2019中考数学真题分类汇编圆的基本性质含解析

1、圆的基本性质一、选择题1. （2019 嘉兴）如图，已知。O上三点 A B, C,半径O住1, Z ABCf 30° ,切线PA交O憾长线于点P,则PA的长为（）37A. 2B.:-；C.二D.卞【答案】B【解析】连接 OA,因为/ ABC=30 ,所以/ AOC=60 ,又因为PA为切线，所以/ OAP=90 ,因为OC=1 ,所以PA二君.2. （2019 杭州）如图，P为。外一点，PA PB分别切。于A、B两点，若PA=3,则PB=A. 2B.3C.4）D.5【解析】因为PA和PB与。O相切，根据切线长定理，可知:PA=PB=3,故选 B.D.2.3冗3第12题答图3. （20

2、19 烟台）如图，AB是|_l O的直径，直线DE与L。相切于点C,过点A, B分别作AD _L DE ,BE _LDE ,垂足为点D, E,连接AC, BC.若AD =J3, CE = 3,则AC的长为（）.2.3,33 3-B.飞-兀C. -n【答案】D【解题过程】连接 OC,因为 AD -L DE , BE -L DE , 所以 ADC =/CEB =90所以 NDAC +/ACD =90*因为AB是O的直径,所以 NACB =90，所以 ZBCE +/ACD =90，所以 ZBCE =/DAC ,在 ADC 与 CED,因为/ADC =/CEB=90*, /BCE =/DAC所以 AD

3、CA CED,所以BCACCEADBC =在 RtACB 中，sin/BAC=阴, AC所以 NBAC =60。又因为OA=OC ,所以 AOC是等边三角形，所以 /ACO =60°,因为直线DE与O相切于点C,所以 OC _L DE ,因为 AD _L DE , OC _L DE ,所以 AD/OC ,所以 NDAC =/ACO =60°,所以 ZACD =90。NDAC =30©,所以 AC =2AD =2j3 ,所以 AOC是等边三角形,所以 OA=AC =2a/3, /AOC=60）所以AC的长为60 二 2 3 2.3=JI18034. （2019 威海

4、）C,如图，OP与x轴交与点 A (5, 0), B (1, 0),与y轴的正半轴交于点 /ACB = 60° ,则点C的纵坐标为A. 13.3 B. 2 23 C. 4 2 D. 2 2 2【答案】D【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点P分别作PF± AB, PE± OC,垂足为F,E.由题意可知：四边形PFOE为矩形，PE = OF ,PF = OE. / ACB=60°,APB= 120°. PA=PB, ./ PAB= Z PBA=30°.PF ± AB ,AF = BF = 3.PE = OF = 2. tan

5、 30° = ,cos30 °=AFPF = .3 ,AP= 2.3.AFAP在 RTFEC 中，ce =JpC2 -PE2 = 272 ,.OC =CE+ EO= 2 夜+ 2.相切于点A.兀B. 2兀 C. 2 拒兀 D.4ttD.若 AC= BD = 4,.OE = 3 ,PC = 2 .3 .【答案】B【解析】连接CO, DO,因为AC, BD分别与。O相切于C, D,所以/ ACO = / DBO=90° ,所以/ AOC= / A=45° ,所以 CO=AC=4 ,因为 AC=BD,CO=DO,所以 ACOA BDO,所以/ DOB=/AOC

6、=45° ,所以 一 90 二 4 Z DOC=180 - / DOB-/ AOC=180 -45 -45 =90 , CD =180=2兀，故选B.6. （2019 益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为 A、B, PO交AB于点C, PO的延长线交 圆O于点D,下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB. / BPD = / APDC.AB ± PDD.AB 平分 PD第9题图【答案】DA.25 mOCXAB,设半径A. 22.5°B, 30°C. 45°D, 60°【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点 C, D,设圆心

