完整版带电粒子在磁场中运动最小面积

1、带电粒子在磁场中运动-最小面积1、如下列图,一带电质点,质量为 m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一 象限所示的区域.为了使该质点能从 x轴上的b点以垂直于 Ox轴的速度v射出,可在适当的地方加一个垂 直于xy平面、磁感应弓虽度为 B的匀强磁场.假设此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计.了2、一质量为溺、带电量为夕的粒子以速度 %从O点沿轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面,粒子飞出磁场区后,从 处穿过X轴,速度方向与 工轴正向夹角为30° ,如图所示(粒子重力忽略不计).试求：(1)圆形磁场区

2、的最小面积；(2)粒子从O点进入磁场区到达 b点所经历的时间;(3) b点的坐标.3、在 和了平面内有许多电子(质量为 朋、电量为1 ),从坐标O不断以相同速率 %沿不同方向射入第一 象限,如下列图.现加一个垂直于 冗少平面向内、磁感强度为 B的匀强磁场,要求这些电子穿过磁场后都 能平行于工轴向x正方向运动,求符合该条件磁场的最小面积.勿.14、如图,ABCD是边长为a的正方形.质量为 m、电荷量为e的电子以大小为 v°的初速度沿纸面垂直于BC边上的任意点入射,都只能从 ABC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从点射出磁场.不计重力,求：(1)此匀强磁场区域中磁感

3、应强度的方向和大小；(2)此匀强磁场区域的最小面积.5、如下列图,直角坐标系 冗少第一象限的区域存在沿 /轴正方向的匀强电场. 现有一质量为 加,电量为.的电子从第一象限的某点 PL , l以初速度%沿工轴的负方向开始运动, 经过x轴上的点QL, 8-840进入第四象限,先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域,磁场左边界和上边界分别与y轴、1轴重合,电子偏转后恰好经过坐标原点q并沿y轴的正方向运动,不计电子的重力.求1电子经过.点的速度V ； 2该匀强磁场的磁感应强度3和磁场的最小面积 £.6、如下列图,在竖直平面内,虚线MQ与水平线PQ相交于0,二者夹角0 =30；在M

4、OP范围内存在竖直向下的匀强电场,电场强度为E, MOQ上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为 B , 0点处在磁场的边界上.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度 v0&v&E/B 垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线 MO时,速度方向均平行于PQ向左.不计 粒子的重力和粒子间的相互作用力,求：1速度最 大的粒子自.点射入磁场至返回水平线 POQ所用的时 问.2磁场区域的最小面积.3根据你以上的计算 可求出粒子射到PQ上的最远点离.的距离,请写出该 距离的大小.7、如下列图,在倾角为 30.的斜面OA的左侧有一竖直挡板,挡板上有一小孔P,现有

5、一质量m=4M10"°kg、电量q =+2乂 10 %C带电粒子,从小孔以速度V0 =3 M 104 m水平射向磁感应强度 B =0.2T、方向垂直于纸平面向里 的一正三角形区域.该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板,且在飞出 磁场区域后能垂直打在斜面OA±,粒子重力不计.求：1粒子在磁场中作圆周运动的半径R;2粒子在磁场中运动的时间t ;3正三角形磁场区域的最小边长L带电粒子在磁场中运动-最小面积近年来在考题中屡次出现求磁场的最小范围问题；或带电粒子在空间运动范围问题,这类题对学生 的平面几何知识与物理知识的综合运用水平要求较高.其难点在于带电粒子的运动轨迹不是

6、完整的圆,其 进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界,运动过程中的临界点(如运动形式的转折 点、轨迹的切点、磁场的边界点等)难以确定.下面以实例进行分析.一、 磁场的边界线为圆形【例题1-1如下列图,一带电质点,质量为 m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点 射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从 x轴上的b点以垂直于 Ox轴的速度v射出,可在适当的 地方加一个垂直于 xy平面、磁感应强度为 B的匀强磁场.假设此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆 形磁场区域的最小半径.重力忽略不计.解：质点在磁场中作半径为R的圆周运动,洛伦兹力提供做向心力：qvB=(Mv2

