区间线性规划及其应用研究

1、111学学 号：号：xxxxxxxxxxxxxxHEBEI UNITED UNIVERSITY毕毕 业业 论论文文GRADUATE THESIS 设计题目：设计题目：区间线性规划模型的求解及其应用的研究区间线性规划模型的求解及其应用的研究学生姓名：学生姓名：xxx专业班级：专业班级：xxxxxx学学 院：院：xxxxxx指导教师：指导教师：xxxxxx 2013 年年 5 月月 31 日日河北理工大学理学院-摘要线性规划模型广泛应用于交通运输业、工业、农业、经济计划和管理决策等领域。由于实际问题中存在许多不确定因素，因此模型中的系数不再是精确数。本文研究含有区间数的线性规划模型，根据区间数的序

2、关系和代数运算将含有区间数的线性规划模型分割为两个一般的线性规模型进行求解，通过数值算例说明该算法的有效性。实际中许多问题为区间多目标线性规划问题，本文采用模糊规划法求解该问题，通过伸缩因子将区间多目标线性规划模型分解为多个区间单目标线性规划模型进行求解，通过数值算例说明该算法的有效性。证券投资组合的优化模型是线性规划模型的成功应用典范，文章结合区间线性规划模型和证券投资组合给出实例进行分析，说明区间线性规划模型在证券投资中的应用。关键词 区间线性规划；区间数；序关系；模糊规划法；证券投资abstract-I-AbstractA linear programming model is wide

3、ly used in transportation, industrial, agricultural, economic planning and management decision-making and so. Because there are many uncertain factors in the practical problems, so the coefficients in the model is no longer accurate number. The linear programming model in this paper contains the int

4、erval number linear programming model, segmentation based on interval number and ordering relation algebra with interval numbers of two general linear scale to solve, through numerical examples illustrate the effectiveness of the algorithm.Many practical problems in interval multi-objective linear p

5、rogramming problem, this paper adopts fuzzy programming method to solve the problem, through the expansion factor will interval multi-objective linear programming model is decomposed into multiple interval single-objective linear programming model, a numerical example is used to illustrate the effec

6、tiveness of the algorithm.The optimization model of portfolio is linear programming model of successful application of the model, combining the interval linear programming model and portfolio analysis examples, illustrated the application of interval linear programming model in the securities invest

7、ment.key：interval linear programming；interval number；investment securities；Fuzzy programming; securities investment目 录-II-目 录摘要摘要.IABSTRACTABSTRACT.I第 1 章 绪论.1第 2 章 预备知识及背景内容.22.1 基本概念 .22.1.1 序关系.22.1.2 区间数 .22.2 线性规划模型的相关概念 .32.2.1 单目标线性规划模型的相关概念 .3 2.2.2 多目标线性规划模型的相关概念. 3第 3 章 单目标区间线性规划模型.53.1 区间

8、数的运算 .53.2 单目标区间线性规划模型的求解 .53.2.1 单目标区间线性规划模型的一般形式 .53.2.2 单目标区间线性规划模型的求解 .6第 4 章 多目标区间线性规划模型的建立及求解.10第 5 章 线性规划模型在证券投资中的应用.14结论.15参考文献.16谢辞.17河北联合大学理学院-0-第 1 章 绪论众所周知，传统的数学规划问题是人们在科学研究、工程技术、生产生活以及经济管理等众多领域中经常面对的问题，它所研究的是在众多的方案中如何找出最优方案。在现实生活和工程领域中，存在着许多不确定性现象，这种不确定现象主要表现在两个方面，随机性和模糊性。而在数学规划问题中，获得信息

9、往往不是精确的数值，而是一些区间数，这种不确定性现象会给决策者作决策时带来很大的困难。因此对于研究这种含有区间数的数学规划问题，具有很重要的理论和实际意义。本文给出了线性规划模型的概念建立及单目标和多目标线性规划问题的阐述以及决策变量目标函数的系数都为区间数的线性规划问题的建立以及求解，同时描述了这种类型的线性规划问题在实际中的应用。本文主要内容：（1）介绍线性规划模型的建立；（2）介绍多目标线性规划问题的建立及求解；（3）阐述了区间数线性规划问题的概念及求解；（4）结合证券投资和简单的运输问题说明区间线性规划在实际问题中的应用。 在真实的投资环境中,由于社会、经济和文化、心理等诸多因素的影响

