《材料力学》扭转习题解

1、第三章扭转习题解习题3-1 一传动轴作匀速转动， 转速n = 200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮 II输入 的功率为60 kW，从动轮，I，山，IV，V依次输出18 kW，12 kW，22 kW和8kW。试 作轴的扭图。解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）Te = 9.55 血n外力偶矩计算（kW换算成kN.m）题目编号轮子编号轮子作用1功率（kW）转速r/mi nTe (kN.m)习题3-1I从动轮182000.859II主动轮602002.865III从动轮122000.573IV从动轮222001.051V从动轮82000.382（2）作扭矩图。用 5950L7S m1 432

2、5A1 2 0055 1m3.5 mLS IDT 图(kN.m)C.3SZ29 / 19m，并作钻杆的扭矩习题3-2 钻探机的功率为l0kW，转速n = 180r/min。钻杆钻入土层的深度I = 40m。 如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度图。资料个人收集整理，勿做商业用途Me =9.549 丛n解：（1）求分布力偶的集度= 9.549x® =0.5305(kN m)180设钻杆轴为x轴,则:Z Mx =0ml=MeM e 0.5305m =l 40= 0.0133(kN /m)（2）作钻杆的扭矩图T(x) = mx =牛X =-0.0133x。x<

3、0,40T(0) =0 ;T(40) = Me = 0.5 305kN m)扭矩图如图所示。习题3-3圆轴的直径d =50mm，转速为120r/min。若该轴横截面上的最大切应力等于 60 MPa，试问所传递的功率为多大？资料个人收集整理，勿做商业用途解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：1 3Wp =血3P 16（2 ）计算扭矩133= 16®4159 倔=24544(mm)2= 60N / mm23T =60N/mm x 24544mm =1472640N mm = 1.473(kN m)（3）计算所传递的功率T = M e =9.549山=1.473(kN -m)nNk =1.

4、473x120/9.549 =18.5(kW)习题3-4空心钢轴的外径 D = 100mm，内径d =50mm。已知间距为I = 2.7m的两横截面的相对扭转角W =1.8°，材料的切变模量 G =80GPa。试求:（1）轴内的最大切应力；（2）当轴以n =80r / min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1 ）计算轴内的最大切应力144I P =_曲（1 -G4） P 32Wp =丄兀 D3（1 -a4） P 16式中，a =d / D 。=右3.14159>：1004 x(1-o.54)=9203877(mm4)。1=天 3.14159X 1003 X (1 - 0.

5、54) = 184078(mm3)GIpT=!Gk.8y14159/18Z80000N/mm2“203877mm4I2700mm= 8563014.45N mm= 8.563(kN m)亠 85空化55=46.518MPa Wp184078mm3（2）当轴以n= 80r / min的速度旋转时，轴所传递的功率T =Me =9.549巴=9.549X 山=8.563(kN m)n80Nk =8.563x80/9.549 =71.74(kW)习题3-5实心圆轴的直径d = 100mm，长I =1m，其两端所受外力偶矩 Me =14kN g，材料的切变模量 G =80GPa。试求：（1）最大切应力及

6、两端面间的相对转角；（2）图示截面上 A、B、C三点处切应力的数值及方向;（3）C点处的切应变。解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角_T_二W_ MeoWp式1 3Wp = 兀 d3p 161=X163.14mm3)。0故:SaxMZn=71.302MPa/p196349mm3GI p式中，I11丄;Id4 =丄3.14159；1004323214000N mx 1mGI p9106= 9817469(mm4)。故:_80X109N /m2 天 9817469 冥 10'2m4 _0.0178254(rad)"O2（2）求图示截面上 A、B、C三点处切应力的数值及方向

7、IA = T B = T max = 71.3 0 3M P a由横截面上切应力分布规律可知：15 = 5 =0.5X71.302=35.66MPa2A、 B、 C三点的切应力方向如图所示。（3）计算C点处的切应变3G 80 x103 M Patc35-66M Pa =44575>d0S0.446x10习题3-6图示一等直圆杆，已知 d =40mm.a = 400mm，G =80GPa，Wdb =1°。试求:(1) 最大切应力；(2) 截面A相对于截面 C的扭转角。解：(1 )计算最大切应力从AD轴的外力偶分布情况可知:T ABTcd=M e， Tbc = 0。TiliTdcd

8、c 丄=z=TGIpGIpGI p®Tcb%BGIp4式中,MeImax：IcBM e a 丄 0£Mea+=GIpGIpGIpIp =丄兀d4p 32MeWp144=X3.14159X404 =251327(mm4)。故:80000N/mm251327mm4 3-=877296N mm180400mm式中，Wp 二存宀存 3.141妙 403 =12566(mm3)。故:TmaxMe 877296N m69.815M PaWp12566mm3(2 )计算截面A相对于截面C的扭转角5 P TihTab 'Iab 丄 Tbc "IbcM e *2a 丄 0