7、为O, CD与AB交于点E, AB=拒 OA,AE= sin AOEOE _ 2 OA _ 2OA OA 2 ./ AOE=45 ° , . AOB=90ASB=45 ° ,故选：C.【解析】: PA、PB为圆。的切线，切点分别为 A、B, PO交AB于点C, PO的延长线交圆 。于点D,，PA=PB, / BPD=/ APD,故 A、B 正确； PA=PB , /BPD=/APD,PDXAB , PD 平分 AB ,但 AB 不一定平分 PD,故 C 正确，D 错误.7. （2019 黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB）,点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m

8、,点C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD = 10m.则这段弯路所在圆的半径为（）C.30mD.60mB.24m【解析】 连接OD,由垂径定理可知O, C, D在同一条直线上,为r,则 OC = OA=r, AD=20, OD= OA-CD = r- 10,在RtADO,由勾股定理 知：r2= 202+(r10)2,解得 r = 25.8. （2019 陇南）如图，点A, B, S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的 耳用倍，则/ ASB的度数是（）9. （2019 滨州）如图，AB为。的直径，C, D为。上两点，若/ BCD = 40° ,则/ABD的大小为（）DA. 60

9、76;B, 50°C, 40°D, 20°【答案】B【解析】如图，连接AD ,AB为。的直径，Z ADB=90 . = / A和/ BCDtB是弧BD所对的圆周角,Z A= Z BCD=40 ,/ ABD=90 ° 40° =50° .故选 B.10. （2019 聊城）如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点 A,连接OD,OE,如果/ A=70° ,那么/ DOE的度数为A.35 °B.38°C.40°D.42 °【答案】C【解析】. /A=70&#

10、176; ,./ B+/C=110° ,./ BOE+ Z COD = 220° , . . / DOE = / BOE+/ COD 180° = 40° ,故选C.11. （2019 潍坊）如图，四边形 ABCD内接于。O, AB为直径，AD=CD .过点D作DELAB于点E.连接AC交DE于点F.若sin / CAB= - , DF=5,贝U BC的长为5A . 8 B . 10 C. 12 D . 16【答案】C【解析】连接BD . AD=CD, .DAC = /ACD. AB 为直径，./ ADB = /ACB=90° ./ DAB +

11、 Z ABD=90°DEXAB, ./ DAB+Z ADE=90° ./ ADE =/ABD./ABD = /ACD , ./ DAC=/ADE .，AF=DF=5.EF 3在 RtAEF 中，sin/CAB=一AF 5，EF=3, AE=4. . . DE=3+5=8 .23一DE 8-由 DE =AE ?EB,得 BE = = =16 .AE 4 . AB=16+4=20 . 八一 一 BC 3在 RtABC 中，sin/CAB=AB 5BC=12.12. （2019凉山）下列命题：直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；相等的圆心角所对的弧

12、相等；平分弦的直径垂直于弦.其中，真命题的个数（）A. 1B. 2C. 3D . 4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有是对的，故选A.13. （2019 眉山）如图，。的直径AB垂直于弦CD.垂足是点E, /CAO=22. 5° , OC=6, 则CD的长为A. 6逝 B. 3应C. 6 D.睛1。独制【答案】A【解析】/ A=22.5 ，/ COE=45/ CEO=90 ，/ COE=45 ,故选D.12,O O的直径AB垂直于弦CD , O

13、C=6 ,o 一苗"- CE=OE= OC = 3石,CD=2CE= 6显:/214.（2019福州）一块圆形宣传标志牌如图所示，DC=2dm,则圆形标志牌的半径为（A）_点A, B, C在。O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB =8dm,QcA. 6dm B. 5dm C. 4dm D. 3dm【答案】B【解析】连接OD ,OB,则O,C,D三点在一条直线上，因为CD垂直平分 AB,AB=8dm,所以BD=4dm, OD =（r-2） dm,由勾股定理得 42+ （r-2） 2=r2, r=5dm,故选 B.15.（2019 泰安）如图，4ABC是口 O的内接三角形，/A =

14、119° ,过点C的圆的切线交 BO于点P则/ P的 度数为A.32C.29D.61B.31【答案】A【解析】 连接 CO,CF, . Z A= 119° ,/.ZBFC = 61o ,. / BOC = 122° , .Z COP =58° -CP 与圆相切于点 C,. .OC±CP/.在 RtAOCP 中,/P = 90° -Z COP =32°，故选 A.、填空题16. （2019 嘉兴）如图，已知。O上三点A B, C,半径。母1, /ABC 30。，切线PA交O须长线于点P,则PA的长为（）【解析】连接 OA,因为

