2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(五)数学(理)试题(解析版)

1、2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五）数学（理）试题、单选题221.已知集合 A x|x 1 0, B x|x 2x 3 0.则 AI BA. 1,1B. 1C. 1,1【答案】BD. 1,3【解析】先计算得到A1,1 ,B x| 1 x 3,再计算 A B得到答案.A1,1 , B x| 1 x 3, A B 1故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2. Ssin15sin75 ()A . B. 1C. 41D.近2【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案【详解】、3sin15 sin75 .3sin15 cos15 2sin 15 3

2、02故选：C【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力iuuu uuu3.设复数Z1 , Z2 z1i , Z1,Z2在复平面内所对应的向量分别为OP , OQ （O1 iuur UULT为原点），则OP OQ （）A.B. 0D.、,2【答案】Buuu i i uuur【解析】化简彳#到OP,OQ2 21 iuur uuur,再计算OP OQ得到答案2 2i 1 izi ， Z2zii1 i 2uumOPi i一，一2 2uuur,OQi i uuur unr ,OP OQ 02 2故选：B【点睛】 本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键4.

3、已知数列an为等差数列，Sn为前n项和，若a2 a44 , a§ 8 ,则5。（）B. ii5D. 95A. i25C. i05【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组a?a42ai 4da5ai4d，计算得到答案.a2 a4 2ai 4d 4,a5 al 4d 84,3,Si0 i0i0 923 95故选：D【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键i、65.若（ax i）的展开式中常数项等于20,则a （）A. iB. iC. iD. i22【答案】C【解析】 在二项展开式的通项公式中，令x的哥指数等于0,求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20,求

4、得实数a的值.解：1 (ax-)6的展开式中的通项公式为 xTr 1r 61) a r 6 r 6 2rC6( 1) a x故选:2r3,可得常数项为C6(ax)3C.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式,二项式系数的性质，属于基础题._x x.6.函数f(x) sin(e e )的图象大致为(A.C.B.D.【解析】判断函数为偶函数，取特殊点sin2 1,判断得到答案.0 f 0 sin2 1,且 f x fx ,函数为偶函数故选：D本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键7.在高中阶段，我们学习的数学教材有必修15,选彳2系列3册，选彳

5、4系列2册,某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习,则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是(1A . 一3【答案】B【解析】先求两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求从上述书中随机取两册包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出.【详解】5 4解：两本均是必修教材”包含的基本事件个数为 c5 io, 2， 210 9从上述书中随机取两册 包含的基本事件总数为 C10 2 45,102小明今晚复习的两本均是必修教材的概率 p 10 £459故选：B.【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题.e x 2.x a8.已知函数f(x)的最小值为e,

6、则f (ln 2) f (2)()ex, x a2e 4eA. 2【答案】AB. e(2 In 2)C.e2 2D. 1 eln2【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e ee得，解ae e不等式得a 1,再代入解析式即可求出函数值.解：. f(x)ex,x a，当函数x a时，f (x)a 2e ，当 x>a 时，f (x) ex ae,又函数的最小值为e,ae e所以 f (ln 2) f (2)ln2 2ln 22e 2e e e 2e2e 4e本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中 档题.1 ，、9.已知函数f (x) 2

7、sin( x -)，将y f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23倍(纵坐标不变)，再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为g(x),若函数的图象在P, Q两处的切线都与x轴平行，则|PQ|的最小值为（A.折B. 4C. 4D. 2/5【答案】B 兀兀 1- 一一.【解析】先计算得到g x 2sin x -,回出函数图像，计算 PQ1255,22 31PQ24得到答案.【详解】由图可知，|PQ取到的最小可能为 PQi , | PQ2 ,因为PQ| 2庭,PQ2 4,所 以最小值为4故选：B【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能 力.10.

8、如图，已知BD是圆。的直径，A, C在圆上且分别在 BD的两侧，其中BD 2, AB CD.现将其沿BD折起使得二面角 A BD C为直二面角，则下列说法不正确 的是（）A. A, B, C, D在同一个球面上1B.当AC BD时，三棱锥A BCD的体积为- 3C. AB与CD是异面直线且不垂直D.存在一个位置，使得平面 ACD 平面ABC 【答案】D 【解析】 依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R,所以A正确；当AC BD,A, C各在所在圆弧的中点，计算体积得到B正确；反证法证明 AB与CD不垂直C正确；根据C选项知D错误，得到答案。【详解】因为OA OB OC OD R,所

