2017年南高自主招生考试题(解析)

1、专业资料.南充咼中2017年6.仃自主招生考试 数学题卷（一）（考试时间 100 分钟，全卷满分 150 分）一、选择题（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）1.若x3ya与xby是同类型，贝V a b的值为（）A.2B.3C.4D.5【解析】：根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解【解答过程】解： -x3ya与 xby 是同类项，a=1, b=3,则 a+b=1+3=4.答案：C 选项【点评】：本题以利用同类项的概念求字母的值为考点，主要考察了学生对代数式的把握。2.有 3 块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3 块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根

2、据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A.红B.黄C.黑D.白【解析】：本题主要考查规律探索。专业资料.个积木的每个面都是不同的颜色，由第一个积木可知绿色的对面不是白和黑，由第二个积木可知绿色的对面不是蓝和红，因此，绿色的对面为黄色。故 A、B、D 项不符合题意，C 项符合题意。答案：C 选项【点评】：正方形的面的对应关系是中学几何的一个难点，对学生的空间想象能力有一定的要求，对于这类题目，在空间想象的同时，再进行一系列的逻辑推理，便迎刃而解。3.如图，数轴上的AB、C 三点所表示的数分别为a、b、G若a b 3，b c 5，且原点 O 与 A、B 的距离分别为 4、1 则关于 点 O 的位

3、置，下列叙述正确的是（）C.在 C 的右边D.介于 B、C 之间【解析】：由 A B C 三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出根据题意，可知A.在 A 的左边或者 A 的右边B.在 B 的左边或者 B 的右边.专业资料.1, 即 可 得 出,再根据原点 0 与 A、B 的距离分别为 4、.专业资料.,结合 a、b、c 间的关系即可求出a、b、c 的值，由此即可得出结论【解答过程】 解.专业资料.专业资料.原点 0 与 A、B 的距离分别为 4、1,.专业资料.专业资料.点 0 介于 B、C 点之间.专业资料.答案：D 选项【点评】：本题主要考查了数轴以及绝对值的相关知识，熟练掌

4、握绝对值的性质是解题的关键。4.2014 年某省财政收入比 2013 年增长 8.9%, 2015 年比 2014 年增长 9.5%, 若 2013 年和 2015年我省财政收入分别为a 亿元和 b 亿元，则 a、b 之间满足的关系式为()A.b=a(1+8.9%+9.5%)B.b=a(1+8.9%x9.5%)2C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%)D.b=a(1 + 8.9%2(1+9.5%)【解析】：首先由 2014 年我省财政收入比 2013 年增长 8.9%，可以表示出 2014 年财政收入 =2013年的财政收入X(1+8.9%);再根据2015年比2014年增长9.5%,还可得

5、到2015年财政收入=2014年的财政收入X(1+9. 5%)=2013年的财政收入X(1+8.9%)X(1+9.5%);接下来，结合 a、b 分别表示 2013 年和 2015 年我省财政收入，至此即可列出 a、b 之间满足的关系式了 .【解答过程】 解：/ 2013 年我省的财政收入 a 亿元，2014 年我省的财政收入比2013 年增长8.9%, 2014 年我省的财政收入为a(1+8.9%)亿元./ 2015 年比 2014 年增长 9.5%, 2015 年我省的财政收入为a(1+8.9%)(1+9.5%) 亿元. 2015 年我省财政收入为 b 亿元， b=a(1+8.9%)(1+9

6、.5%).答案：C 选项【点评】：本题是一道根据题意列代数式的题目，找出题目中的等量关系是解题的关键。1 15. 一列数？?1,?2,?3,满足条件：？?1= ,?2=(n 2,且 n 为整数)，则？?2。仃2 1-：?- 1等于()1A.-1B.2C.1D.2.专业资料.【解析】：求出数列的前 4 项，继而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可.【解答过程】解： ai=,an=.专业资料.-a2=2,.专业资料.a3=-1,.专业资料.a4=专业资料.这列数每 3 个数为一循环周期,/ 2017 - 3=6721 ,a2oi7=ai=答案：B 选项.件的直线l有（）A.6 条B.

