重积分应用06

1、7 .424 2域的体积和三个坐标平面所围区平面求抛物柱面yx,xz21 求半径为R的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积。 .222222所围立体的体积和求圆柱面azxayx4569所围体积.与圆锥面旋转抛物面轉yxazaazyx)( 的公共部分的体积)所围成( 与球面 求球面022222222babzyxazzyx10 曲面面积所围成的体积。 抛物柱面 求椭圆抛物面 xzz,yx 222138所围成的体积。 0)( 与圆柱面 z求球面222222aaxyxayx30所围成的体积。 )与平面圆柱面, 求双曲抛物面zaax yxaxyz0(22 所围立体的体积. 1 及平面 抛物柱面,

2、求由旋转抛物面yxyzyx212713面积。所围成的全表 与旋转抛物面 半球面az yxyxaz232222214 222222所截的有限部分的面积 被圆锥面 求圆柱面xzyzzy11所割下部分的曲面面积 被圆柱面锥面 2 2222xyxyxz15 求位于圆r=2sin和圆r=4sin之间的均匀薄片的重心 17的重心 所围立体 0 与平面 1求由抛物面22zyxz 的重心 0 , : 求均匀半球体zazyx2222所割出部分的面积。，求一柱面被另一柱面直交，圆柱的底半径为两相同正圆柱的轴互相a1216.2222)( RRzyx Rr=2R cos .rrVRdsinddcos202 020 .

3、 )(R43cos13 4 MRrVcos20: 20 0rz 0 xy M = 1.1.求半径为求半径为R的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积的内接锥面所围成的立体的体积Dxy: x = 0 , y = 0 , 2x + y = 4。20 z zyxVddd直角坐标直角坐标 xyDxzyxVddd。 xyxxd)(d340 40y xDxy先选系先选系 是是曲曲顶顶柱柱体体 积积。和和三三个个坐坐标标平平面面所所围围体体平平面面求求抛抛物物柱柱面面 yx,xz 2.2.上顶：上顶：下底：下底：24xz 2.2.42 xz 积积。和和三三个个坐坐标标平平面面所所围围体

4、体平平面面求求抛抛物物柱柱面面 yx,xz .0z yx2.2.42 xz 2x+y=4 积积。和和三三个个坐坐标标平平面面所所围围体体平平面面求求抛抛物物柱柱面面 yx,xz .0z yx2.2.x = 04422x+y=4 xz 积积。和和三三个个坐坐标标平平面面所所围围体体平平面面求求抛抛物物柱柱面面 yx,xz .0z yx2.2.z = 0y = 0z=0y =0 x = 04422x+y=4 240dddxDzyx.D xyxxd)(dV =340 . xz 积积。和和三三个个坐坐标标平平面面所所围围体体平平面面求求抛抛物物柱柱面面 yx,xz .0z yxDxy:a22raz 柱

5、面坐标柱面坐标r =a cos 22raz cosar 。所围立体是曲顶柱体所围立体是曲顶柱体Dxy0y x(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyx先选系先选系3.3.上顶：上顶：下底：下底：Dxy:。a22raz r =a cos 0y x 2033d)sin1(34 a a)943(2 3 dd420cos 022 arrra cosar 。所围立体是曲顶柱体所围立体是曲顶柱体 V(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxaz

6、yx：上上顶顶：下底下底22raz D用用瓦里斯公式瓦里斯公式怎么计算？怎么计算？柱面坐标柱面坐标先选系先选系 dd rrraD.3.3.(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyx 2222azyx zxyo.3.3.(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyxa 2222azyx 22axyx .3.3.xyoz(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aa

7、xyxazyxz = 0axyzo 柱柱坐坐标标。V 2033d)sin1(34 a a)943(2 3 rrraDdd 422 22raz 。 cosar 。 dd420cos 022 arrra。D 1.3.3.aaxz y04.所围立体的体积。所围立体的体积。 和和求圆柱面求圆柱面 azxayx Dy = 0 x = 0 DyxxaVdd3316a 22xaZ 22xay xayxad axdaaaaxoyD.xz y0.4.所围立体的体积。所围立体的体积。 和和求圆柱面求圆柱面 azxayx ozxyaxyz axyx 22 , 2所所围围成成的的体体积积与与平平面面圆圆柱柱面面求求双

