2002真题及解析

1、2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )设常数a =丄，2则 lim Inn_scn -2na 1n(12a) 一1 y 1 1 交换积分次序：4dy y f (x, y)dx亠dy 2 f (x, y)dx二°y y42 -212 ，三维列向量a = (a,1,1.已知 A 与a线性相关，则04(4)设随机变量X和Y的联合概率分布为-10100.070.180.1510.080.320.20则X2和Y2的协方差cov(X2,Y2) =(5)设总体X的概率密度为f(x；R = e'0,，若X &qu

2、ot;,而X1,X2l(,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数二的矩估计量为 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数f (x)在闭区间a,b上有定义，在开区间(a,b)内可导，则 ()(A) 当 f(a)f(b) <0时，存在 (a,b)，使 f ( ) = 0.(B) 对任何 - (a,b)，有 lim f (x) - f ( ) = 0.(C) 当 f(a)二 f(b)时，存在(a,b)，使 f ( )=0.(D) 存在(a,b)，使 f (b) - f (a) = f

3、( )(b - a).(2)设幕级数v anxn与v bnxn的收敛半径分别为ngng二5与1，则幕级数二 即xn的收敛半33i J b n(A) 5(B)(C)3i(D) 5径为()(3)设A是m n矩阵，B是n m矩阵，则线性方程组AB 0 ()(A)当n m时仅有零解(B)当n m时必有非零解(C)当m n时仅有零解(D)当m n时必有非零解 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A的属于特征值的 彳 T特征向量，则矩阵P AP 属于特征值的特征向量是 ()1t1 T(A) P :-(B) P :-(C) P：(D) P_:(5)设随机变量X和丫都服从标准正态分布，则(

4、)(A) X Y服从正态分布(B) X2 丫2服从2分布(C) X2和丫2都服从2分布(D) X2/Y2服从F分布5分)x u20 0limarctan(1 t)dt du三、(本题满分x0x(1-cosx)7分)求极限四、(本题满分设函数u = f (x, y, z)有连续偏导数，且z- z(x, y)由方程xex yey = zez所确定，求du .五、(本题满分6分)、2xVx设 f (sin x),求f (x)dx.sin x- x六、(本题满分7分)设D1是由抛物线y =2x2和直线x =a,x =2及y =0所围成的平面区域；D?是由抛物2线y = 2x和直线y =0 , x =a

5、所围成的平面区域，其中0 ： a ： 2.(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V ；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V ；(2)问当a为何值时，V1 V2取得最大值？试求此最大值七、(本题满分7分)验证函数y(xf36x x.+ +6!931XX|+创 4-,tll(9!3 !:x < : 满足微分方程°° x3n利用的结果求幕级数的和函数.o(3n)!八、(本题满分6分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x) 0.利用闭区间上连续函数性质，证明存bb在一点匚-a, b，使 & f (x)g(x)dx = f ( ) a g(x)dx .九、(本

6、题满分8分)设齐次线性方程组宓 +bx2 +bx3 + 川 +bxn =0,严 +ax2 +bx3 +川 +bXn =0,|lll III III IIIbx2 bx3 川 axn =0,其中a =0,b =0,n _2，试讨论a, b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解 十、(本题满分8分)设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2，2A=0，已知A的秩r(A)=2(1) 求A的全部特征值(2) 当k为何值时，矩阵 A kE为正定矩阵，其中 E为三阶单位矩阵.、(本题满分8分)假设随机变量U在区间1-2,2 1上服从均匀分布，随机变量丄1,若

7、U - -1丄-1,若U汨X丫 3 卄11,若 U A1；11,若 U A1；试求：(1)X和丫的联合概率分布；(2) D(X Y).十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间E(X)为5小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间丫的分布函数F (y).2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题1(1)【答案】 1 -2a【详解】“ln”里面为“T”型, 通过凑成重要极限形式来求极限,limlnn：n( 1 -2a)啊n 1占n(1 J2a)n(1-2a)11 _