7、)/R,得 R=(MV)/(qB)根据题意,质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周,这段圆弧“应与入射方向的速度、出射方向的速度相切.过a点作平行于x轴的直线,过b点作平行于y轴的直线,那么与这两直线均相距 R的O'点就是圆周的圆心. 质点在磁场区 口, 域中的轨道就是以 O'为圆心、R为半径的圆(图中虚线圆 点应在所求圆形磁场区域的边界上.在通过M、N两点的不同的圆周中,最小的一个是以 的圆周.所以此题所求的圆形磁场区域的最小半径为：2222 qB)上的圆弧 MN , M点和NOMN连线为直径【例1-2】 一质量为 期、带电量为q的粒子以速度%从o点沿y轴正方向

8、射入磁感强度为B的一圆所求磁场区域如图中实线圆所示.形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面,粒子飞出磁场区后,从 力处穿过工轴,速度方向与X轴正向夹角 为30.,如下列图(粒子重力忽略不计).试求：(1)圆形磁场区的最小面积；(2)粒子从O点进入磁场区到达 b点所经历的时间；(3) b点的坐标.解析：(1)由题可知,粒子不可能直接由o点经半个圆周偏转到b点,其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到6点.可知,其离开磁场时的临界点与o点都在圆周上, 到圆心的距离必相等.如图2,过6点逆着速度4的方向作虚线,与y 轴相交,由于粒子在磁场中偏转的半径一定,且圆心位于 轴上,距O点距离和到虚线上

9、看点垂直距离相 等的.点即为圆周运动的圆心,圆的半径 R二叫二印.2v- V2R _rnvoqBv0 = mR -由R ,得 qB.弦长M为：l =,3R要使圆形磁场区域面积最小,半径应为r_1| _3R_3mv°,的一半,即：222 qB ,面积Smin2 一二r2 23 m v04q2B22粒子运动的圆心角为1200,时间12 二mt = T =3 3qB3湖距离时3叫,故力点的坐标为英 , 0.点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点,注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长.【例1

10、-3在工.平面内有许多电子质量为 明、电量为必,从坐标O不断 以相同速率外沿不同方向射入第一象限,如下列图.现加一个垂直于1cly平面向内、磁感强度为3的匀强磁场,要求这些电子穿过磁场后都能平行于工轴向x正方向运动,求符合该条件磁场的最小面积.解析：电子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供做向心力:2_v0,一 mv0 1-eBv0 =m,半径R=-0是确定的,ReB设磁场区域足够大,作出电子可能的运动轨道如图a所示,由于电子只能向第一象限平面内发射,其中圆O1和圆O2为从圆点射出,经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆.圆圆弧odb就是磁场的上边界.其它 各圆轨迹的圆心所连成的线必为以

11、 点O为圆心,以R为半径的圆弧 O1OmO2.由于要求所有电子均平 行于x轴向右飞出磁场,故由几何 知识知电子的飞出点必为每条可能 轨迹的最高点.可证实,磁场下边 界为一段圆弧,只需将这些圆心连线图中虚线O1O2向上平移一段长度为 R =陌 的距离即图b中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线, eB即为磁场区域的下边界.两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：2012 R、二-2 mv.2s =2二 R -=-422 eB还可根据圆的知识求出磁场的下边界.设某电子的速度V.与x轴夹角为0 ,假设离开磁场速度变为水平方向时,其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为 x, y,从图c中看出

12、, 八即一. x>0, y>0,这是个圆方程,圆心在0, R处,圆的1/4圆弧局部即为磁场区域的下边界.点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围,磁场下边界的处理对学生的数理结合水平和分析水平要求较高.【例题1-4 2021年海南卷,第16题如图,ABCD是边长为a的正方形.质量为 m、电荷量为e的电子以大小为V0的初速度沿纸面垂直于 BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场.不计重力,求:1此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；2此匀强磁场区域的最小面积.解：1设匀强磁场的磁感应强度的大小为