8、双曲曲抛抛物物面面 z)a(axyxaxyz5.5.az =0axyz axyx 22ozxy , 2所所围围成成的的体体积积与与平平面面圆圆柱柱面面求求双双曲曲抛抛物物面面 z)a(axyxaxyz.5.5. , 2所所围围成成的的体体积积与与平平面面圆圆柱柱面面求求双双曲曲抛抛物物面面 z)a(axyxaxyzaz =0axyx 221 . zyxVddd. Dyxaxydd123a .，轴对称轴对称关于关于xDxy)()( y,xzy,xz 且且.ozxyD0y x.5.5.a2a2a0 xz yaraz 2azr 2.L)( aazyx 求求曲曲面面 所围体积所围体积 与与 yxaz

9、razzar2 2联立联立柱面坐标柱面坐标用哪种坐标？用哪种坐标？ azarL ：解得交线解得交线6.6.6.6.2a0 xz ya.L razazr2 2联立联立D arzD0 :.raz 2azr 2 DraarzrrV22ddd arrarra0220d)2(d.365a )( aazyx 求求曲曲面面柱面坐标柱面坐标用哪种坐标？用哪种坐标？ azarL ：解得交线解得交线. 所围体积所围体积 与与 yxaz 所所围围立立体体的的体体积积及及平平面面2 21 1 抛抛物物柱柱面面, ,求求由由旋旋转转抛抛物物面面 yxyzyxxz y01 zyx立体关于立体关于xoy平面对称平面对称解解

10、7.7.作上半块作上半块立体图立体图 1 11xz y0 zyx yx2 21 1 立体关于立体关于xoy平面对称平面对称所所围围立立体体的的体体积积及及平平面面2 21 1 抛抛物物柱柱面面, ,求求由由旋旋转转抛抛物物面面 yxyzyx解解7.7.作上半块作上半块立体图立体图 1 1xz y01 zyx yx2 21 1 y =1 1 1立体关于立体关于xoy平面对称平面对称作作上半块上半块立体图立体图 1 1所所围围立立体体的的体体积积及及平平面面2 21 1 抛抛物物柱柱面面, ,求求由由旋旋转转抛抛物物面面 yxyzyx zyxVddd 20ddd2xyDzyx yyxxyydd)(

11、 . . .解解7.7. 所所围围成成的的体体积积抛抛物物柱柱面面 求求椭椭圆圆抛抛物物面面 xz, zyx 1 2xz zyx 223xyzo8. 1 2xz zyx 223xyzo 所所围围成成的的体体积积抛抛物物柱柱面面 求求椭椭圆圆抛抛物物面面 xz, zyx.8. Dxyxzyxddd。 xzzyx ：联联立立 014:22zyxDDD 10220d)1(21drrrV。V Dyxyxdd)(用广义极坐标用广义极坐标 sincos21ryrxrryxdd21dd 。D: r 1, z = 04 。xyzo 所所围围成成的的体体积积抛抛物物柱柱面面 求求椭椭圆圆抛抛物物面面 xz, z

12、yx?.8.0 xz yab的的公公共共部部分分的的体体积积 所所围围成成与与球球面面 求求球球面面 )( 022222222 babzyxazzyx 9.b0 xz ya 问题：问题：2 用哪种坐标系？用哪种坐标系？1 是不是曲顶柱体？是不是曲顶柱体？ rrraarbabbd d22410222220 3 交线交线 L的方程？的方程？交线交线 L.24224abbr .)432(3abb .柱系柱系.9.V =上顶：上顶：下底：下底：22rbz 22raaz 4 Dxy ? Dxy 041:22zabbrDxy.的的公公共共部部分分的的体体积积 所所围围成成与与球球面面 求求球球面面 )(