7、7 条【解析】：联立直线l: y px与直线y6.直线l : ypx（p是不等于 0 的整数）与直线yx 10的交点恰好是格点，那么满足条专业资料.C.8 条D.无数条x 10,求出 p 的取值范围即可求得结果.专业资料.【解答过程】解：联立直线与直线.专业资料.为整数,p 也为整数.专业资料.的取值范围为.专业资料.,有四条直线专业资料.那么满足条件的直线有 7 条.所以 B 选项是正确的 答案：B 选项【点评】：本题考查了两条直线相交或平行问题，难度较大，关键不要漏掉某条直线。7.如图，在菱形 ABCD 中, AB=BD 点 E, F 分别在 AB, AD 上，且 AE=DF. 连接 BF

8、 与 DE 相交于点 G,连接 CG 与 BD 相交于点 H,下列结论：1厶 AEDADFB;S四边形BCDGCG2；若 AF=2DF 贝 U BG=6GF.形4其中正确的结论（）,只有三条直线A.B.C.D.专业资料.【解析】：先证明厶 ABD 为等边三角形，根据“ SAS证明DFB2证明/ BGE=60 =ZBCD 从而得点 B、C D G 四点共圆，因此/ BGC2DGC=60，过点 C 作 CMLGB 于 M CN! GD 于 N.证明 CBMPACDN 所以 S四边形BCD=S四边形CMGN易求后者的面 积.3过点 F 作 FP/ AE 于 P 点，根据题意有 FP: AE=DF D

9、A=1: 3，则 FP: BE=1: 6=FG BQ 即 BG=6GF【解答过程】解： ABCD 为菱形， AB=AD/ AB=BDABD 为等边三角形./ A=Z BDF=60 .又 AE=DF AD=BD AEDADFB 故本小题正确；/BGEMBDG 在 DBF=Z BDG#GDF=60 =ZBCD即/ BGD+/ BCD=180 ,点 B、CD G 四点共圆，/ BGC2BDC=60，/DGCMDBC=60./ BGC2DGC=60.过点 C 作 CMLGB 于 M, CNL GD 于 N.则厶 CBMPCDN ( AAS.专业资料.S四边形BCD=S四边形CMGNS四边形CMG=2S

10、ACMG/ CGM=60 ,CG CM=.专业资料.CG-S四边形CMG=2SACM=2XCGAC 据此即可求得 AD 的长.解答：【解答过程】解：连接 BE./ BC 是直径./ AEB=/ BEC=90在直角 ABE 中，根据勾股定理可得：BE=A-AE2=82-22=60.AE=2,贝 U AD 的长为（D.12BF CABE 利用勾股定理即可求.专业资料.=5设FC=x 贝 U BF=5x, BC=6x又 B 自 BF?BC2即：30 x =60解得：x=2 2EC=FC?BC=6x=12.专业资料. EC=2AC=AE+EC=2+2.专业资料./ AD?AB=ARAC.专业资料. A

11、D=.专业资料.故选 B.答案：B 选项【点评】：本题主要考查了射影定理以及切割线定理，对于两个定理的灵活应用是解题关键.10.如图，二次函数y ax2bx c（a 0）的图像经过点1 , 2)且与X轴交点的横坐标分别为结论：4a 2bcvO,2a bvO,b28a4ac,aV-1,其中结论正确的有（)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个Xi,X2其中-1VX1V0 , 1Vx2V2,【解析】：由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.F 列解：由抛物线的开口向下知.专业资料.与 y 轴的交点为在

12、y 轴的正半轴上，得对称轴为.专业资料.而抛物线与 x 轴有两个交点.专业资料.,则.专业资料.由(1),(3)得到由 (1),(2)得 到.专业资料.上面两个相加得到所以 D 选项是正确的答案：D 选项【点评】：本题考查了二次函数图像与系数的关系。、填空题（本大题 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）5x 23(x 1)【解析】：首先分别解出两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小 取11.不等式组3x2的解集是.专业资料.不着，确定出两个不等式的公共解集即可 .专业资料.【解答过程】 解由得：由得：.专业资料.专业资料.不等式组的解集为：无解. 答案：无解【点评

