偏微分方程的解法

1、1. 1. 定义定义 其中其中f(x),g(y) 分别是分别是 x ,y 的连续函数的连续函数 2.2.分离变量法分离变量法 把方程中的两个变量分离开来，使方程的一边只含有把方程中的两个变量分离开来，使方程的一边只含有 y 的的函数及函数及dy，另一边只含有，另一边只含有 x 的函数及的函数及 dx，然后两边积分，从，然后两边积分，从而求出微分方程的解而求出微分方程的解 这种方法称为分离变量法这种方法称为分离变量法 形如形如 （1）的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程的一阶微分方程，叫做可分离变量的微分方程. )()(ygxfdxdy 3 3步骤步骤(1)分离变量，得分离变量，得 (2)

2、两边积分，得两边积分，得 dxxfygdy)()(3) 求得积分，得求得积分，得 cxfyg )()(xfygxfyg的的原原函函数数分分别别是是其其中中)(,)(1)(),(dxxfygdy)()( )0)( ygxydxdy的的通通解解求求微微分分方方程程2 解解 分离变量，得分离变量，得 ,2xdxydy 两边积分，得两边积分，得 xdxydy2得得 cxy 2ln,2112xccxeeey 即即 eeyxc21 ，ec 1仍仍是是任任意意常常数数因因为为 ,01 cec令令得方程的通解为得方程的通解为 2xcey 例例1 1例例 ydxdyxyx的特解的特解的满足初始条件的满足初始条件

3、求微分方程求微分方程0101 解解 yxdxdy1010 分离变量，得分离变量，得 dxdyxy1010 两边积分，两边积分， 得得dxdyxy 1010110ln11010ln110cxy 化简，得化简，得 cyx 1010，yx代代入入上上式式把把初初始始条条件件01 c11 得得于是所求微分方程的特解为于是所求微分方程的特解为 yx111010 原方程可化为原方程可化为)10ln(1cc 其中其中1. 1. 定义定义形如形如)2()(xyfdxdy 的微分方程的微分方程， 称为称为齐次型微分方程齐次型微分方程 dyxyxdxyxy就就是是齐齐次次型型微微分分方方程程例例如如方方程程0)2

4、()(22 因为方程可化为因为方程可化为 )(21)(2222xyxyxyxyxyxydxdy 2 2解法解法在方程在方程 ( 2 ) 中，引进新的未知函数中，引进新的未知函数 ,xyu xu，y 则则，udxduxdxdy 代入方程代入方程(2)，便得可分离变量方程，便得可分离变量方程 ,)(uufdxdux xdxuufdu )(即即 两边积分，得两边积分，得 xdxuufdu)(求出积分后，求出积分后， ,uxy代代替替再再用用 即得所求齐次型微分方程即得所求齐次型微分方程的通解的通解 例例3 3 .22xxyydxdy 解微分方程解微分方程解解 原方程可化为原方程可化为 12 xyxy

5、dxdy它是齐次型微分方程它是齐次型微分方程 ，xyu 令令代入原方程，得代入原方程，得112 uuuuudxdux分离变量，得分离变量，得 xdxduuu 1两边积分，得两边积分，得 即即 )(11cucuecceexu 其其中中得得代入上式代入上式将将，xyu xycey 这就是所求微分方程的通解这就是所求微分方程的通解 1lnlnuuxc1 1、定义、定义xxqxp的连续函数的连续函数都是都是和和其中其中)()( )0q x当时,t方程（方程（3）称为）称为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 方程（方程（3）称为一阶线性齐次微分方程）称为一阶线性齐次微分方程方程方程 )()(x

6、qyxpdxdy 称为称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程， (3)，xq时时当当0)( 2 2、一阶线性齐次微分方程的通解、一阶线性齐次微分方程的通解先讨论一阶线性齐次微分方程先讨论一阶线性齐次微分方程 0)( yxpdxdy（4） 的通解的通解 显然，方程（显然，方程（4）是可分离变量方程）是可分离变量方程 分离变量后，得分离变量后，得 dxxpydy)( 两边积分，得两边积分，得 cdxxpyln)(ln这就是一阶线性齐次微分方程这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式的通解公式 注意注意即即 (5-1) dxxpcdxxpceey)(ln)(在用上式进行具体运算时，其中的不定积分在用