13、022222222 babzyxazzyx (球系？球系？ 需分块儿需分块儿!)引理引理 1 2 A , 的的夹夹角角为为与与平平面面 Acos .一般情况，将一般情况，将A分割成分割成若干个上述类型的小矩形，若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，对每一个用引理，然后迭加然后迭加再取极限即可。再取极限即可。当当A是矩形是矩形,l证证且一边与且一边与l平行平行则则 也也是矩形是矩形, 且且b|cos|ab 引理成立引理成立.a ：这里：这里 即即 两平面法矢量的夹角两平面法矢量的夹角 证毕证毕10. 10. 曲面的面积曲面的面积|cos|A , 21A 上上的的投投影影为为在在上上的的区区域域

14、则则面面积积10. 10. 曲面的面积曲面的面积xz y0z = f (x,y)Di iS (xi , yi)Pi.10. 10. 曲面的面积曲面的面积xz y0 DyxyxyxfyxfSdd),(),(iiiA cos1z = f (x,y)Di iiAS iniiiyiixyxfyxf ),(),(122.iS (xi , yi) i Ai（由引理）（由引理） 1),(),( iiyiixiyxfyxfnPi.11.11. 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面积积 被被圆圆柱柱面面锥锥面面 xyxyxz xyzo1 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面积积 被被圆圆柱柱面面锥锥面面 xyx

15、yxz 1xyzo1.11.xyzo11D 02 :22zxyxDS DyxQPSdd22 yxxxzP 其中其中22yxyyzQ DyxSdd 2 . 所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面积积 被被圆圆柱柱面面锥锥面面 xyxyxz 11.aaxz y0222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为的的面面积积。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圆圆柱柱的的底底半半径径为为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相a12.12.考虑第一卦限考虑第一卦限12.12.D22xaz aa.xz y0 DyxxaaSdd28a 22xay xayxaad axda

16、axoyD.22221xaazzyx .222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为.的的面面积积。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圆圆柱柱的的底底半半径径为为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相a13.13.a立立体体的的整整个个表表面面积积所所围围成成与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz yxzo13.13.xyzoDS =1S2S 共同的共同的 D : azyxyxaz2322222a2 zayx 即即2S2S2S1S.1S.立立体体的的整整个个表表面面积积所所围围成成与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面

17、2 3 22222azyxyxaz 所所截截的的有有限限部部分分的的面面积积被被圆圆锥锥面面求求圆圆柱柱面面 xzyzzy 2xzy14.14.o14.14.xzy2问题：问题：曲面向哪个坐标面投影？曲面向哪个坐标面投影？. 所所截截的的有有限限部部分分的的面面积积被被圆圆锥锥面面求求圆圆柱柱面面 xzyzzy oxzy2 xzyzzy 联立联立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 22 , 2 :2 zzxDxz. xzDxzzxyySddDxz.14.14. 所所截截的的有有限限部部分分的的面面积积被被圆圆锥锥面面求求圆圆柱柱面面 xzyzzy o22zzy 其中，其中，xzy

18、2DxzxzzzSzzd21 d220222 zzzd16 .zx2 . xzyzzy 联立联立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 222zzy .14.14. 所所截截的的有有限限部部分分的的面面积积被被圆圆锥锥面面求求圆圆柱柱面面 xzyzzy xzDxzzxyySdd2 , 2 :2 zzxDxzozx2 .其中，其中， 0 x Dysyd1rrddsin41 0sin4sin22 37 )37 0( , 故故重重心心为为 )(yx， 设重心为设重心为.xoy1215. 15. 求位于圆求位于圆 r = 2sin 和圆和圆 r = 4sin 之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心 z = 0的的重重心心求求均均匀匀半半球球体体 0 , : zazyxyxzo yx 则则,zyx)，（设重心为设重心为 zyxzVz ddd球面坐标球面坐标a332a V z .a83 . )83, 0 , 0a( ( 故故重重心心为为.用哪种坐标？用哪种坐标？r = a16.16. arrrV