9、£ 2M ecO*AC =乙F 2十 DB = 2GIpGI PGI p GI p GI p GI p GI p GI p习题3-7某小型水电站的水轮机容量为50 kW，转速为300r/min，钢轴直径为75mm,若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力t =20MPa。试校核轴的强度。 资料个人收集整理，勿做商业用途解：(1)计算最大工作切应力%xMeWpWp式中，M-9.549 N9.54300.1.592(kN .m)；Wp=1rd3=1r3.14159 汐53=125qmm3)。Me故：T max Wp= 1592000N ym=19.219MPa 82835mm（2）强

10、度校核因为Tmax =19.219M Pa，可=20 MPa，即T max t，所以轴的强度足够，不会发生破坏。习题3-8已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D =60mm，内径dP = 7.355kW，转速n = 180r/min，钻杆入土深度I = 40m，钻杆材料的=50mm，功率 G =80GMPa，许用切应力叮=4OMPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求:资料个人收集整理，勿做商业用途（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）两端截面的相对扭转角。解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度Me =9.549 吐n=9.549

11、J355=0.390(kN E)180设钻杆轴为x轴,则:S Mx =0ml=Mem=MA = 0=0.00975(kN/m)l 40（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核作钻杆扭矩图T(X)= -mx =0 39一石x0.00975x。円0,40T(0) =0 ；T(40) = Me = 0.390(kN m)扭矩图如图所示。强度校核"Wp1150式中,叫二評34"-3.14159“0*1 爲),21958(mm3)39000017.761 “paWp21958mm3因为Tmax =17.761MPa，t =40MPa，即Wax i，所以轴的强度足够，不会发生破坏。（3）计

12、算两端截面的相对扭转角_ 40T(x)dx1150式中，Ip = ;iD4(1-a4) = x3.14159x604 x1-()4 =658752(mm4)323260半=f0|T(x) |dx =丄 f0O.OO975xdx =60.00975 40b GI p GIp080x106kN/m2x658752>d02m4 2= 0.14 8raX8.50习题3-9图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为 0.2kN，已知轴材料的许用切应力 可=40MPa，试求：资料个人收集整理，勿做商业用途（1）AB轴的直径；（2）绞车所能吊起的最大重量。解：（1）计算AB轴的

13、直径AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等：Me左= 0.2X0.4 =0.08(kN 忡)尸Me主动轮=2Me右=0.16(kN m)扭矩图如图所示。由AB轴的强度条件得:Me右哼W兀d3_ 3f 16X80000N mV3.14159x40N/mm2=21.7mm（2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等:M e从动轮0.20.35M e从动轮由卷扬机转筒的平衡条件得:P X O.25 = M e从动轮P X 0.25 =0.28P = 0.28/0.25 =1.12(kN)习题3-10直径d =50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Mg =6kN，

14、m，而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知 is-AAj =3mm，圆杆材料的弹性模量E =210GPa，试求泊松比V （提示:各向同性材料的三个弹性常数E、G、V间存在如下关系： G =E。资料个人收集整理,勿做商业用途2(1 +v)解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：T = Me =6kN，m。设0,01两截面之间的相对对转角为W ,则Ad，护=2 s2习题GI P d1 1式中,IP =茹宀扩 3.14159 倔-613592(mm4)G =Tl d 6%1O6N mmx1000mmx 50mm2lpAs2x613592mm4 咒 3mm= 81487.372MP a =81.4

15、874G Pa由 G = E 得:2(1 +v)2G 2X81.4874-1 =0.289习题3-11直径d =25mm的钢圆杆，受轴向拉60kN作用时，在标距为 200mm的长度内伸长了 0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩Me =0.2kN m时，在标距为200mm的长度内相对扭转了 0.732°的角度。试求钢材的弹性常数G、G和V。资料个人收集整理，勿做商业用途解：（1）求弹性模量阳 NI也I =EANI60000N X 200mm0.25 X 3.14咒 252 mm2 X 0.113mm= 216447.8MPa = 216.448G Pa（2）求剪切弹性模量 G141

16、44Ip =护=扩3.14159>25 =383怨mm)Gl pG亠-4护P(0.732X 3.14/180) X 38349mm46O."10 N mmc200mm=81684136MP a =81.7G Pa(3)泊松比V由6=亠得煌亠2亠O.3252(1+v)2 咒 81.684习题3-12长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同,受力情况也一样。实心轴直径为d;空心轴的外径为D，内径为do,且 屯=0.8。试求当D空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力(T max= k ),扭矩T相等时的重量比和刚度比。 资料个人收集整理，勿做商业用