7、上式进行具体运算时，其中的不定积分 dxxp)(只表示只表示p(x)一个确定的函数一个确定的函数.3 3、一阶线性非齐次微分方程的解法、一阶线性非齐次微分方程的解法常数变易法常数变易法 dxxpexcy)()(5) 由方程特点，由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为设一阶线性非齐次微分方程的通解为对对（5）式）式求导得求导得.)()()()()( dxxpdxxpexcxpexcdxdy (6) 将将(5)和和(6)代入方程代入方程(3)并整理得并整理得 dxxpexqxc)()()(由此可得由此可得 cdxexqxcdxxp)()()(将上式代入将上式代入(5)式，得式，得一阶线性非齐

8、次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为(5-2) )()()( cdxexqeydxxpdxxp 公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的公式中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的一个原函数一个原函数 这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解的方法称易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解的方法称为常数变易法为常数变易法公式公式(5-2)也可写成下面的形式也可写成下面的形式 dxxpdxxpdxxpcedxexqey)()()()( (7) 由此可知由此可知：一阶线性非齐次方程的通解

9、等于它的一个特一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和解与对应的齐次方程的通解之和 注意注意: :例例4 4 .)1(1225的的通通解解求求方方程程 xxydxdy解解1 1 (常数变易法) 对应的线性齐次方程对应的线性齐次方程为为, 012 xydxdy用分离变量法求得它的通解为用分离变量法求得它的通解为 21)( xcy将上式中的任意常数将上式中的任意常数c 换成函数换成函数c( (x) ) ，即设原方程的通解为，即设原方程的通解为 2)1)( xxcy（8） 则有则有 ),1)(2)1)(2 xxcxxcdxdydyydx将和代入原方程,得.)1()(21 x

10、xc两边积分，得两边积分，得 .)1(32)(23cxxc 再代入（再代入（8）式，即得所求方程的通解为）式，即得所求方程的通解为 cxxy232)1(32)1(解解2 2 (公式法公式法) ,12)( xxp因因为为.)1()(25 xxq代入公式（代入公式（5-25-2），得），得 cdxexeydxxdxx122512)1( cdxexexx)1ln(225)1ln(2)1( cdxxxx2252)1()1()1(.)1(32)1(232cxx 例例5 5 .00)12(12的特解的特解满足初始条件满足初始条件求方程求方程 xydxxxydyx解解 ，xxyxdxdy212 原原方方程程

11、可可化化为为对应的齐次方程是对应的齐次方程是02 yxdxdy用分离变量法求得它的通解为用分离变量法求得它的通解为 21xcy 用常数变易法，设非齐次方程的通解为用常数变易法，设非齐次方程的通解为 21)(xxcy )(21)(32xcxxxcy 则则. 1)( xxc，yy得得代入原方程并化简代入原方程并化简和和把把两边积分，得两边积分，得 cxxxc 221)(因此，非齐次方程的通解为因此，非齐次方程的通解为 2121xcxy .2101 c，yx得得代代入入上上式式将将初初始始条条件件故所求微分方程的特解为故所求微分方程的特解为 221121xxy 例例6 6 .0)(3 dyyxydx解微分方程解微分方程)0( y设设解解 原方程可化为原方程可化为 21yxydydx 将将x 看作看作y 的函数，则它是形如的函数，则它是形如 )()(yqxypx 的一阶线性非齐次微分方程的一阶线性非齐次微分方程 ，ydyydyyp ln1)(因为因为 42)(41)(yydyydyeyqdyyp于是由一阶线性非齐次方程的通解公式，得于是由一阶线性非齐次方程的通解公式，得 )()()( cdyeyqexdyypdyyp,41)41(134ycycyy 或或 cyxy 44这就是所求微分方程的通解这就是所求微分方程的通解 1.可分离变量的微分方程的特点、解法；可分离