灰色系统辨识

1、J I A N G S U U N I V E R S I T Y系统辨识与自适应控制 专业: 控制工程 姓名： XXX 学号： 灰色系统辨识第 1章 灰色系统的概念与基本原理客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。1.1 灰色系统的概论灰色系统理论提出了一种新的分析方法关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于以发展态势为立足点，因此对样本量的

2、多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。这种方法已应用到农业经济、水利、宏观经济等各方面，都取得了较好的效果。1.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色代数系统，灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系。以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系。以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析，评估，建模，预测，决策，控制，优化为主体的技术体系。 灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会，经济，生态等系统的行为特征数据，寻找

3、不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。第2章 序列算子与灰色序列生成2.1冲击扰动系统与序列算子定义2.1.1 设 为系统真实行为序列，而观察到的系统行为数据序列为 其中，为冲击扰动项（干扰项）。X称为冲击扰动序列。所以本章我们的讨论围绕：由XX展开（扰动还原真实）2.2缓冲算子公理定义2.2.1 设系统行为数据序列为，1. 若，则称X为单调增长序列；2. 若1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列；3. 若，则称X为随机振荡序列。4. 设，则称M-m为序列X的振幅定义2.2.

4、2 设为系统行为数据系列，D为作用于X的算子，X经过算子D作用后所得序列记为 称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以多次，相应的，若都是序列算子，我们称为二阶算子，并称 为二阶算子作用序列，同理，为三阶序列算子定义2.2.3 称下述三公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子D称为缓冲算子，一阶，二阶，三阶缓冲算子作用序列称为一阶，二阶，三阶缓冲序列。公理1（不动点公理） 设为系统行为数据系列，D为序列算子，则D满足 。不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列的数据保持不变。根据定性分析的结论，亦可使以前的若干个数据在序列算子作用下保持不变。例如，令公理2

5、.（信息充分利用公理）系统行为数据序列X中的每一个数据，都要充分地参与算子的作用全过程公理3（解析化、规范化公理） 任意的 ，皆可由一个统一的的初等解析式表达。定义2.2.4 设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X分别为增长序列，衰减序列或振荡序列时：1.若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，则称缓冲算子D为弱化算子。2.若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，则称缓冲算子D为强化算子。2.3实用缓冲算子的构造定理2.3.1 设原始数据序列令缓冲序列 其中；k=1,2,，n,则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子，并称为平均弱

6、化缓冲算子（AWBO）证明：直接利用的定义，可知定理成立。推论2.3.1对于定理1中定义的弱化算子D，令，则对于增长序列，衰减序列或振荡序列时，皆为二阶弱化算子。定理2.3.2设原始序列和其缓冲算子序列分别为 其中 则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化算子。推论2.3.2 设D为定理2中定义的强化算子，令 ，其中，则对于增长序列，衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算子。定理2.3.3 原始数据序列和其缓冲算子序列分别为 其中，则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子，并称D为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO）定理2.3.4 设为非负的系统行为数据序列，令其中。则当X为增长序

7、列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化缓冲算子，并称D为几何平均弱化缓冲算子（GAWBO）定理2.3.5 设为系统行为数据序列，各时点的权重向量为，则 其中。则当X D皆为弱化缓冲算子，并称D为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO）。定理2.3.6 设，各时点的权重向量为>0， 令 其中则当X D为弱缓冲算子，并称D为加权几何平均弱化缓冲算子（WGAWBO）。定理2.3.7 设为系统行为数据序列，令其中。则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子，并称D为平均强化缓冲算子（ASBO） 定理2.3.8 设为非负的系统行为数据序列，令其中。则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强

8、化缓冲算子，并称D为几何平均强化缓冲算子（GASBO）以上列举了部分缓冲算子，当然，我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子，缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模，而且还可以用于其它各种模型建模。通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子，淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影响，往往会收到预期的效果。2.4均值生成算子 在收集数据时，常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺（也称空穴），有些数据序列虽然完整，但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据，剔除异常数据就会留下空穴，如何填补空穴，自然成为数据处理过程中首先遇到的问题，均值生成是常用的构造新数据，填补原序列空

9、穴，生成新序列的方法。定义2.4.1 设序列X在出现有空穴，记为，即则称 定义2.4.2设序列为k处有空穴的序列，而称为非紧邻均值生成数，所得序列称为非紧邻生成序列。定义2.4.3 设序列，若，则称为紧邻生成数，由紧邻生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。2.5序列的光滑性定义2.5.1设序列，Z是X的均值生成序列： ，其中， X是某一可导函数的代表序列，d为n维空间的距离函数，我们将X删去后所得的序列仍记X，若X满足1. 当k充分大时，2.则称为光滑序列，为序列光滑条件。定义2 为序列的光滑比。定义3序列满足. . .则称为准光滑序列。.级比生成算子定义1序列，则称为序列的级比。.累计生成算