8、2a In 1= lim 1,nY1 2an (12a)_1 1In e 二1 -2a 1 -2a1x(2)【答案】0Ddx x2 f(x,y)dy【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域D1与D2，将它们的并集记为D .1 厂1 丄于是 dyf (x, y)dx +dyf (x, y)dx = " f (x, y)d .4D1 2再将后者根据积分定义化为如下形式，即x从0, y从x x，所以【答案】-1【详解】由于A与线性相关,（两个非零向量线性相关，则对应分量成比例），所以有2a 3 3a 4，得2a 3 = 3a 4, a - -1.12-2WaA« =212

9、12a+3<304X丿1®+4 ,或A二k,（k = O）（两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出a'aa = ka1即2a+ 3=k1，得彳2a+3 = k，得 a = 1.k= 1)® + 43a + 4 = k【答案】-0.02.2 2 2 2【详解】X、丫和X Y都是0-1分布，而0-1分布的期望值恰为取1时的概率p . 由离散型随机变量 X和Y的联合概率分布表可得 X2的可能取值为0和1,且Y2的可能取值也为0和1,且X和Y的边缘分布为PlX =0X0.07 0.18 0.15=0.4； PX =1=0.08 0.32 0.20 = 0

10、.6；PY 二-1 =0.07 0.08=0.15 ； PY =0心0.18 0.32 = 0.5 ；PY “ =0.15 0.20 =0.35 ；故有X 01 Y -1010.40.60.150.50.35PX2 =0,Y2 4 二 Plx =0,Y =0： =0.18,Px2 =0,Y2 =1 =PX =0,Y = -1 PX = 0,Y = 1 =0.07 0.15=0.22,PX2 =1Y2 =01 = P；.X =1Y =0 =0.32,PlX2 =1,Y2 =1； = PlX =1,Y=门 PX =1 Y=1； =0.08 0.20 = 0.28,而边缘分布律：plx2 =0； =

11、 px =0；=0.4, plx2 "；=PX "=0.6,pY2 =0二pY =0亠0.5,pY2 =1 = py = _1 PY =1 =0.15 0.35 = 0.522所以，(X ,Y )的联合分布及其边缘分布为0100. 180. 220. 4010. 320. 280. 600. 500. 501由上表同理可求得 X2Y2的分布律为x2y201p0. 720. 28所以由0-1分布的期望值恰为取 1时的概率p得到：E(X2) =0.5, E(Y2) =0.60,E(X2Y2) = 0.28cov(X2，Y2)E(X2Y2)-E(X2)E(Y2) =0.28-0.

12、6 0.5一0.02（5）【答案】X-1.【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个， 故只需要用样本一阶原点矩（样本均值）来估计总体的一阶原点矩（期望）期望40E(X)xf(x)dx 二xedx "1样本均值1 nXXin i =1用样本均值估计期望有EX 二 X,即1Xi ,n i =11 n _ 解得未知参数二的矩估计量为乡= Xj_i = X_i.n y二、选择题(1)【答案】(B)【详解】方法1:论证法由题设f(x)在开区间(a,b)内可导，所以f(x)在(a,b)内连续,因此，对于(a,b)内的任意一点，必有 limf(x) = f().即

13、有lim f (x f (0 故选(B) 方法2:排除法.(A)的反例：f(x)=x&(a，b，有 f(a)=_ f(b _ fafb 40c-1x = a但f (x)在(a,b)内无零点.(C)与(D)的反例，f(X)二 x x ("，1 f(-1)=f (_)，但 f(x) = 1(当_ X = -1(-1,1)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论故选(B).【答案】(D)【详解】方法1: A是m n矩阵，B是n m矩阵，贝U AB是m阶方阵，因r(AB)空 min(r(A),r(B).当m n时，有r(AB)乞min( r(A), r(B)乞n ：

14、m .(系数矩阵的秩小于未知数的 个数)方程组 AB x=0必有非零解，故应选(D).方法2： B是n m矩阵，当mn时,，则r(B)二n ,(系数矩阵的秩小于未知数的个数 )方程组Bx =0必有非零解，即存在 x0 = 0 ,使得Bx0 =0，两边左乘 A，得ABx0 =0 ,即ABx =0有非零解，故选(D).【答案】(B)【详解】方法1:由题设根据特征值和特征向量的定义，A= : , A是n阶实对称矩阵，T1T故 AT =A 设 P AP 二 B，贝UB 二 PtAtP，T 二 PtAP二 PtA(Pt)，T -1t上式左乘pt ，右乘pT，得titt 1 Tt 1 tt丄 t(P 厂