15、/ ABC=30 ,所以/ AOC=60 ,又因为PA为切线，所以/ OAP=90 ,因为OC=1 ,所以 PA= J3.17. （2019 杭州）如图，P为。外一点，PA PB分别切。于A、B两点，若PA=3,则PB=（ ）A. 2B.3C.4D.5【答案】BPA=PB=3,故选 B.【解析】 因为PA和PB与。O相切，根据切线长定理，可知:18.（2019 烟台）如图，AB是1O的直径，直线DE与0相切于点C,过点A, B分别作AD _L DE ,BE _LDE ,垂足为点D, E,连接AC, BC.若AD = J3, CE = 3 ,则AC的长为（）.亚 B.0式 C,鼠 D,空3323

16、【答案】D【解题过程】连接 OC,因为 AD _L DE , BE _L DE , 所以. ADC ="EB =90所以 DAC ACD =90因为AB是。的直径,所以 NACB =90%所以 NBCE +NACD =90°,所以 ZBCE =/DAC ,在 ADC 与 CED,因为/ADC =/CEB=90*, /BCE =/DAC所以 ADCA CED,BC CE3所以=_ = . 3AC AD. 3BC 二在 RtACB 中，sin/BAC=BAC所以 NBAC =60°,又因为OA =OC ,所以 AOC是等边三角形,所以 /ACO =60°,因

17、为直线DE与O相切于点C,所以 OC _L DE ,因为 AD 1 DE , OC _L DE ,所以 AD/OC ,所以 NDAC =/ACO =60°,所以 NACD =90*NDAC =30©,所以 AC =2AD =2j3 ,所以 AOC是等边三角形，所以 OA=AC=273,2AOC=60。60 二 2 3 2 3所以AC的长为-=Tt1803B19.（2019娄底）如图（9）,C、D两点在以 AB为直径的圆上，AB =2, Z ACD =30°，则AD =【解析】如图，图91,连结AD,.由AB为。的直径， ./ ADB =90° ,又在。O

18、 中有/ ACD = 30° , ./ B=Z ACD = 30° ,图(9-1)11AD =AB= 父2=1. 2220. （2019 衡阳）已知圆的半径是 6,则圆内接正三角形的边长是【答案】6 3【解析】如图，作 ODLBC 于 D, . OB = 6, /OBD = 30,，BD = ，BC = 6 43,故答案为6J3.21. （2019 安徽）如图， ABC 内接于。O, / CAB=30 ° , / CBA=45 ° , CDXAB 于点 D,若。 半径为2,则CD的长为.【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的

19、性质，正确的作出辅助线是解题的关键.连接 CO并延长交。O于巳连接BE,于是得到/ E=ZA=30° , / EBC=90 ° ,解直角三角 形即可得到结论.连接 CO并延长交。O于E,连接BE,则/E=/A=30° , / EBC=90 ° , =。O 的半径为 2, .CE=4, z. BC= 1 CE=2 , / CD ± AB , Z CBA=45 2_2 一一 CD= 2L_bC= 72 ,故答案为 短.22. （2019 株洲）如图所示，AB为。O的直径，点C在。O上，且 OC, AB ,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足/

20、AEC=65°,连接AD ,则/ BAD =度.第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO因为COL AB,所以/ COB=90 , = / AEC= 65° ,/ C=25° , OD=OC/. Z ODC= C=25° , DCO 中，/ DOC=130 , . . / DOB=40 ,. 2/BAD=/ DOB,，/BAD=20 。23. （2019 凉山州） 如图所示，AB是。的直径，弦CDXAB 于 H, / A =30° , CD半径是【答案】2【解析】 连接OC,则OA=OC, . ./A=/ACO=30°