10、子与累减生成算子累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。定义1，为序列算子，其中。则称为的一次累加生成算子，记为-（Accumulating Generation Operator）,称r阶算子 为 的r 次累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记 其中定义2.7.2设，D为序列算，其中 2.8灰指数律 定义2.8.1 设序列，若对于 1. 则称X为齐次指数序列。 2. ，称X为齐次指数序列。定义2.8.2 设序列若1.，则称序列X具有负的灰指数规律。2. ，则

11、称序列X具有正的灰指数规律。3. 则称序列X具有绝对灰度为的灰指数规律。4.时，称X具有准指数规律。定理2.8.1设序列为非负准光滑序列，则的一次累加生成序列具有准指数规律。注：定理2.8.1是灰色系统建模的理论基础第3章 灰色系统模型研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能，协调功能以及系统各因素之间的关联关系，因果关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合，系统模型的建立，一般要经过思想开发，因素分析，量化，动态化，优化五个步骤。即语言模型，网络模型，量化模型，动态模型，优化模型。在建模过程中，要不断的将下一阶段中所得的结果回馈，经过多

12、次循环往返，使整个模型逐步趋于完善。灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由于这是本征灰色系统的基本模型，而且模型是近似的、非唯一的，故这种模型为灰色模型，记为GM（Grey Model），即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。3.1 GM(1,1)模型1GM(1,1)的定义设原始数列为个元素的数列，其一次累加生成数列为，则定义的灰导数为（差分形式的导数，dt=k-(k-1)=1）(3.1)令为数列的紧邻均值数列，即则

13、，于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为即(3.2)其中为灰色导数，称为发展系数，为白化背景，为灰色作用量。将时刻代入到式（22）(3.3)令(3.4)是数据向量，是数据矩阵，是参数向量，则GM(1,1)模型可以表示为矩阵方程为(3.5)由最小二乘法可以求得(3.6)2 GM(1,1)的白化型对于GM(1,1)的灰微分方程（3.2），如果将的时刻视为连续连续的变量，则数列就可以视为时间的函数，记为，并让灰导数对应于导数，背景值对应于。于是得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白微分方程为(3.7)称之为GM(1,1)的白化型。值得注意的是：GM(1,1)的白化型（3.7）并不是由GM(1,1)

14、的灰微分方程直接推导出来的，它仅仅是一种“借用”或“白化默认”。另一方面，GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度高，则表明所用数列建立的模型GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然。第4章 灰色预测预测就是借助于过去的探讨去推测，了解未来。灰色预测就是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现，掌握系统发展规律，对系统未来状态做出科学定理预测。灰色预测是指利用GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色

15、过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。4.1 灰色预测方法设已知参考数据列为，其1次累加生成数列为其中。均值数列则于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为对应的白微分方程为(4.1)记由最小二乘法，求得使得达到最小的值的，于是方程（27）的解为(4.2)4.2 灰色预测的步骤Step1、灰色数据的处理与检验，首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理，设参考数列为，计算数列的级比(4.3)

16、如果所有级比都落在可容覆盖内，则数列可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列做必要的变换处理，使其落入可容覆盖内。及取适当的常数，做平移变换(4.4)则使数列的级比(4.5)Step 2、建立模型 按照4.1中的方法，建立GM(1,1)则可以得到预测值(4.6)而且(4.7)Step 3、检验预测值 （1）残差检验：令残差为，计算(4.8)如果，则可以认为达到一般要求，如果，则认为达到较高的要求。（2）级比偏差值检验 首先由参考数据、按照式（2.4）计算出级比，再利用发展系数【见式（2.2）】求出相应的级比偏差如果<0.2，则认为达到一般要求，如果<0.1，则

17、认为达到较高的要求。Step 4、预测预报 由模型GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，实际问题的需要，给出相应的预测预报。第5章 应用意义灰色系统是指没有物理原形,运行机理不明确,信息不完全和不确定的系统。灰色系统其外部表现为结构关系的模糊性,动态变化的随机性,数据的不完全性和不确定性。社会经济、工业、农业、生态等系统中广泛存在着灰色系统。因此,对灰色理论的研究存在着重要的现实意义。对现实中广泛存在的灰色系统,要深刻研究系统内部的运动规律,揭示系统内各因素间联系,把握系统的变化发展趋势,对系统进行预测和控制,一个重要的基础工作是建立系统的数学模型。通过建立系统的数学模型,可以获取系统结构、功能和行为的有关