15、BP =(P 厂P A(P 厂P，即 A = P "BP ,所以A: =(PT 丄 BPT): = :1两边左乘 pt，得 (pT pJ bP)：二得 b(pI)= pt：1 t根据特征值和特征向量的定义，知B=(P AP)的对应于特征值的特征向量为PT:，即应选(B).方法2:逐个验算(A) , (B) , (C), (D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，A, - , A是n阶实对称矩阵，故 AT -A .设P JAP 丁属于特征值的特征向量为，即 PApT ，其中 PAAP7 = PTATPJT = PTAPY对(A)，即令 = pJ-，代入 ptapjT(pj

16、： PJ：对(B), PtAP”(Pt： ) =PTA(P耳PT)；: =PtA(Pt)Pt)；: =pta：(pt：)成立.故应选(B).【答案】C【分析】(i) 2变量的典型模式是：2 = X； X； |1| X：，其中Xi要求满足：Xi相互独立，Xi L N(0,1) 称2为参数为n的2变量.(ii) F变量的典型模式是：F，其中X,Y要求满足：X与Y相互独立，Y/n2xL 2(口),丫2(匕)，称F为参数为的F变量.【详解】方法1根据题设条件， X和Y均服从N(0,1).故X2和Y2都服从 2(1)分布，答案应选(C).方法2：题设条件只有 X和Y服从N(0,1)，没有X与Y的相互独立

17、条件.因此，X2与Y2的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确.题中条件既没有 X与Y独立，也没有(X,Y)正态，这样就不能推出 X Y服从正态分布的选项(A) 根据排除法，正确选项必为(C).三【详解】x u2x u20 ,0 arctan(1 t)dt du00 arctanlim等 lim -(1 t)dt du洛limx_0x2o arctan(1 t)dt2arctan(1 x ) 2x 洛limx )03xxJ x(1 - cosx)x p四【详解】方法1:用一阶微分形式不变性求全微分.du = £ dx f2 dy f3 dz二z(x, y)由xex - yey =

18、zez所确定，两边求全微分，有xyzxyzd (xe - ye ) = d (ze )二 d (xe ) _ d (ye ) = d (ze )= xexdx exdx - yeydy -eydy 二 zezdz ezdz，解出dzxgJy Ddy,(设z +o).ez(z 1)所以durdx f2dy f3 ex(x U 1)dyez(z 1)f3铝取Fey(y ez(z方法2:出ex"f3兰出ex cy(根据多元函数偏导数的链式法则 )F面通过隐函数求导得到ex工.由yxex - yey = zez两边对x求偏导数，有x xz z zxe e (ze e),ex-X m X得二二

19、xez ez ,(设z 1 = 0).类似可得,x ze ey . yz_匹厂弓，代入二zez ez:x表达式-X丄 Xxe e、 f1f3 ( zz),zxze e-：u：:uy"f3 (y . yye e )z z )， ze e口0再代入du - dxU dy中，得汝cydu =ez/W©(yT)dy.ez(z 1)五【详解】首先要从f (sin2 x)求出f (x).sin x命 u =sin2 x，则有 sin x = JU , x = arcsin JU，于是 f (u) = arcs亦 .(通过换元求出函数的表达式)f(x)dx =衣超ntrcsin、xx,a

20、rcs in 仮,dxdx|l - j - x arcsin六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线】：y = f (x)(a _ x_ b), f(x)_0 与直线= 一 2sintcostdt(换元积分法) ' cost=? tsintdt = 2 -tcost sint I C (分部积分法)=2b 2x =a, x = b及x轴围成平面图形绕 x轴旋转一周产生旋转体的体积Vf (x) dx .a224応【详解】(1) % =和(2x2 )dx = (32-a由收敛半径的求法知收敛半径为：，故由幕级数在收敛区间上逐项可导公式得)a5V2 Fa2|j2a2 - :2a224x dy

