范围.解由题可得f' (x) = ex+ b,当b0时，f' (x)>0, f(x)在(一oo, +oo)上单调递增;当 b<0 时，当 x>

24、;ln ( b)时，f' (x)>0, f(x)在(In ( b), +00)上单调递增；当 x<ln( b)时，f' (x)<0, f(x)在(一0°, in ( b)上单调递减.4分(2)令 g(x) = ex+bx 1 In x, g' (x) = ex+ b J,易知 g' (x)单调递增且一定有大于 0 的 x零点，不妨设为xo,g'(xo)=0,即ex0+b 2=0,则b=： ex0,故若有g(x)有两个零点，需满足g(xo)<0,即 ex0+bx。1 1n x0=ex0+ Q ex0x。一 1 In xo

25、= exo exo xo In xo<0, 7 分令 h(x) = ex exx In x,则 h' (x) = - exx<0, x所以h(x)在(0, + 00)上单调递减.又 h(1) = 0,所以 ex0 ex°x0In x0<0 的解集为(1, +00),1 一由b = Te，所以b<1-e.9分又当 b<1 e时，ex+bx1 In x>x+ bx In x,则 g(eb)>eb+bebIn eb=(b+ 1)eb b,令 t(x) = (x+ 1)ex x= (x+ 1)(ex 1)+ 1,由于 x<1 e,所以

26、x+1<2e<0, ex<1,所以(x+ 1)(ex1)>0,故 t(x) = (x+1)ex x>0,所以 g(eb)>0,故 g(eb)g(x0)<0, g(x)在(0, X0)上有唯一零点，另一 方面，在（x0, + °°）±,当 x一+8时，由ex增长速度大，所以g（x）>0,综上有b<1e.12分21. （2019福建厦门第一次（3月）质检）（本小题满分12分）某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）:年精售什上万件一产品的质量指数在50,70）

27、的为三等品，在70,90）的为二等品，在90,110的为一等品，该 产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件 1.5,3.5,5.5印位：元），以这100件产品的质量 指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；表中 ui = ln x, vi = ln yi, u（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年 的年营销费用xi和年销售量yi（i=1, 2,3,4,5激据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些 统计量的值.5 Z Ui i = 15 Zvi i =1:，一、，一、 乙（Ui U ）（vi 一

28、 V ） i= 11 、2乙(Ui U)i = 116.3024.870.411.64115= 5'Ui' v =5乙'i'根据散点图判断，V= a xb可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程.建立y关于x的回归方程；用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润一营销费用，取 e459= 64）参考公式：对于一组数据：（U1 ,Vi）,（U2,V2）,，（Un,Vn）,其回归直线V = a+ 0 U的斜Zi= 1(Ui - u jVi v )率和截距的最小二乘估计分别为:2iZ 1 (uL

29、U )a= V 0 u .解（1）设每件产品的销售利润为 己元，则己的所有可能取值为1.5,3.5,5.5,由直方图可得一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15, 2分 所以 P(± 1.5)= 0.15, P(k 3.5) = 0.45, P(才 5.5) = 0.4, 所以随机变量己的分布列为1.53.55.5P0.150.450.4则E（9=1.5X 0.15+3.5X 0.45+ 5.5X 0.4 = 4,故每件产品的平均销售利润为 4元.4分 (2)由 y= axb 得，ln y=ln(a xb) = ln a+bln x, 令 u = ln x, v = ln

30、 y, c=ln a,贝U v = c+bu,- 贝Jc= v b24.875-0.25X16.30_5 =4.159,乙(ui U (Vi V ) Ai设 t=x 4 , f(t) = 256t t4,则 f' (t) = 2564t3 = 4(64 t2 3),当 tq0,4）时，f' （t）0, f在（0,4）上单调递增，当 tq4, +8）时，f，（t）0, f在（4, 十0.41 由表中数据可得， b = 164= 0.25,所以丫= 4.159+0.25u, 7 分即 In y= 4.159+ 0.25ln x= In。骂 4 ),八11因为e4.159= 64,所以y=64x4 ,故所求的回归方程为y=64x4.9分1设年收益为z万元，则z= E( 9y x = 256x4 -x, 10分8)上单调递减.所以，当t=4,即x= 256时，z有最大值为768,即该厂应