9、以A正确；当AC BD , A, C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于11 1最大位置，此时体积为 一2 1 1 -,所以B正确； 23 3AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直.若AB CD ,过A作BD的垂线，垂足为E,因为为直二面角，所以AE，平面BCD,所以AE CD ,所以CD 平面ABD , 所以CD BD ,这与CD BC矛盾，所以AB与CD不垂直，所以 C正确； 假设存在一个位置，使得平面ACD 平面ABC ,过B作BM AC于M ,则BM 平面ACD BM CD由于BC CD CD 平面ABC CD AB,与C选项矛 盾.故选：D.【点睛】本题考查

10、了直线平面的关系，体积，意在考查学生的空间想象能力和推断能力11 .在四边形 ABCD中，已知AB 3, BC 4, CD 5, AD 6,则四边形 ABCD面积的最大值为（）A. 21B. 6710C. 1075D. 4向【答案】B【解析】 设 B , D,解4ABC和4ACD表示出AC2，求出四边形 ABCD的面积CD3(5sin 2sin )，令 M 5cos 2cosN 5sin2sin ,求得2- 一N 20 20cos()，求出N的最大值,从而求出四边形面积的最大值.【详解】解：设 B,则在VABC中,AC29 16 24cos 25 24cos ,在VACD中,AC225 362

11、 5 6cos6160cos ,二. 25 24cos6160cos5cos2cos3,则四边形ABCD的面积SABCDSA ABCSA ACD4sin5 6sin3(5sin2sin ),令 M 5cos2cos5sin2sinM2 N22920cos(N2,则N22020cos(),所以当冗，即coscos3工7时，N取到最大值所以面积的最大值为6对,综合性很强，属于中本题考查了利用正弦定理和余弦定理解决平面几何中的面积问题, 档题.二、填空题12 .能说明命题'a, b , c, d是实数，若a b, c d,则ac bd ”是假命题的一 组数对(a , b , c, d )是.

12、【答案】(2,1, 2, 3).【解析】 举一组反例即得到答案.【详解】答案不唯一，满足条彳即可.例如：2,1, 2, 3 .故答案为：2,1, 2, 3 .【点睛】本题考查了判断命题为假命题，属于简单题13 .已知某学校高三年级 1500名学生参加某次考试的成绩X (单位：分)服从正态分布N(80,202),估计成绩在120分以上的学生人数有 .附：若XN( , 2),则P()0.6826 , P( 2 X2 ) 0.9544.【答案】34或35【解析】由随机变量X服从正态分布N (80, 202),得 80 ,20,根据P(X 120) P(X 2 )即可求解.【详解】解：由随机变量X服从

13、正态分布 N(80,202),得 80 ,20,则1202 , P( 2 X 2 ) 0.9544 ,则 P(X 120) P(X 2 ) L_P_2_X2_J 0.0228,2则成绩在120分以上的人数有1500 0.0228 34.2,所以34或35均可.故答案为：34或35.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量科和b的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.14 .设抛物线C： y2 2 Px(p 0),过抛物线的焦点且平行于y轴的直线与抛物线围成的图形面积为6,则抛物线的方程为【答案】y2 6x【解析】由题意由过抛物线的焦点且平行于y轴的直线方程为x

14、艮，代入到抛物线2方程可得交点坐标，利用积分表示出面积，解方程即可求出抛物线方程.解：过抛物线的焦点且平行于y轴的直线方程为x则它与抛物线交于 A P , B P , 22由y2成 得，则所围成的图形的面积.P2 23P6,巴 p: 2 -2 汽 2 pxdx 272"p 02 Vxdx 242P -x2 0则P 3,所以抛物线的方程为 y2 6x ,2故答案为：y 6x.本题主要考查积分的应用，考查抛物线的性质,求出积分上限和下限，是解决本题的关键，属于基础题.15 .我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离但实际上，因为纸张本身有厚度， 我们并不能将

15、纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸 张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为 W,厚度为X的矩形纸张沿两个方向不1、. . . -一断对折，则经过两次对折，长边变为一w,厚度变为4x.在理想情况下，对折次数 n有22 w下列关系：n log2（注：lg2 0.3）,根据以上信息，一张长为 21cm,厚度为 3 x0.05mm的纸最多能对折次.2【解析】根据题意计算n log2 4200得到答案.3【详解】2 .2 .n -log24200 一 log2 43 3log 21000 log 221202 八 ，21一 2 3log210 log2-320因为log210，0 0.321log 2

16、；201,所以nflog22120n的最大值为8.故答案为：8本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力三、解答题 2216 .已知F是双曲线G：与 4 1（a 0,b 0）的一个焦点，l1 , l2是双曲线的两条 a b渐近线，过F且垂直1i的直线与，l2分别交于A, B两点，若三角形 AOB的面积S aob 2ab （O为原点），则双曲线的离心率为（）B.凡或近2A.a或至 33C,/或近D.而或近222【答案】C【解析】 分为b a 0和a b 0两种情况，画出图像分别计算离心率得到答案【详解】有如下两种情况：（1） b a 0； （2）a b 0.(1)如图甲，可求出2,2