21、, . . / COH =60° , / OBXCD , CD=2 J3 , .1. CH = V3 ,.OH=1,OC=2.24. （2019 泰州）如图,OO的半径为5,点P在O O上，点A在O O内，且AP = 3,过点A作AP的垂线交于。O 点B、C.设PB=x,PC = y，则y与x的函数表达式为 .<)第16题图x【解析】过点O作ODPC于点D连接OP,OC,因为PC = y,由垂径定理可得 DC= 1，因为OP = OC,所以/COD = 1 / POC,由圆周角定理，/ B = 1 / POC,所以/ COD = / B,所以 CODPBA, -PA =史 即2

22、 2CD OC '3 x 30=,整理可得函数表达式为：y = 30 .y 5x225. （2019 嘉兴）如图，在。O中，弦AEB= 1,点C在AB上移动，连结 OC过点C作CDLO效。于点 D,则CD的最大值为.【解析】连接 OD,因为CDXOC,则有CD= VoD2 -OC2 ,根据题意可知圆半径一定，故当 OC最小时则有 CD最大，故当 OCLAB时CD=BC= 1最大.2A、B、C、D、E 在。O 上，且弧 AB 为 50°,则/ E+Z C =【答案】155【解析】 如图，连结 OA、OB、AE,由弧AB为50°可知，/ AOB=50° ,又/

23、 AOB和/ AEB分别为弧 AB1所对的圆心角和圆周角，故 /AEB = /AOB ,即/ AEB=25 ,又四边形 AEDC 2是 O 的内接四边形，所以/ ACD + /AED=180° ,又/ AEB=25° ,可得 / ACD + / BED =180° -25 =155° .三、解答题27. (2019浙江省温州市，22, 10分)(本题满分10分)如图，在 ABC中，/BAC=90，点E在BC边上，且CA=CE过A, C, E三点的。交AB于另一点F, 作直径AD连结DE并延长交AB于点G连结CD CF.(1)求证：四边形 DCF端平行四边

24、形；(2)当BE=4, CD=3AB时，求。O的直径长.8【解题过程】(1)连接AE. / BAC=90 ,CF是。的直径. AC=EC, CF± AE.AD为。的直径， . / AED=90 ,即 GDI AE, . CF/ DG. . AD 为。的直径， ./ ACD=90 , . ACD吆 BAC=180 , z. AB/ CD .四边形 DCF助平行四边形;,3 一、一(2)由 CD=AB,可设 CD=3x,AB=8x, . CD=FG=3x.8 / AOF= COD 1- AF=CD=3x，BG=8x-3x-3x=2x. GE / CF, . BG曰 CDEBEEGBGGF

25、又 BE=4, AC=CE=6 BC=6+4=1QAB=V 102-62 =8=8x, /. x=1.在 RtACF中，AF=3, AC=6 z. CF=32+62 =375 ,即。O的直径长为 375 .28. (2019年浙江省绍兴市，第 21题，10分)在屏幕上有如下内容：如图，4ABC内接于圆O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点 D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答 0(1)在屏幕内容中添加条件/D=30 ,求AD的长，请你解答.(2)以下是小明，小聪的对话：参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线、添字母)小噌的仲E小典母过仔T牛I an【解

26、题过程】二*i 就,1ttf CByiixn康度K - .神崎制H 瑞燃小层*口 T靖建屋二"" W第 孔心州匚仁 p_ 妻 I 可x 4 尸口 & 甘口 - r. Pl) I h >29. (2019江苏盐城卷，24, 10)如图，在 RtABC中，/ ACB=90°, CD是斜边 AB上的中线，以 CD为 直径的。O分别交AC、BC于点 M、N,过点N作NEXAB,垂足为E.第Xm国(1)若03的半径为*,AC=6f求的长三(2)求证：NE与。相切.:4C»=9T, C0号狞边上前甲线，.布=28=103D =CD=5:KE,在幽鼻四汛

27、-AC1 =8；'CD力而4，上DWtFy. L¥为於甲点（等修三曲把三续告一又BD-CD, 4=0QC=ON，/占二£2 LW也出 .1AE1.4S 'NO1NE;正与金祚切30. （2019 山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler ）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在 ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,0和I分别为其外心和内心，则OI2=R2- 2Rr.如图1,。和I分别是 ABC的外接圆和内切圆,I与AB相切于点F,设 。的半径为R