17、途 解：(1)求空心圆轴的最大切应力，并求TmaxWp式中,Wp =丄兀D3(1 -a4)，故:p 16O%0max,空16T343兀 D3(1-0.84)兀 D32" WD327.仃(1)求实心圆轴的最大切应力5ax式中,Jax,实d3D(?)WpWp =丄叱3，故:P 1616T16T中27.仃16Vt16T 九69375D=1.192d(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比O.25®2；*2)". (D)2(1 _O.82) =O.36(E)2 = 0.36U1 920.5 12W实0.25id2 Idd(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比I 卩空=丄；iD4(1

18、 -0.84) =0.018457rD4 p 32144=一闵4 =0.031257Td4 32GI p空0.01845iD0.03125rd44= O.59O4(¥)4 =0.5904 xl.1924 = 1.192习题3-13全长为I，两端面直径分别为 di,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me，如图所示。解：如图所示，取微元体 dx，则其两端面之间的扭 转角为：试求杆两端面间的相对扭转角。GI式中,Ip=d432r2 r1d221X +did2 _* d =2r =1Id4d2 -didud2 -did2 -didxdul32叭竺码丄讥彳2"嚳u4 d2 - d

19、r4jid4ttG30兀GQ-dJ 0ul du7iG(d2 -djNu432M el32Mel-丄r 兀G(d2 -dj 3u3 032Mel3i：G(dd1)Ux + dJ32Mel1 1 r32M eld1 - d232Meld； + dd + d； r3 兀 G(d2 dj2厂d13丿3rG(dd2)1 d1d2 丿3tG3 . 3d1 do< 2 /l0习题3-14已知实心圆轴的转速n = 300r/min，传递的功率p = 330kW，轴材料的许用切应力可=60MPa，切变模量G=80G Pa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过 1°,试求该轴的直径。 资料个人收集

20、整理,勿做商业用途T l解：丄丄GI PMelGI p兀<1x180式中，MN3301e "549计=9.549>c- =10.504(kNm)； dW。故:IpX180MelttG1 兀32/32X180M el d珂一兀2Gj32x 180X 10.504X106 N -mm 2000mm3.142 x80000N/mm2=111.292mm取 d =111.3mm。M B =7.20kN、m，严'=1o/m，切变模习题3-15图示等直圆杆，已知外力偶MA =2.99kN-m，MC =4.21kN E，许用切应力T=70MPa，许可单位长度扭转角量G =80G

21、Pa。试确定该轴的直径 d。资料个人收集整理，勿做商业用途解：（1 ）判断危险截面与危险点作AC轴的扭矩图如图所示。 因最大扭矩出出在 BC 段,所以危险截面出现在 BC 段, 危险点出现在圆周上。切强度条件求d 。（2）计算危险点的应力（最大工作切应力），并代入剪"Tr晋 wd、訂 BCj16x4.21>d06N ”mm1 V石厂V16Tbc3.14x70N/mm2=67.42mm(3)计算最大单位长度扭转角 (出现在BC段),并代入扭转刚度条件求 d。7?少=一(7；pTG咳32HkN.m4.21rqc4工详事=輕型仝疋=0 0744 .=恥71x80x10®(4

22、)确定d值d XmaXa) =74.4(mm)习题3-16阶梯形圆杆，AE段为空心，外径 D =140mm，内径d = 100mm ； BC段为实 心，直径 d = 100mm。外力偶矩 MA=18kN m，Mb = 32kN rn，Me =14kN rn，许用切应力可=80MPa，许可单位长度扭转角0 =1.2o/m，切变模G = 80GPa。试校核该轴的强度和刚度。集整理，勿做商业用途解：(1)AB段的强度与刚度校核资料个人收Tab = M A = T8kN EA-fTab1式中，叽16b max,AB=丄兀 D3(1 a4)=丄 x3.14159X1403 x1 (迴)4 =398533

23、(mm3) 1616140max, ABJ8"0 N =45.166MP a <口 =80 MPa 符合度条件。 398533mm3 abw|Tab I 180=XlGIp兀式中,Ip=3rD4(j4)=r3-14159x1404m(100)4=2789731qmm4)AB =l GI p|Tab |8018000N mx180X =92124兀 80x10 N /m X27897319X10- m x3.14= 0.462(°/m)屮'=1.2o/m符合刚度条件。(2) BC段的强度与刚度校核Tbc =Mc =14kNTbcTmax,BC =式中，Wp =丄

24、；Id3p 161 3 3=亦咒3.14159咒1003 =196349(mm3)T打 max, AB VVpTbc14x106N mm196349mm3J.302”Pa<E = 80MPa 符合度条件。式中，Ip"T GIp180X兀=丄兀d432=x 3.14159100 9817469(mm4)32l "GIpTbc兀=914°°°N E1804=1.02(°/m) <© =1.2°/m80X10 N/m 9817469X10 m X3.14符合刚度条件。 综合(1)、(2)可知，该轴符合强度与刚