17、,a ab a c abcA, B的坐标分别为 A 一，一，B 2，-一2 c c abba所以 SVAOBSVBOFSVAOF1 abc 1 abc -22 c 2 b2 a2 2 c2ab同理可得当a b 0时，满足条件的离心率、- 6e 2故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，分类讨论是解题的关键，漏解是容易发生的错误17.在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金， 现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下 ：方案一：每天回报 40元；方案二：第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报 10元；方案三：第一天回报 0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.记三种方案第

18、n天的回报分别为an, bn, cn.(1)根据数列的定义判断数列 an, bn, cn的类型，并据此写出三个数列的通项公式；(2)小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由【答案】(1) an为常数列；bn为等差数列；cn是等比数列；n 1an 40, bn 10n, cn 0.4 2(2)应该选择方案二，详见解析【解析】(1)根据题意得到 an为常数列，bn是等差数列，cn是等比数列，分别 计算通项公式得到答案.(2)设投资10天三种投资方案的总收益为A10, B10, C10 ,分别计算比较大小得到答案【详解】(1) an 40, an为常数列；n 1, bn

19、Hi10, bn是首项为10,公差为10的等差数列;n 1, Cn 2Cn 1, C1 0.4,所以Cn是首项为0.4,公比为2的等比数列.n 1所以 bn 10n, Cn0.4 2.0.4 1 210 409.2 '1 2(2)设投资10天三种投资方案的总收益为Ao, Bo, C10 ,由(D 知：A。 400；即 10 10 109 10 550； C10 2因为B10 C10 A10 ,所以应该选择方案二.【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生对于数列公式的灵活应用18.至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量

20、以及相关数据.总计年份代码123456728申请量T (7J件)65«29211013313耨154774a65164276440665S2810783516注：年份代码17分别表示20122018.(1)可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？(2)建立y关于t的回归直线方程(精确到0.01),并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 nn(x X)(yi y) XX nxyB -n, a? y bx.2 2(x x)(Xi x)i 1i 1【答案】(1) 2013年的增长率最高，达到了

21、26% (2) y关于t的回归直线方程为y 15t 50.57 ,预测我国发明专利申请量将在2021年突破200万件【解析】(1)分别计算每一年的增长率，比较大小得到答案(2)根据公式直接计算得到回归直线方程为? 15t 50.57 ,再解不等式15t 50.57 200 得至U答案.【详解】(1)由表格可知 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018年的增长率分别如下:宝 26%;臂 12%;誓 20%;133 11011021%； 13 4%; 18 12%133138所以2013年的增长率最高，达到了 26%.774(2)由表格可计算出：t 4, y ,7351

22、6,7_ 2ti t 28,i 17743516 7 4b? 7 15, ?15 428750.57 'y关于t的回归直线方程为 ? 15t 50.57.人149.43令 15t 50.57 200 t 9.96 .15所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件.本题考查了回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图，已知菱形 ABCD和矩形ACFE所在的平面互相垂直，AC 2AE .(1)若G为BE的中点，求证：AG/平面BDF ;(2)若二面角 A BE D的余弦值为 曾,求tan ABC .【答案】(1)见解析；(2)24.【解析

23、】(1)设BF的中点为H, ACI BD O,连接HG, HO.证四边形AGHO是平行四边形，得 AG/ HO ,再根据线面平行的判定定理得AG/平面BDF；(2)以O为原点建立如图的空间直角坐标系,一 ,-uuu uuu uuur设OA a,OB b,求得 BE,AE ,BD，再求出平面ABE与平面BDE的法向量，求出法向量所成角的余弦值，求出 a,b,得tan2 ABO247163tan ABO 从而 tan ABC4'【详解】(1)证明：设BF的中点为H, ACI BD O ,连接HG, HO.1因为G是BE的中点，所以 HG/EF/AO, HG EF AO 2所以四边形AGHO

24、是平行四边形, 所以AG/ HO,又因为HO 平面BDF, AG 平面BDF , 所以AG /平面BDF .(2)解：因为菱形 ABCD和矩形ACFE所在平面互相垂直, 故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设OA a, OBb,则 A(0, a, 0) , B( b, 0, 0) , E(0, a, a) , D(b, 0, 0),uuruuruurBE (b, a, a) , AE (0, 0, a), BD设平面ABE与平面BDE的法向量分别为 uv uuvL, n BE0bx1 av则 uv uuuv , n AE0a0人ur令 X1 a、y2 1 ,得 n (ab 2.2 ntt