28、, I的半径为 r,外心O （三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I （三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OI = d,则有2 _2d =R - 2Rr.下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交。于点D,过点I作 O的直径MN,连接DM,AN. 一/ D = /N,/DMI =/ NAI （同弧所对的圆周角相等），IM ID . MDIsani. .=.-. IA?ID IM ?IN .IA IN如图2,在图1 （隐去 MD,AN ）的基础上作 O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF. DE 是 。的直径， ./ DBE = 90° . ; I 与 AB 相切于点 F,.Z

29、AFI =90° , . . / DBE = / IFA. / BAD =Z E （同弧所对的圆周角相等）".AIFs EDB.IA IF =. IA?BD DE?IF .DE BD任务：（1）观察发现：IM = R+r,IN = （用含R,d的代数式表示）（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；（3）请观察式子和式子 ，并利用任务（1） , （2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余 部分；（4）应用：若 ABC的外接圆的半径为 5cm,内切圆的半径为 2cm,则 ABC的外心与内心之间的距离为cm第21题图【思路分析】（1） MN是直径，根据内切圆与外

30、接圆半径与它的关系得到IN的代数式（2）由内切圆是三角形三条角平分线的交点，转化相等的角，再利用同弧所对的圆周角相等转化角，最后得到/ BID=/DBI,利用等角对等边得证（3）由材料得到的结论及任务（1） （2）等量代换得线段等积式，从而得证结论（4）根据 结论直接应用求解.【解题过程】（1） IN =R-d;（2） BD = ID.理由如下：.点 I 是4ABC 的内心， ./ BAD =/ CAD, / CBI = /ABI, / DBC = / CAD, / BID = / BAD+ / ABI, / DBI = / DBC+ / CBI,/ BID = / DBI,BD = ID;（

31、3）由（2 ）知:BD = ID, IA?ID DE?IF，又 I A? I D IW I N DE ?IF IM ?IN ,，2.2222R?r (R + d)?(R d), R - d =2Rr,. d =R - 2Rr；2 = 5 ,d>0,d = J531. （2019 天津）如图，在每个小正方形的边长为方形边的中点，/ ABC=50 , / BAC=30 ,经过点（1）线段AB的长等于;1的网格中， ABC的顶点A在格点上，B是小正 A,B的圆的圆心在边 AC上，（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P,使其满足/ PAC= / PBC= / PCB,并简(4)

32、由 d2 = R2-2Rr得d2 = R2-2Rr=52-2仓B要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）Vr【答案】（1） ； （2）如图，取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心 O; AB与网格线相交于点D,连接DO并延长，交 O于点Q,连接QC并延长，与点 B,O的连线BO相交于点P,连接 AP,贝U点 P 满足/ PAC= / PBC= / PCB【解析】（1）如图，RtABD中，AD=2 , BD=1,由勾股定理可得 AB=2（2）由于点A在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC上，所以取圆与网格线的交点 E,F连接EF与AC相交，

33、得圆心 O; AB与网格线相交于点 D,则点 D为AB的中点，连接DO并延长，根据垂径定理可得则 DO垂直平分AB，连接BO ,则/ OAB= / OBA=30° ,因为/ ABC=50 ,所以/ OBC=20 , DO的延长线交二'O于点Q,连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P,连接AP,则点P满足/ PAC= / PBC= / PCB.32. （2019 湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数为15。，则它所对的圆心角的度数是 .【答案】30° .【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案为 30°

34、; .4.（2019 台州）如图,AC是圆内接四边形 ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接 AE,若/ ABC =64°，则/ BAE的度数为 .【答案】520【解析】二.圆内接四边形 ABCD,B+/D=180° ,/ B=64° ,. / D= 116° ,又二.点D关于AC的对 称点是点 E, . D = /AEC =116°，又. / AEC = / B+/BAE, ./ BAE =52° .533. (2019 苏州，26, 12)如图，AB为。的直径，C为。上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD

35、 分别交于点 E、F. (1)求证：DO/AC; (2)求证：DE?DA=DC2； (3)若 tan/CAD=【，求 sin2/ CDA的值.第26题图【解题过程】 解：(1)二点D是BC中点，OD是圆的半径，ODBC, AB是圆的直径，ACB= 90° , AC / OD;(2) CD =BD,CAD = /DCB,DCEA DCA, . CD2= DE?DA;(3) .tan/CAD =1, DCE 和 DAC 的相似比为。，设：DE = a，则 CD = 2a, AD = 4a, AE =223a,(4) - =3,即AEC 和ADEF 的相似比为 3,设 EF=k,则 CE

36、= 3k, BC=8k, tanZ CAD =- ,ACDE23=6k, AB = 10k, . sin/CDA =5 .34. (2019安徽，19题号，10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 AB的长为6米，/OAB=41.3 ° .若点C为运行轨道的最高点(C, O的连线垂直于 AB ).求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据：sin41.3° =0.66, cos41.3° =0.75 , tan

37、41.3° 0.88)图1【解题过程】解：连接图2CO并延长，交AB于点D,所以CDXAB,所以D为AB中点，所求运行轨道的最高点 C到弦AB所在直线的距离即为线段 CD的长.在 RtAAOD 中，= AD= 1AB=3 , / OAD=41.32OD=AD - tan41.3° = 3X 0.88=2.64, OA=AD 3 0=4cos41.300.7510分CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64.答：运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为 6.64米.35.(2019 宁波)如图1, O经过等边三角形 ABC的顶点A,C(圆心O在 ABC内),分别与

38、 AB,CB的延长 线交于点D,E,连接DE,BF，EC交AE于点F.(1)求证:BD =BE;(2)当 AF:EF = 3:2,AC = 6 时，求 AE 的长；AF(3)设 = x,tan/DAE =y. EF求y关于x的函数表达式；7?如图2,连接OF,OB,若4AEC的面积是 OFB面积的10倍，求y的值.解： . ABC 为等边三角形，/BAC =/C = 60°，/DEB = / BAC =60°，/D = /C=60°，/DEB = / D,BD =BE.=震/.的面积=上誉4-2寸上的的面积=EC AG2. OFB的面积是 AEC的面积的10 倍，

39、110 -2V3ax(a +2ax ), 2x2 7x+6 = 0,解之，得 x1 = 2,x?(2)如图，过点A作AG，EC于点G ABC为等边三角形，AC = 6,BG = g BC1“一 一一=-AC = 3,在 Rt ABG 中,AG =召 BG = 343，; BF ± EC,. BF / AG,2”=BG,AF:EF = 3:2,，BE= 2 BG = 2,，EG= BE+BG =3+2=5,.,.在 RtAEF EB3AEG 中,AE = Jag2 + EG2 = 2厢;EH如图，过点E作EHXAD于点H/- Z EBD = / ABC = 60，在RtABEH中，EB

40、=sin60 = EH = BE BH = - BE = x,BG = xBE,AB = BC = 2BG =2 '2'2' EB EF2xBE,AH = AB+BH = 2xBE+ 1 BE = (2x+ 1 )BE,Rt AHE 中，tanEAD =3 BE 厂EH _2_3AH -1 cl 4x 12x BE2如图，过点 O 作 OMEC 于点 M,设 BE = a, / BG ="=x, . . CG = BG = xBE = ax, . . EC = CG+BG+BE =EB EFa+2ax, EM = 1 EC = 1 a+ax,BM = EM B

41、E = ax 1 a,BF / AG, EBF 222“EGA,，BF BE_ a _ 1.，ag=V3 BG = V3 ax, /. BF = - AGAG EG a ax 1 x1 x_ 333=2万或三.36. （2019 自贡）如图， 。0中，弦AB与CD相交于点 E, AB=CD,连接 AD、BC,求证：(1); (2) AE=CE.解：(1)连接 AO, BO, CO, DO, AB=CD, . AOB = /COD, . / AOD =/BOC ,(2) AE=CE .,AD=BC, 1.,ADC = ZABC,又/ AED = /CEB, /. ADEACBE,37. (201

