因式分解知识点总结

1、第一讲因式分解一,知识梳理1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解.即：多项式T几个整式的积广,11 .1.例： ax bx x(a b)333因式分解,应注意以下几点.1 .因式分解的对象是多项式；2 .因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3 .分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4 .公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式；5 .结果如有相同因式,应写成哥的形式；6 .题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程.2.因式分解的方法：(1)提公因式法：定义：如果多项式的各项有 公

2、因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这个变形就是提公因式法分解因式.公因式：多项式的各项都含有的相同的因式.公因式可以是一个数字或字母,也可 以是一个单项式或多项式.'系数取各项系数的最大公约数,字母一一取各项都含有的字母指数一一取相同字母的最低次曷3 33 2 34 2 2 例：12a b c -8a b c +6a b c 的公因式是 .解析：从多项式的系数和字母两局部来考虑,系数局局部别是12、-8、6,它们的最大公约数为2；字母局部a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c ,故多项式的公因式是O 322 a b c.提公因式的步骤第

3、一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是 提公因式后剩下的另一个因式.注意：提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简,务必使因式最简.多项式中第一项有负号的,要先提取符号.例 1：把 12a2b -18ab2 24a3b3 分解因式.解析：此题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次哥是 ab,故公因式为6abo解：12a2b -18ab2 -24a3b3 2 2=6ab(2a 3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)+x(4x)分解因式解析：由于4x = _(x4),多项式3(x4)+x(4x)可以变形为3(x 4) x(x 4

4、),我 们可以发现多项式各项都含有公因式(x -4),所以我们可以提取公因式 (x - 4)后,再将多项式写成积的形式.解：3(x -4) x(4 -x)= 3(x -4) -x(x -4)= (3-x)(x-4)例3：把多项式-x2+2x分解因式解：-x2 2x= -(x2 -2x) - -x(x -2)(2)运用公式法定义：把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.a.逆用平方差公式:a2 -b2 =(a - b)(a-b)b逆用完全平方公式：a2 _2ab b2 =(ab)2c.逆用立方和公式：a3 , b3 = (a - b)(a2 - ab

5、 - b2)(拓展)d.逆用立方差公式:a3 -b3 =(a -b)(a2 ab - b2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式.选择使用公式的方法：主要从项数上看,假设多项式是二项式可考虑平方差公式；假设多项式是三项式,可考虑完全平方公式.例1 ：因式分解a - 14a , 49解：a2-14a 49 = (a-7)2例 2：因式分解 a2 - 2a(b c) (b c)2解：a2 2a(b c) (b c)2 = (a b c)2(3)分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 例：把多项式ab -a +b -1分解因式解：ab - a b -1 =

6、 (ab - a) (b1) = a(b_1)(b_1) = (a 1)(b -1)将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式a2 -2ab -1 +b2因式分解解：a2 -2ab -1 b2222= (a2 -2ab b2) -1 =(a b)2 -1 = (a-b 1)(a -b-1)2(4)十字相乘法(形如X +(P+q)x+ Pq_(x+ P)(x+q)形式的多项式,可以考虑运用此种方法)方法：常数项拆成两个因数p和q ,这两数的和 p + q为一次项系数2X (p q)x pq2X (p q)x pq = (x p)(x q)例：分解因式x2 -x - 30补充点详解我们可以

7、将-30分解成px q的形式,使 p+q=-1, p x q=-30,我们就有 p=-6, q=5 或 q=-6,p=5 .q=50所以将多项式 x2+(p+q)x + pq可以分 以分解为(x p)(x q)3.因式分解的一般步骤:2分解因式x 52x 100补充点详解我们可以将100分解成pxq的形式,使 p+q=52, p X q=100,我们就有 p=2, 或 q=2,p=50.所以将多项式 x2 + (p + q)x + pq可解为(x p)(x q)x22x如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法；假设是四项或四项以上的多项式,通常采用分组分解法,最后运用

8、十字相乘法分解因式.因此,可以概括为：“一提、套、“三分组、“四十字.注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否那么就是不完全的因式分解,假设题目没有明确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分解因式的结果,必须是几个 整式的积的形式.例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面确定公因式的方法： 系数一一取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)系一取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次哥.【例1】分解因式：2n 12n , 一 , 15a (ab) 10ab(ba) ( n 为正整数)4a2Hbm -6anbm-( m> n为大于1的自然数)【稳固】分解因式：(xy)2n干_(xz)(x y)2n+2(yx)2n(yz) , n为正整数.【例2】先化简再求值,y (x +y )+(x +y *x -y )-x2,其中x =-2 , y = 1 .222【稳固】求代数式的值：(3x2) (mex.W) +x(2x+1)(2.3x),其中