13、Bo令圆弧AEC是自C点垂直于中的运行轨道.电子所受到的磁场的作用力f =eV°B应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外.圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上.依题意,圆心在 A、C连线的中垂线上, 故B点即为圆心,圆半径为 a ,根据牛顿定律有2二 mbBC入射的电子在磁场联立式得8=吗ea2由1中决定的磁感应强度的方向和大小,可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出,且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中.因而,圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界O为了决定该磁场区域的另一边界, 我们来考察射中A点的电子的速度方向与 BA的延长线

14、交角为 日不_ 冗0 一 1 二丁 一A妨设 2的情形.该电子的运动轨迹 qpA如右图所示.图中,圆弧 AP的圆心为O, pq垂直于BC边,由式知,圆弧 AP的半径仍为a,在以D为原点、DC为x轴,ad为y轴的坐标系中,p点的坐标x,y为x=asingy - -a - a -acosu - - a cos亚0 _ 1 £ 一这意味着,在范围2内,p点形成以d为圆心、a为半径的四分之一圆周 AFC ,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界.因此,所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周 AEC和AFC所围成的,其面积为S=2；：a

15、2.1a2=£a21分.第2评分参考：此题10分.第1问4分,至式各1分；得出正确的磁场方向的,再给 问6分,得出“圆弧 AEC是所求磁场区域的一个边界的,给 2分；得出所求磁场区域的另一个边界的, 再给2分；式2分.二、磁场的边界线为矩形【例2】如下列图,直角坐标系见少第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场.现有一质量为例,电量为e的电子从第一象限的某点FL, l以初速度坨沿x8轴的负方向开始运动,经过 1轴上的点0L, 0进入第四象限,4先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域,磁场左边界和上边界分别与 7轴、X轴重合,电子偏转后恰好经过坐标原 点o,并沿y轴的正方向

16、运动,不计电子的重力.求(1)电子经过.点的速度V;0点,可知竖直方向:(2)该匀强磁场的磁感应强度 £和磁场的最小面积S.解析：(1)电子从P点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到S r -34同y It k = - Zj 讣£ 鼻二82,水平方向：4解得 9L .i二&0而F 3,所以电子经过 B点时的速度为:v=2小=%抽6» =巳二也环 3 ,所以0 = 300.3,设V与一方向的夹角为0 ,可知(2)如图,电子以与 工成30.进入第四象限后先沿 W 做匀速直线运动,然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿 了轴向上的速度经过O点.可知圆周运动的

17、圆心0,一定在X轴上,且 .1点到O点的距离与到直线 0必上M点(M点即为磁场的边界点)的垂直距离相等,找出0,点,画出其运动的部分轨迹为弧MNO ,所以磁场的右边界和下边界就确定了.wB =限一-L ? 口 5 =设偏转半径为R ,R ,由图知oq= 4,解得 色上 ,方 向垂直纸面向里.矩形磁场的长度28 ,宽度12点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程,解题思路相似,关键要注意矩形磁场边界确实定.三、磁场的边界线为三角形【例3-1】如下列图,一个质量为 加,带+g电量的粒子在BCM边上的M点以速度V垂直于BC边飞入正三角形 ABC为了使该粒子能在AC边上的N点(C阵C

18、N垂真于AC边飞出ABC可在适当的位置加一个垂直于纸面向里,磁感应强度为B 的匀强磁场.假设此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力.试求：(1)粒子在磁场里运动的轨道半径r及周期T;(2)该粒子在磁场里运动的时间 t;(3)该正三角形区域磁场的最小边长;v 2fmv2 mqBv =m= T = rT =(2)由题意可知,粒子刚进入磁场时应该先向左偏转,不可能直接在磁场中由解析：(1)由R和 v , 得： qB , qB 点,当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时,其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径,如图作出圆O,粒子的运动轨迹为弧GDEF ,圆弧在G点与初速度方向相切,在

