不动点法求数列通项公式

1、c、d、不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列 an+1=(can+d)/(ean+f) e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项，我们可以采用不动点法来解 .假如数列 an 满足 an+1=f(an), 我们就称 x=f(x) 为 函数 f(x) 的不动点方程 ,其根称为函数 f(x) 的不动点 .至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项 ,这足可以写一本书 .但大致的理解可以这样认为 , 当 n 趋于无穷时 , 如果数列 an 存在极限 ,an 和 an+1是没有区别的 .首先,要注意 ,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程比如：an+1=an+1/an.其次，不动点有相

2、异不动点和重合不动 点.求通项 .面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧例1：已知 a1=2,an+1=2/(an+1),说明：这题是“相异不动点”的例子.】1/(a n-1)是首项为1/1-1)=1/2,公差为1的等差数列先求不动点和 x=-2 【相异不动点】a n+1=2/(a n+1)使用不动点】令 x=2/(x+1), 解得不动点为： x=1(a n+1-1)/(a n+1+2)=(2/(an+1)-1)/(2/(an+1)+2)=(2-an-1)/(2+2an+2)=(-an+1)/(2an+4)=(-1/2)(an-1)/(an+2)ai=2(a1-1)/(a1+2)=1

3、/4(an卜1)/(an+2)是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列(a n-1)/(a n+2)=1/4(-1/2F( n-1)解得：an=3/1-(-1/2F(n+1)-2例 2 ：已知数列 an 满足 a1=3,anan-1=2an-1-1,求通项.说明：这题是“重合不动点”的例子 .“重合不动点”往往采用取倒数的方法 .】an =2-1/a n-1采用不动点法，令：x=2-1/x即：X八2-2x+1=0x=1【重合不动点】an =2-1/a n-1an-1=2-1/a n-1-1使用不动点】an-1=(an-1-1)/an-1两边取倒数 ,得： 1/(an-1)=an-1/(an-1

4、-1)即： 1/(an-1)-1/(an-1-1)=1va1=3即： 1/(an-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2a n=2/(2 n-1)+1=(2 n+1)/(2 n-1)例3已 知 数 列 an 满 足bn-1/bn-2=(n-2)/n这里保留分母】求通项.a1=1/2,S n=a nn 八2-n(n-1),说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数 ,现在看个不动点方程系数包含 n 的例子 .】S n =a nn 八2-n(n-1)S n+1=a n+1(门+1)八2-( n+1)n将上面两式相减 ,得：an+1=a n+1( n+1F2-a nn 八2-( n+1)

5、n+n(n-1)(n 八2+2 n)a n+1=a nn 八2+2n(n+2)an+1=nan+2an+1=ann/(n+2)+2/(n+2)采用不动点法，令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)使用不动点】解得： x=1 【重合不动点】设： an-1=bn, 则： an=bn+1代入【 1 】式,得： bn+1+1=(bn+1)n/(n+2)+2/(n+2)bn+1=bnn/(n+2)即： bn+1/bn=n/(n+2)于是：【由于右边隔行约分 ,多写几行看得清楚点】bn/bn-1=(n-1)/(n+1)这里保留分母】bn-2/bn-3=(n-3)/(n-1)bn-3/bn-4=(n-4)/

6、(n-2)b5/b4=4/6b4/b3=3/5b3/b2=2/4这里保留分子】b2/b1=1/3这里保留分子】将上述各项左右各自累乘 ,得：bn/b1=(1*2)/n(n+1)ai=i/2b1=a1-1=-1/2bn =-1/ n(n+1)通项 an =b n+1=1-1/ n(n+1)例4：已知数列 an 满足 a1=2,an+1=(2an+1)/3,通项.说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法 ,也可以采用其他解法 .】va n+1=(2a n +1)/3求不动点： x=(2x+1)/3, 得：x=1 【重合不动点】使用不动点】公比为 2/3 的等比数列a n+1-1=(2a n+1)

7、/3-1即：an+1-1=(2/3)(an-1)an-1是首项为 a1-1=1,即：an卜1=(2/3)八(n-1)an =1+(2/3)八(n-1)【又】Ta n+1=(2a n+1)/3/.3a n+1=2a n+1这时也可以用待定系数法 ,甚至直接用观察法 ,即可得到：3an+1-3=2an-2a n+1-1=(2/3) (an 卜1)下面同上】已知数 列 xn 满 足求通项.x1=2,x n+1=(x n八2+2)/(2x n).说明：现在举个不动点是无理数的例子 ,其中还要采用对数的方法.】vx n+1=(x n八2+2)/(2x n)采用不动点法，设：y=(y八2+2)/(2y)y

8、八2=2解得不动点是：y= 士辺 【相异不动点为无理数】(x n+1- v2)/(x n+1+v2)【使用不动点】=(x nF2+2)/2x n-v2/(x n八2+2)/2x n+=(x n F2-2v2x n+2)/(x nF2+2v2x n+2)=(x n- v2)/(x n+v2)八22/ v2= Vvx n+1=(x n八2+2)/2x n=x n /2+1/x nIn (x n+1-v2)/(x n+1+v2)=2l n(x n-v2)/(x n+v2)取对数】X1=2 v2(x1- v2)/(x1+v2)=3-2 Vln(xn-v2)/(xn+v2)是首项为 In(3-2 v2)

9、,公比为 2 的 等比数列即：In(xn- v2)/(xn+v2)=2(n-1)ln(3-2v2)(xn- v2)/(xn+v2)=(3-2 v2)八2八(n-1)xn卜 v2=(3-2 v2)八2八(n-1)(xn+v2)v2)八2八(n-1)xn-Xn(3-2v2)八2八(n-1)=v2(3-2 )2(n-1)+V2xn= v21+(3-2 vF2a(n-1)/1-(3-2求通项.已 知 数 列 an 满 足a1=2,an+1=(1+an)/(1-an),说明：现在举个不动点是虚数的例子 ,说明有些题目可以采用不动点法 ,但采用其他解法可能更方便 .】求不动点：x=(1+x)/(1-x),

10、 即：X八2=-1,得:x1=i,x2=-i相异不动点为虚数 ,i 为虚数单位】使用不动点】(a n+1-i)/(a n+1+i)=(1+an)/(1-an-i/(1+an)/(1-an+i=(1+an-i+ani)/(1+an+i-ani)=(1+i)/(1-i)(an-i)/(an+i)=i(an-i)/(an+i)a1=2 (an-i)/(an+i) 是首项为 (a1-i)/(a1+i)=(2-i)/(2+i),公比为 i 的等比数列即：(an-i)/(an+i)二(2)/(2+切八(n-1)n 卜i)(2+i)=(a n+i)(2-i)iA( n-1)2a n-2i+ia n +1=(2a n+2Ha门+1)2( n-1)2+i-(2-i)(iF( n-1)a n=2i-1+(2i+1)iA( n-1)a n=2i-1+(2i+1)iA( n-1)/2+i-(2-i)iA( n-1)a n=2i-1+(2-i)iA n/2+i-(2-i)iA( n-1)下面用“三角代换” ,看看是否更巧妙一些 .】va n+1=(1+a n”(1-a n)令 an=tan0,贝J an+1=tan(n/4)+tan0/1-ta n( n/4)ta n0=ta n(兀/4+ 0)T0=arcta