“等体积代换法”

1、问题一“等体积代换法(一)多面体的体积(外表积)问题1.【上海理】 在四棱锥P ABCD中，底面是边长为 2的菱形，/ DAB = 60二对角线AC与BD相交于点O, P0丄平面ABCD , PB与平面ABCD所成的角为60二(1)求四棱锥P ABCD的体积;【解】(1)在四棱锥P-ABCD中，由P0丄平面ABCD,得 / PB0是PB与平面 ABCD 所成的角,/ PBO=60 .在 Rt A0B 中 B0=ABsin30 =1,由 P0 丄 B0,于是，P0=B0tg60 =、3 ,而底面菱形的面积为 2 3.1四棱锥 P-ABCD 的体积 V= X2 3 X 3=2.32 【上海文】 在

2、直三棱柱ABC - ABjCj中，.ABC =90°,AB二BC =1. (2)假设AC与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A, - ABC的体积。【解】(2)v AA1丄平面ABC,/ ACA 1是A1C与平面ABC所成的角，/ ACA 1=45 °./ ABC=90 , AB=BC=1 , AC= . 2 AA 1= 2。三棱锥A1-ABC的体积V=1 2SABC XAA 1 =3 6(二)点到平面的距离问题一“等体积代换法1.【福建理】 如图，四面体 ABCD中，0、E分别是BDBC 的中点，CA 二 CB 二 CD 二 BD =2, AB 二 AD 二.2

3、.(III )求点E到平面【解】 (III )设点ACD的距离。E到平面ACDQVeacd - Va .cde ,13 hgS acd的距离为h.1-3gA0gS CDE .3在 ACD 中，CA =CD =2, AD =2,1 2 .：22 -( 2)2 =Oh = A°.S cdeS.ACD-21. 点E到平面ACD7的距离为巨2【湖北文】如图，正三棱柱 ABC ABC的侧棱长和底面边长为1, M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN = 2C1N。(n)求点B到平面AMN的距离。【解】(n)过B1在面BCC1B1内作直线B1H _ MN , H为垂足。又AM _ 平

4、面 BCC1B1，所以 AM _ B-i H。AMN，故B1H即为B1到平面 AMN 的距离。在R BHM 中,B1H = DMsin B1MH=1。故点EB!到平面AMN的距离为1。3【湖南理】如图4,两个正四棱锥P -ABCD与Q -ABCD的高分别为1和2, AB =4。(III)求点P到平面QAD的距离。【解】(川)由(I)知， AD丄平面PQM，所以平面 QAD丄平面PQM。过点P作PH丄QM于H，贝U PH丄QAD，所以PH的长为点P到平面QADABC的距离。1连结 0M。因为 0M= AB=2=0Q，所以/ MQP=452又 PQ=P0+Q0=3，于是 PH=PQsin453,2

5、即点P到平面QAD的距离是。2【江西文】 如图，三棱锥O- ABC的侧图4棱0A、OB 0C两两垂直，且0A=1 ,0B=0C=2 , E是0C的中点。(1 )求0点到面ABC的距离;ASAD二.OA2 0D2 = .3，在直角三角形OAD 中，有 0H =OA OD .26AD 二石盲(另解：由 Vo YABC = 3 S. ABCOH=oAOBOC=2 知：OH 6 )6335 .【山东理】 如图，平面AiBiCi平行于三棱锥V - ABC的底面ABC，等边 ABiC所在的平面与底面 ABC垂直，且/ ACB=90，设 AC =2a,BC =an求点A到平面VBC的距离;【解】1取BC的中

6、点D，连AD、OD。QOB =OC，那么 OD _ BC、AD _ BC, BC丄面OAD。过 O点作OH丄AD于H , 那么0H丄面ABC , OH的长就是所要求的距离。BC =2叮2， OD = OC -CD? = 2。Q 0A _ OB, 0A _ 0C, 0A _ 面 OBC，贝U 0A _ 0D。 AB1C为正三角形, BC丄平面AB1C D为EC的中点. BC _ AD,A1C1【解】n解法1 ：过A作AD _ BC于D, AD丄平面VBC ,线段AD的长即为点A到平面VBC的距离.在正 AB1C 中,ACR点A到平面VBC的距离为，3a .解法2：取AC中点0连结B10 ,那么耳0丄平面ABC，且B10 = . 3a 由I 知BC _ BQ ,设A到平面VBC的距离为x ,% -ABC