19、F点与出射速度相 切.画出三角形 abc,其与圆弧在 D、E两点相切,并与圆O交于F、G两点,此为符合题意的最小磁场区域.由数学知识可知/FOG = 600,所以粒子偏转的圆心角为3000,运动的时5 二mM点作圆周运动到N(3)连接ao并延长与bt交与h点,由图可知OHr ao =2r, 2该正三角形区域磁场的最小边长_ ao oHLac =“0cos302r r cos30°CC0cos301严 qB3qB处在磁场的边界上.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度 v(0&v&E/S)直 于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线 MO时,速度方向均平行于

20、PQ向左.不计粒子 的重力和粒子间的相互作用力,求：(1)速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线 POQ所用的时间.(2)磁场区域的最小面积.(3)根据你以上的计算可求出粒子射到 PQ上的最远点离O的距离,请写出该距离的大小(只 要写出最远距离的最终结果,不要求写出解题过程)3/17.18分解,.口1分;粒子的运动轨迹如下列图,设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为第周期为T,粒子在匀强磁场中运动时间为那么 qBv =mvR1分白n n 掰y即 & 二 一.qB口分2m?qR1分"广；7口分1最大速度匕的粒子自加点水平飞出磁场,出磁场后做匀速运动至.M,设匀速运动的时间为

21、.有与二% tanS1分:过MU后粒子做类平抛运动,设运动的时间为,那么,口再亡 心分；22 ra J又由题知最大速度% ,1分B那么速度最大的粒子自0进入薇场至重回水平线POQ所用的时间£ =£1+&+£? 1分解以上各式得1g生史山L或3 空6乖十27r加3 茄2分Q,；7分:由题知速度大小不同的粒子均要水平通过.射,那么其飞出磁场的位置 均应在.用的连线上,故磁场范围的最小面积是速度最大的粒子在磁场中的 轨迹与CW所围成的面积, 扇形.刊的面积S = g开炉 Z分； .0处的面积为：密85 30%由刈=苴K 适分4又1 分 联立得盟=/一吟江或

22、63;_正事,；2分；< 12 q-ff 3 4 %好34分粒子射到PQ上的最远点高0的距离d=4/ + 1,耽E面【例3-2】如下列图,在倾角为 30.的斜面OA的左侧有一竖直挡板,挡粒子,从小孔以速度Vo =3父104 m4水平射向磁感应强度B=0.2T、方板上有一小孔P,现有一质量m =4M10“°kg、电量q =+2m10,4C带电向垂直于纸平面向里的一正三角形区域. 该粒子在运动过程中始终不碰及 竖直挡板,且在飞出磁场区域后能垂直打在斜面 OA±,粒子重力不计. 求：1粒子在磁场中作圆周运动的半径 R;2粒子在磁场中运动的时间 t ;3正三角形磁场区域的最小

23、边长L解：1带电粒子从b点进入磁场,从c点离开磁场,在磁场中做匀2V.q Bvo = m 速圆周运动,洛伦兹力提供做向心力：R那么粒子在磁场中作圆周运动的mvoqB4 103 1074m2 10,4 0.2= 0.3m(2)粒子在磁场中运动的时间5=T6,而qB5所以 t =5.2 3 1 0 s(3)正三角形磁场区域的最小边长mN 2R Rcos300“00cos30 cos 30=0.99m点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点确实定比较困难,必须将射入速度与从 AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径的特点,结合几何知识才能确定.另外,在计算最小边长时一定要注 意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆.四、带电粒子能到达的空间范围【例4-1 (2004年广东卷)(17分)如图,真空室内存在 匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小 B=0.60T ,磁场内有一块平面感光板 ab,板面与磁场方向平 行,在距ab的距离l = 16cm处