13、】：此题主要考查了不等式组的解法，解题过程中要注意：1移项，去括号时的符号变化；2去分母时要注意不要漏乘没有分母的项；3不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向要改变12.观察下列关于X的单项式，探究其规律：x , 3x2, 5x3, 7x4, 9x5, 11x6,按照上述规律，第 2015 个单项式是【解析】：先观察所给的单项式，发现单项式的系数和x 的指数在变化，需要分开观察单项式的系数和 x 的指数变化规律；单项式的系数是1、3、5、7、9、11,是连续的奇数，x 的指数是 1、2、3、4、5、6,是连续的自然数【解答过程】解：观察题目中所给的单项式可知，第n 个单项式为：（2n-1

14、）xn.于是可知当 n=2015 时，第 2015 个单项式为：4O29x2015.答案：4O29x2015.13.计算：11212312 3 4/ 1249( )( )( ) (23344455 55505050专业资料.【解析】：仔细观察，知原式还可以是依此类推可以知道，将原式倒过来后再与原.专业资料.式相加，问题就转化为.专业资料.解：设，.专业资料.，专业资料.答案：612.5.【点评】：本题主要考查了有理数的混合运算解答此题时，采用了“倒序相加法” fF该方法在解答此类的数列时，会经常用到.14.如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段0P。按照逆时针方向旋转 45

15、 ,再将其长度伸长为，长度伸长为OR的 2 倍,得到线段OF2；如此下去，得到线段OP3,OP4,OPo的 2 倍，得到线段OR;又将线段OR按照逆时针方向旋转 45（n 为正整数），则点F8的坐标为_专业资料.【解析】：抓住变化的规律是解决这道题的主要方法。【解答过程】解：旋转 360十 45=8 次能落在x轴正半轴上, 并且每旋转一次OP扩大一倍，=OPi=2n,旋转到点Pn的坐标为（2n,0）,其中n满足的条件是n=8k（k=o,i,2的整数）.答案：（32, 0）215.已知t2是关于t的二次函数s 3t 6t f的图象与x轴两交点的横坐标，且x 10、y 10t2，那么y与x间的函数

16、关系式为，其函数图像在第象限内【解析】：由于 t1、t2是二次函数S3t26tf的图象与x 轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2=2,又x10t1,y 10t2,利用同底数幕的乘法法则计算即可解决问题.【解答过程】解：t1、t2是二次函数S3t26tf的图象与x轴两交点的横坐标,-t1+t2=2,而x 10t1, y10t2xy=10t1x10t2= 102=100,y=100 x(x0)./1000,x0二其函数图象在第一象限内。答案：y=100 x（x0），一。16.如图，一次函数y kx b的图象经过点 P （1, 4），且与X、y轴的正半轴交与AB 两点，点 O 为坐

17、标原点，当 AOB的面积最小时， k, b 的值为_._【解析】：可以把 A B 两点的坐标用 k、b 表示出来，再通过三角形的面 -专业资料.O1公式，即可求解。.专业资料.【解答过程】解:代入 函数.专业资料.专业资料.要使面积最大最大，即最小即可，专业资料.取-4三、解答题（本大题 6 个小题，共 80 分）17.（两个小题，每小题 7 分，共计 14 分）（1 ）先化简：（a一）-一2_3，再从-3、：5 3、a 3 a 3 a 2的数作为a的值代入求值.（2）已知2012 x Jx 2013 x，求x 20132的值.【解析】 （1） 本题主要考查求代数式的值。 先将括号里的式子通分