25、度条件。习题3-17习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力T = 20MPa，切变模G =80GPa，许可单位长度扭转角炉=2.5° / m。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的直径。资料个人收集整理，勿做商业用途解：(1、由强度条件选择直径轴的扭矩图如图所示。因为最大扭矩出现在II、III轮之间，所以危险截面出现在此段内，危险点在此段的圆周上。资料个人收集整理，勿做商业用途Sax TiI -III彳空咤业叫80mm3.14X20N / mm2(2)由刚度条件选择直径7?CP' =180°GIp兀咤10=80鮎9480x10xjid兀 xio2.006泸严警=02

26、仏际曲g故选用d = 875110 。习题3-18 一直径为d的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶Me后，测得圆杆表面与纵向线成45°的方向上的线应变为 S。试导出以Me, d和s表示的切变模量 G的表达式。资料 个人收集整理，勿做商业用途解：圆杆表面贴应变片处的切应力为圆杆扭转时处于纯剪切状态，图(a)。D(图(a)切应T 16甌 y 二一二一 变0 TT1) 对角线方向线应变:忖4亍84匚 T二上i2/ = 2f2看网式（2）代入（1）：K习题3-19有一薄壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为 1m，作用 在轴两端面内的外力偶矩为 180kN m。试确定管中的最

27、大切应力，并求管内的应变能。已 知材料的切变模量 G=80GPa。资料个人收集整理，勿做商业用途解：（1）求管中的最大切应力T Tmax =1 P180x10x150x10-32 x180x150x10 皿71 x42xl0J7=3= 65.5 MPa32130x180x10x1耳二二 d _= 0.491 kN m32习题3-20 一端固定的圆截面杆 AB承受集度为 m的均布外力偶作用，如图所示。试求 杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为Go资料个人收集整理，勿做商业用途2解：dVT_42GI P 2G 丄兀d432m2x2dx.- 2 2 ,16m x dx22 3V厂整0x2dx6ml

28、m236 丄兀d4G32 m2l36GI受拉力F试求：= 0.5kN作用，弹簧的习题3-21簧杆直径d =18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧， 平均直径为D =125mm,材料的切变模量 G=80GPa。（1 ）簧杆内的最大切应力;（2）为使其伸长量等于 6mm所需的弹簧有效圈数。解:,16网“F"，+ 2牝一 3 4x5.95-3 24.74x6-95 + 2 277 一 ,=1 上16沁5X伸冥私技严二？2呂甌皿因为0占Gd*64x0/10x(62 5)?xWr1000弘10叭（让y xlO6x3x10.55x10 一n =r = D64x0.5x2.44x10'圈习题3-22

29、 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力用切应力T =500MPa，切变模量为 G弹簧的有效圈数为 商业用途F如图，簧丝直径d =10mm,材料的许n。试求：资料个人收集整理，勿做（1）弹簧的许可切应力;证明弹簧的伸长也器(RZXrK2)。解：（1）求弹簧的许可应力体。用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离 由平衡条件可知，在簧杆横截面上：扭矩T = FR习题3-22®最大扭矩:Tmax FR?Wp4F 丄 16FR2= 十兀d2兀d3二16%"-)<口，4R2兀d3兀 d3T旧=16R2(1 + A)4R23.14<103mm500N/mm2=957.3N1

30、6>c100mm(1 +卫d)4咒 100mm10mm服心)4R216x 100mm(2 )证明弹簧的伸长=16Fn(RR2)(R2 + R|)Gd因为D/d =200/10 = 2010，所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时兀 d3i3.14>d03mm3x500N/mm2厂“= 981.25Ndu2(R如2GI pU =Q(FR)2(RW)2GIp22F22冗3F22m= R3da = R12GI p 02GI pL2切FSin=4G7R； -R4R2 - R1W =u2 4GI p R2-RAF 兀n R-R：A =2GI p16F 兀 nR2

31、RjG 兀d4 (R2 +R；)(R +R2)习题3-23图示矩形截面钢杆承受一对外力偶G =80G Pa，试求：Me(1)(2)(3)杆内最大切应力的大小、位置和方向; 横截面短边中点处的切应力； 杆的单位长度扭转角。3kN m。已知材料的切变模量习题3-23图解:(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向J匹“5S 60 由表得代二0.294=心46卩二0”瑚4 = 0.294 x60S10-'' = 331x10I?； = OJ46x60'xlO- = 74JxlOm'30002 二二 40.2MPa747x10"长边中点处的切应力，在上面，由外指向里(2)计算横截面短边中点处的切应力4= 0.858x40.2 = 34.4 MPa短边中点处的切应力，在前面由上往上(3)求单位长度的转角80x10x331x10-®1L单位长度的转角习题3-24图示T形薄壁截面杆的长度 量G =80G Pa，杆的横截面上和扭矩为 及单位长度