21、 =二 a 0 ： a ： 2 .04兀54(2) V -V1 V2(32 -a5)二 a七【解】(1) y(xT釘話川(3哄1 L話，5根据一元函数最值的求法要求驻点，令二 4二 a693 n二3 n(1 -a)=0,dapl /pl /得a =1 当0 ： a ： 1时0，当1 ： a ： 2时：0，因此a= 1是V的唯一极值点且dada是极大值点，所以是 V的最大值点， maxV =5129 二同理得从而-3 ny(x)=d ' 品)na (3n)!x3ny 鳥(3y (x) y (x) y(x)odn z!3n J£°3nxn 丄(3n ”:x3n-ix_

22、n 4 (3n - 1)!oO= (nj(3 n-2)!3n_2 x:x3n）匚时:x3n)f=1八1 （由ex的麦克劳林展开式） n 4 n!°° x3n这说明，y（x） 是微分方程讨讨讨二e的解，并且满足初始条件n± （3n）!y(0)" ' 和n =1 (3n)!oO=1，y (0)八nA(3n -1)!-0.（2）微分方程 目 y y = e对应的齐次线性方程为y ' y ' y = 0，其特征方程为2 ：；汕1 = 0，其特征根为2 2所以其通解为X-3 -cosGe另外，该非齐次方程的特解形式为y二ce ,代入原非齐次

23、方程得 ce ce ce = e ,1所以cj.故微分方程-3-21 - 3+-32ns2-ex32G cox C2sin- x e -C1sin- x -C2 cosx2 2 2 2 2e2(C22G -)sin 乜x1 e(G2C2 乜)cos-x ex2 22223由初始条件y(0) =1,y (0) =0 得解得4° J3J31 011 =e 2G cosl 汉0+C2sin :<0+ e =C1 +22331 _oJ3J31-0 e 2(C2 -2G)sin 0 e 2(G -2C22 2223 123iC1 宁1*戶2宁0于是得到惟一的一组解：2G,C2二0.从而得

24、到满足微分方程 、 y y二ex及初始3条件y(0) =1,y(0) =0的解，只有一个，为2 舟 .31 xy e 2 cos x e3 23唱x3n另一方面，由已知y(x)也是微分方程y y，y = e及初始条件心(3n)!y(0) =1,y(0) =0的解，由微分方程解的唯一性，知O0ix3n(3n)!=-ecos三 X23:x-：-).八【详解】方法1:因为f (x)与g(x)在la,b 1上连续，所以存在 x1 x2使得f (xj = M = max f (x)， f (x2) = m = min f (x)，x 爭 a,bx 爭 a,b满足m乞f(x)乞M .又g(x)0 ,故根据

25、不等式的性质mg(x)乞 f(x)g(x) Mg(x)根据定积分的不等式性质有bbbmf g(x)dx 兰 J f(x)g(x)dx 兰M f g(x)dx,aaab(f(x)g(x)dx所以 m岂旦齐M.ag(x)dxabba g(X)dX由连续函数的介值定理知，存在 a,b，使f( a f(x)g(x)dx即有存在，且bbL f (x)g(x)dx = f (O Ja g(x)dx 方法2：因为f(x)与g(x)在la,b 1上连续，且g(x) .0，故bbf f (x)g(x)cx 与g(x)dx 都aabg(x)dx 0.qp H f £于是fabf(x)g(x)dx记h,g

26、(x)dxaba b(x)g(x)dx = h & g(x)dx 二 a hg(x)dx,即ba (f (x) -h)g(x)dx =0因此必存在一 (a,b)使f)二h 不然，则在(a,b)内由连续函数的零点定理知要么bf(x)-h恒为正，从而根据积分的基本性质得.(f (x)-h)g(x)dx 0 ;要么f(x)-hTabb恒为负，同理得 (f (x)-h)g(x)dx ： 0，均与 (f (x)-h)g(x)dx = 0不符.由此推"a*a知存在(a,b)使f)=h，从而b. ba f (x)g(x)dx = f ( ) g(x)dx 九【详解】方法1：对系数矩阵记为

27、A作初等行变换abb川b、2行 J行abbHIb、3行 4行bab川bb -aa-b0III0n行4行A =b+b+a+川b1Tb -a0na-bIII0r+lb1b+b4III ajlb ad00IIIra b当a二b(= 0)时，r A =1, AX =0的同解方程组为 捲 x?，丨1( x 0 ,基础解 系中含有n-1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取 X2,X3，xn为自 由未 知量，分别取x2= 1,x3= 0,.,xn=0 ,x2= 0, x3 = 1，Xn= 0 ,X2 =0, X3 =0，Xn =1得方程组n-1个线性无关的解1 - |-1,1,0, |&qu