18、, 运用平方差公式进行化简，合并同类项并约分即可化为最简式， 分母、除式不为零，故选a53，代入计算即可。2、-2 中选一个你认为合适再将除法化为乘法，代入值时，应该使原式中的.专业资料.,由算术平方根的定义可以知道,最后结合平方差公式可求得答案(2 )由次根式有意义的条件可以知道后化简得.专业资料.【解答过程】：解：（1）.专业资料.(2).专业资料.专业资料.专业资料.18.(本小题满分 12 分)在圆内接四边形 ABCD 中,BCA 外角的平分线，F 为AD上一点，BC=AF 延长 DF 与 BA 的延长线交于 E.(1) 求证 ABD 为等腰三角形.(2) 求证 AC- AF=DF-

19、FE.【解析】本题主要考查圆中的计算问题和相似三角形 的应用。.专业资料.(1)根据圆内接四边形对角互补的性质、角平分线定义以及平角定理，可得，根据等角对等边的性质，可知，根据等腰三角形的定义判断即可。.专业资料.(2)根据等弦所对的弧长相等、等弧所对的圆周角相等以及平角定理，可得，根据圆内接四边形对角互补的性质和平角定理，可得，根据两角对应相等的两个三角.专业资料.形相似的判定定理，可知对应边成比例的性质和等弧所对的弦长相等的性质即可得证。【解答过程】：证明：（1 ）四边形 ABCD 是圆 0 的内接四边形,/DCB+ZDAB=180, / MCD DCB=180 ,/MCDNDAB/ CD

20、 为/ BCA 的外角的平分线，/MCDNACD / DCA 和/ DBA 都对弧 AFD/DCA2DBA/DAB 玄 DBA DB=DA ABD 为等腰三角形.（2 ）由（1） 知 AD=BD BC=AF 贝U弧 AFD=MBCD 弧 AF=MBC,/BDC2ADF,弧 CD=，且以22、33、为三边的三角形是等腰三角形，求b 的值.【解析】:(1)配方,变为完全平方的形式比较；(2)结合等腰三角形的性质和代数式变形来解 答.【解答过程】：解：(1)的 两 实 根 为关于 x 的方程.专业资料.专业资料.专业资料.专业资料.关 于 x 的 方 程的 两 实 根.专业资料.专业资料.专业资料.

21、不相等;.专业资料.则则不能构成三角形.专业资料.所以所以.专业资料.两边平方，得.专业资料.计算得出.专业资料.21.(本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系中， 直线l : y 2x 8分别与x轴、y轴 相交于 A、B两点，点 P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以点 P 为圆心，3 为半径 做OP.(1) 连接 PA 若 PA=PB 试判断OP 与x轴的位置关系，并说明理由;理可求得当 PB=PA 时 k 的值，再与圆的半径相比较，即可得出OP 与 X 轴的位置关系.(2) 根据正三角形的性质，分两种情况讨论：当圆心在 p 线段 0B 上时，当圆心 P 在线段 0B 的延长线上

22、时，从而求得的 k 值.【解答过程】解：P与X轴相切，.直线y =-2x-8与x轴交于A(-4,0)，与y轴交于B(0, -8), OA =4,OB =8.由题意，OP=-k,(2)当 k 为何值时，以OP 与直线l的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形【解析】 ：.专业资料.PB=PA=8+k.在RtAOP中,k242(8 k)2.k=-3,OP等于P的半径。.P与x轴相切。由y=-2x-8得A(-4,0), B(0, -8),由勾股定理,得PA= 16 k2, P宙k+8,由PA=PB得16 k2=k+8, 解得k=-3,P与x轴相切；(2)设P与直线I交于C D两点,连接PC PD当圆心R在线段0B上时，作RE丄CD于E,RCD为正三角形，/. DE=!,C=, PD=3.2 2/AO=ZREB=90 ,/AB(=ZR BE AOBAR EB.专业资料.A0=_p1E,即：2-AB RB 4 亦 RB- R（0,響8）.k=3152当圆心P2在线段OB延长线上时,R2B=3215 PO=B（+BF2=32 8.当k=3215 8或k=3!5 8时，以R与直线1的两个交点和圆心R为顶点的三角形是正三角形。22.(本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系中，点AB、C 在X轴上，点 D E 在y轴上, OA=OD=2OC=OE=4 DB 丄