函数的连续性

1、 微微 积积 分分21. 设有函数设有函数sin(2 ) (0)( )1 (0)xxf xxax, 问问 为何值时为何值时, 函数函数在在 点连续点连续?a0 x 解解 因为因为00sin(2 )lim( )lim222xxxf xx(0)1fa要使函数在要使函数在 点连续点连续,0 x 则应有则应有0lim( )(0)xf xf所以所以121aa 321(1)(1)lim ( )lim(1)(2)xxxxf xxx解解 这是一个初等函数，其定义域为这是一个初等函数，其定义域为找出函数找出函数 的间断点，并判别其类型。的间断点，并判别其类型。221( )32xf xxx232012xxxx且1

2、11(1)(1)1lim ( )limlim2(1)(2)2xxxxxxf xxxx而而 所以，所以，x =1是函数的是函数的第一类第一类的的可去间断点可去间断点；x =2是函数是函数的的第二类第二类的的无穷间断点无穷间断点。不存在不存在(1)f而而2、4函数的连续性函数的连续性(continuity)(continuity) 气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是着，反映在函数关系上是函数的连续性函数的连续性。 当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，

3、当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性连续性。 连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。xyo5 函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态, ,在通常意义下，对函数连续性有三种在通常意义下，对函数连续性有三种描述：描述： 当自变量有微小变化时，因变量的当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；跳变； 连续函数的图形可以一笔画成连续函数的图形可以一笔画成, ,不断开不断开.

4、 . 函数的连续性函数的连续性61.连续性概念的增量形式在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的增量, 记为 u = u2u1.u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称 u 为变量 u 在 u1 处的差分.7 设函数 f (x) 在 u(x0)内有定义, xu(x0) , 则称x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量. = f (x0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )xyox0 xxyy = f (x)此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处有增量 y

5、80lim0yx)(0 xxx则称 f (x) 在点 x0 处连续.设 f (x) 在 u(x0) 内有定义. 若自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.9可见 , 函数)(xf在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 10对自变量的增量,0 xxx有函数的增量

6、)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:11右连续右连续（continuity from the rightcontinuity from the right）000( )lim( )(,( )xxf xf xf xyf xx如果函数满足)则称函数 在点 处右连续。0000( ) (yf xxf xf xf x在 点 连 续)=)= ）单侧连续单侧连续x xa ab b( )y f x右右连连续

7、续左左连连续续连连续续0 x 左连续左连续（continuity from the leftcontinuity from the left）000( )lim( )( )xxf xf xf xyf xx如果函数满足)，则称函数 在点 处左连续。12函数左、右连续的几何解释在 x = 0 处的连续性.1,0( )sin ,0 xxf xxxy1)(xfy yx+1xoy = sinx13讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处0|lim0 xx0| 00 xxxy y = | x | 在点 x = 0 处连续.xyy = | x |o的连续性.例1解14讨论函数 f (x) =

8、x2, x 1,在 x = 1 处的连续性.1lim)(lim211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx, 1) 1 (12xxf 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续.故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的.x + 1, x 1, 但由于) 1 (1)(lim1fxfx例2解153.函数在区间上的连续性设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义.若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为f (x)c( (a, b) ).16若 f (x)c( (a, b) ), 且 f (x)

9、在 x = a 处右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 记为f (x)c( a, b ).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性17二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只

10、xfxxxf18函数间断点的分类 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它19(1) 第一类间断点若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且f (x) 的第一类间断点.00lim( ) lim( ) ,xxxxf xf x与存在则称 x0 为函数20讨论. 1 11)(2处的连续性在xxxxf函数在 x =1 无定义,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 为函数的第一类间断点. x =1 为函数的间断点.yxo11p(1,2)y x + 1 进一步分析该间断点的特点.例1解21补充定义211lim|211xxyxx则函数 f *(x) 在 x =1

11、连续.f * (x) =1 112xxx2 x = 1 即定义分析211lim 21xxx由于 故 x =1 为函数的可去间断点.22跳跃间断点跳跃间断点例例2 2.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy 将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.23(2) 第二类间断点 凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.这算定义吗？即左右极限至少有一个不存在的点即左右极限至少有一个不存在的点.24讨论函数. 0 1)(处

12、的连续性在xxxfxyoxy1在 x = 0 无定义,xxf1)(x = 0为函数的间断点,1lim)(lim 00 xxfxx又故 x = 0为函数的第二类间断点.xxf1)()(lim 0 xfx所以称它为无穷间断点.由于例3解25. 0 1sin)( 处的连续性在讨论函数xxxf在 x = 0 处无定义,xxf1sin)(. 0 为函数的间断点x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故 x = 0 为函数的第二类间断点. 看看该函数的图形.例4解26o11xy 1sinxy . 1sin)( 0 的振荡型间断点为称xxfx27 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少

13、有一个不存在左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡28三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)29第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 x可去型可去型oyx0 x30四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的. 初等函数在其有定义的区间

14、内连续. 注意两者的区别！31一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xxtan ,cot ,.xx故在其定义域内连续32.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0

15、,(1sin内连续内连续在在 xy二、复合函数的连续性33三、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. . 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.000lim( )()()xxf xf xx定义区间34求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan) 12ln(12 连续性给极限运算带来很大方便.例1解35例例2 2. 1sinlim1 x

16、xe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例3 3.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 36一.最大值和最小值定理二.介值定理371 最大值和最小值定理设 f (x) 在 a, b上连续, 则 (i) f (x) 在 a, b 上为以下两种单调函数时 aobxyoab xy38y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , . )()(max,bfxfbax, )()(min,afxfbax， )()(max,afxfbax. )()(min,bfxfbax此时, 函数 f

17、(x) 恰好在 a, b 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.则则39 (ii) y = f (x) 为一般的连续函数时xya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)o1am2am3am4am5am6am40(最大值和最小值定理)若 f (x) 在 a, b上连续 , 则它在该闭区间上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .ab2 1 xyo)(xfy 41 在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大值和最小值.应注意的问题42 又如 如下函数在闭区间0 2内既无最大值又无最小值 21 31 110 1)(xxxxxxfy 如果函数在闭区间上有间断点如果函数在闭区间上有间断点 那么函数在那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值该区间上就不一定有最大值或最小值 43(介值定理)ybcaoa bx44最大、最小值定理介质定理？ 引入设 f (x) 在 a, b上连续, 则 f (x) 取得值 m 之间的任何一个值. 推论推论介于其在 a, b 上的最大值 m 和最小45(根存在定理或零点定理)则至少存在一