28、ot;0，2 - 丨-1,0,1,0,川,0川1, n1,011,0,1,方法为基础解系，方程组AX =0的全部解为X = k1 r k 2k(i =1,2,|(n -1)是任意常数.abbb、2 行/( a_b)3行 /( a_b)a-aa b00n行 /( a_b)-1-a0a b0T-1+I-a卜0卜0出a _b丿+-1a +(n -1)b00III 0、-110III 0-101III 0*+-1F0卜0+III 1A >0bbbb101行_2行b1行_3行b1行行bT当 a=b 且 a = -( n- 1)b 时，A =a (n- 1)b - 0 , r(A)当a=(n- 1)

29、b时，r A二n- 1,AX =0的同解方程组是-X1X2_ X1X3-X1Xn=0,二 0,二 0,基础解系中含有1个线性无关的解向量，取 x1为自由未知量,非零解二1,1川,1 T ,即其基础解系，故方程组的全部解为X =k ，其中k是任意常数.2:方程组的系数行列式把第2, , n列'加到第例a (n-1)ba (n -1)ba (n-1)ba (n-1)bIH川川b'00二 n, AX=0仅有零解.Xi=1 ,川IHIHIII得方程组1个提取第1列的公因子a - (n -1)bIH川川IH第2行-第1行第3行一第1行a (1)bba -b0b0a-bIHIHIHIH二a

30、 (n -1)b(a -b)nJL(1)当a = b且a -(n1)b时，A=0 , r(A)二n方程组只有零解.当a =b( = 0)时,IIIIIIIIIal第2行-第1行a第3亍-第1行lhininal00第1行沃ininin110IHinin方程组的同解方程组为为X2|l(Xn =0基础解系中含有n -1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取X2,X3，Xn 为自由未知量，分别取 X2 =1,X 0,., Xn =0 , X? = 0, X3 = 1，X. = 0 ,X2 =0,X3 7,Xn -1得方程组n-1个线性无关的解1 - 1-1,1,0,川0 1T, 2 -

31、丨-1,0,1,0,川,0川1, n一 1,0I|,0,1T ,为基础解系，方程组AX =0的全部解为X = k1 < k 2 2山 k；_ ,其中 k(i =1,2,川n -1)是任意常数.(1)当 a =-(n -1)b(b = 0)时,1- n)bbbb(1 - n)bbbb(1 - n)bIII川川III1,2,n行1分别1T1 -n1111 -n1111 -nIIIininIII(1-n )b/1 n2行-1行3行 -1行IIIIIIIII2,n行1 分别-1 -n111-1010-1HIHIdl1 n丿100n行-1行IIIIII一1丿把第2,.,n行都依次加到第1行0110

32、-1000-1出IIIIII一1丿r A二n -1,其同解方程组是花X3=0,=0,花_Xn基础解系中含有1个线性无关的解向量,取 X1为自由未知量，取得方程组1个非零解 =1,1” 1,1T，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ，其中k是任意常数.十【详解】（1）设是A的任意特征值，:-是A的属于的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有两边左乘A，得2 2 A 二 A：二 '-'+2* 得A2 2A I： “2 2，:因 A2 20-0，从而上式 A2 2A二2 2 = 0 ,所以有2 -0，故A的特征值'的取值范围为0,-2 .因为A是实对称矩阵，所以必相似于

33、对角阵上，且上的主对角线上元素由A的特征值组成，且r(A)二r(_'J =2，故A的特征值中有且只有一个0.n 1(若没有0，则-2,故r(A) =r(N =3与已知矛盾；若有两个0，则A=0-00 故r(A)=r(A)=1与已知矛盾；若三个全为 0，则人=0 ，故r(A)=r(A)=0与已知oj矛盾).故-2AL A =-20即A有特征值打-，2 - -2,匕=0 .(2) A kE是实对称矩阵，A有特征值 ='和2 =-2,乜=0，知A kE的特征值为k -2,k-2,k .因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故k-2>0f>2A kE正定k 2k>0kA。故k 2时A k