25、 a二 ,贝 u 一%/or5， bazib,0)，tan ABC tan2 ABO(2b, 0, 0).urn1 (X1, ybuu13一则 tan ABO4uuZ1)，(X2, y2, z2)，uv uuvn2BE0bx2ay2az20uv uuuv ,n2BD02bX2 0un uub(0, 11),则 cosn1, n2f=2-.a b g. 234，2 341 91624a162472 X20.设椭圆C ： a本题主要考查线面平行的判定与线线平行的判定，考查二面角的应用，属于中档题.24 1(a b 0), F-F2分别是椭圆的左、右焦点，P(x0,y°) b2在椭圆C上.

26、求证:(1)直线l:XoX-2ai是椭圆在点p处的切线;（2）从F2发出的光线F2 P经直线l反射后经过Fi.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）联立直线和椭圆方程XoX2 y_ b21,计算0得到证明y°y（2）设F2关于直线l的对称点为F2 X1, %,则F2, F2的中点在直线l上，直线F2F2与l垂直，计算kF2F1卜3得到证明.【详解】证明：（1）因为P Xo, yo在椭圆上，所以2Xoa2y。b21 ,所以P也在直线上.联立直线和椭圆方程22土上1 a2 b2'%x%y 1221a b2. 22a b b X0X2，a y。, 2 22 22,

27、2b x a y a b2 22222.22 44 2a y0 b X0 x 2a b X0X b a a y00,因为P在椭圆上，所以2 2 , 2 22. 22. 2 22. 22.2 2a y0 b x0 a b a b x 2ab xox a b x0 0所以直线l与椭圆相切，又因为l C P, 所以直线l是椭圆在点P处的切线.（2）设F2关于直线l的对称点为F2 xn y1 ,则F2, F2的中点在直线l上，直线F2F2与l垂直,kF2F1上x1c,22,22b y0 axocb y0 axoc,42 2b Xoa y°c42, 22 2b x0a b c b xoc2Vo

28、 aXoC2222a c x0 a c xoc2V。aXoCy02-"kPFiaXoC x。cx。c所以F2, P, F1三点共线,所以从F2发出的光线F2 P经直线l反射后经过Fl .【点睛】本题考查了椭圆的切线和反射问题，意在考查学生的计算能力和转化能力x a ,21.设函数 f (x) a x (x 0,a 1).(1)证明：x (0,)，都有lnxa；(2)若函数f (x)有且只有一个零点，求f (x)的极值.【答案】(1)见解析；(2) a e时，f(x)的极大值为e-1 ,极小值为0.【解析】(1)令h(x) lnx J7,求导得h(x) 2"工，利用导数判断出

29、h(x)的单调 2x性，从而求出h(x)的最大值，最大值小于 0,则命题得证；In a In x(2)由f (x)。得ax xa ,两边同时取对数整理得 ，则f(x)的零点a x个数等于1nx 'a解的个数，令g(x) JD ,求导，求出f(x) ex xe,得出 x axf (x) e(ex 1 xe1),令(x) x 1 (e 1)ln x ,求导，借助(x)的单调性得出f (x)的符号，从而求出极值.11_ 2 xx 2.x 2x)上单调递减，【详解】(1)证明：令 h(x) In x . x ,则 h (x)所以h(x)在(0, 4)上单调递增，在(4,所以 h(x)的最大值为

30、 h(4) In 4 2 2(ln 2 1) 0 ,即 h(x) 0 ,所以x (0,),都有In xVx .(2)In xIn a解：由 f(x)。得 ax xa,则 xIna a1nx，所以7所以f (x)的零点个数等于方程 叱 色且解的个数, x aIn x1 In xIn a令 g(x)，则 g (x) ,且 g(a), xxa所以g(x)在(0, e)上单调递增，在(e,)上单调递减，又因为 g(1) 0,且由(i)知，小丝-L,则当xx x 、x时，g(x) 0 ,所以a e时，g(x) g(a)有且只有一个解,所以若函数f(x)有且只有一个零点，则a e ,此时 f (x)ex xe,.x e 1x 1 e 1x (e 1)x)上单调递增, f (x) e ex e(e x ),令(x) x 1 (e 1)ln x,则(x) 1所以(x)在(0, e 1)上单调递减，在(e 1,)时，(x) 0,所以当 x (0,1)时，(x) 0,当 x (1, e)时，(x) 0,当 x (e,当 x (0, 1)时，x 1 (e 1)ln x ,则 ex 1