42、9 攀枝花)在平面直角坐标系 xOy中，已知A (0, 2),动点P在y= J x的图象上运动(不 3与O重合)，连接AP,过点P作PQXAP,交x轴于点Q,连接AQ。(1)求线段AP长度的取值范围；(2)试问：点P运动过程中，/ QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。(3)当 4PQ为等腰三角形时，求点 Q的坐标.解：(1)作 AHXOP,则 AP /H.3.点 p 在 y=_.x 的图象上， ./ HOQ = 30 , /HOA = 60 . A (0, 2) , AH=AOsin60=百.A AP> .(2) / QAP是定值.法一：(共圆法)当点P在第一象限的

43、线段 OH的延长线上时，由/ QPA = /QOA=90°,可得/ APQ + Z AOQ = 180°,P、Q、O、A四点共圆 ./ PAQ = Z POQ=30°.当点P在第一象限的线段OH上时，由/ QPA = /QOA=90°,可得P、O、Q、A四点共圆.Z PAQ + Z POQ=180° ,又. / POQ = 150°, ./ PAQ = 180°-Z POQ = 30°.当点P在第三象限时，特殊角的三角函数值；由/ QPA = /QOA=90°,可得Q、P、O、A四点共圆 ./ PAQ =

44、 Z POQ=30°.法二：(相似法)当点P在第三象限时，由 / QPA = /QOA=90°,可得BPQsBOA.PB QB _一- = AQBA APBO.OB AB ./ PAQ = Z POQ=30°,当点P在第一象限且点 B在AP延长线上时，由/ QPA = /QOA=90°,可得/ BPQ = Z BOA= 90°, ABPQs ABOA.BPBQBOBAABPO ABQA ./ PAQ = / POB = 30°.当点P在第一象限且点 B在PA延长线上时，由/ QPA = /QOA=90°,可得/ BPQ =

45、Z BOA= 90°, ABPQs ABOA.BPBQBOBA. BPOsABQA. Z PAQ = Z POQ = 30°.(3)设 P (m,亨 m), Q (a, 0),.oa2+oq2= ap2+pq222+ a2= m2+( m-2)2 + (a m) 2 + (虫m)23e /口 4m-2 3整理，得a，Q(4m,0).3OP2= m23，OQ2= m2916 一3 m+9PQ2= 4 m29当 OP=OQ 时，则 4 m2= 16m2- 16 73m+ 4整理，得 m24 J3m + 3=0,解得 m=2 J3 ±3.Qi (2 73+ 4,0),

46、Q2(2 73 -4,0).当 PO= PQ 时，则" m2 =, m2 9 33 m+ 3993整理得：2 m2+点m3=0,解得解得m=1，或m=底.当m= "时，Q点与O重合，舍去，一 m= - 33 .一 &(_ 2 33 ,0).当QO = QP时,16 2贝Um9-竺有m+4 =934m2 9-V3m+-93整理，得 m2 . 3 m= 0.解得m= 32 .3,0）.3综上，当4OPQ为等腰三角形时,点 Q 的坐标为 Q1 （2 6+ 4，0）, Q2（2 点-4，0）, Q3 （- 2 亚0）, Q4 小.38. (2019 济宁)如图，AB是。O的

47、直径，C是。上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，/ CAE=2 ZC, AC与BD交于点H ,与OE交于点F .(1)求证：AE是。的切线；3 一 一.(2)若DH = 9, tanC=,求直径 AB的长.4解：D 是弧 AC 的中点，.-.AD = CD.-.Z DAC = Z C/Z CAE = Z EAD + Z DAO, ZCAE=2ZC, /. Z EAD = /C, - / C=Z B, /B=/EAD, AB 是。的直径，. / ADB = 90°,/ DAB + / B = 90°,/EAD + /DAB = 90°, ./EAO = 90°, .AE 是。的切线；DH393在 AADH 中/ ADH = 90 , DH =9, /DAH = /C, /. tanZ DAH =-AD=12 在AD 4 ' BD 4 ''一 3., _ AD 3BAD 中/ ADB = 90 , AD = 12, . tan/ B= tan/ C= , - tan/ B = = , . BD = 16, ./ A