10、,使得证券市场具有很强的不确定性,这种不确定性包含随机性和模糊性。在这个复杂的金融系统中,由于市场本身的随机性和模糊性以及影响市场变化的各种因素的模糊性的存在, 对于证券的期望收益率风险损失率和证券的流动性,投资者很难具体给出一个精确值。而区间方法是处理不确定性风险企业政府机构之间合作的桥梁风险投资机构与风险企业在技术研发和融资过程等方面存在着明显的信息不对称,中介机构能有效地减弱这种不对称,并降低交易成本。河北联合大学理学院-1-第 2 章 预备知识及背景内容2.1 基本概念2.1.1 序关系序关系是集合元素间的一种二元关系.定义 2.1.1非空集合 S,其元素之间定义了一种二元关系,若满足

11、:1.不可逆性：对任意a,b,ab,baS若有则没有。2 传递性：对任意a,b,c,ab,bc,acS若有则有。3 反自反性：aaa.S对任意，都没有S则称为上的一个偏序或偏序关系。若还满足：4.岐性：a,b,ab,ba,对任意S有且仅有一个成立。则称为 S 上的一个全序或全序关系。2.1.2 区间数定义 2.1.2 设为实数域，称闭区间为区间数，记作，其中R,aaA，全体区间数的集合记为。若，称区间数,aaR aaI0a为正区间数，正区间数的集合记为；若，称区间数,AaaI0a为负区间数，负区间数的集合为。,AaaI当时，称区间数为退化区间数，即退化为常数；aaa,Aaaaa当时，称区间数为

12、真区间数。aa,Aaa区间数的中点定义为，区间数的宽度定义为，也可2CaaA l Aaa河北联合大学理学院-2-称之为区间数的长度,其半长度为.2WaaA2.2 线性规划模型的相关概念2.2.1 单目标线性规划模型的相关概念线性规划模型的建立需要考虑几个条件：1.列出约束条件及目标函数；2.画出约束条件所要求的可行域；3.在可行域内求目标函数的最优解及最优值。 线性规划模型（Linear Programming，简称为 LP） ，它的一般形式为：1122nnmax minz c xc xc x（）=1111221nn12112222nn2m11m22mnnm1na xa xa x(,=)ba

13、xa xa x(,=)baxaxax(,=)bxx0 ，采用求和符号，可以简写为：max（min）z=jjj 1c xnijjij 1ja x,)bx0n （i=1,2,m j=1,2,n变量。满足全部约束条件的变量值称可行解，1x ,xn称为决策变量1x ,xn可行解的集合称为可行域，为 D。目标函数取得最大（最小）值的可行解称为最优解。1x ,xn2.2.2 多目标线性规划模型的相关概念 多目标线性规划模型如下：河北联合大学理学院-3- 111 11221221 122221 122maxnnnnrrrrnnzc xc xc xzc xc xc xzc xc xc x11 11221121

14、 1222221 12212,0nnnnmmmnnmna xa xa xba xa xa xba xaxaxbx xx有效解和弱有效解的定义：定义 2.2.1对于向量规定：11( ,),(,),nnxxxyyy (1),1,2, ;iixyxy in (2),1,2, ;iixyxy in (3) ,1,2, ;iixyxy in (4)但至少存在一个使.,1,2, ,iix yxy in 1,jnjjxy定义 2.2.2设如果不存在，使得*,xRxR则称是多目标规划问题的有效解（或弱有*()( )()( ),z xz xxz x或z*xR效解） 。河北联合大学理学院-4-第 3 章 单目标区

15、间线性规划模型3.1 区间数的运算3.1.1 区间数的运算定义：3.1.1 设区间数的运算定义如下：,( ),a bc dI R ,a bc dac bd ,a bc dad bc,., 0, 0ra rbrr a brb rarrR3.2 单目标区间线性规划模型的求解3.2.13.2.1 单目标区间线性规划模型的一般形式单目标区间线性规划就是目标函数为单一目标的含有区间数的线性规划，这一类问题因为涉及了区间数的线性规划，这里先给出了其一般形式：Max （Min）111212122212,nnnzccxccxccx （3-1）11 1112121111122121222222212211221

16、21( , ),( , ),( , ),0nnnnmmmmmnmnmmna xa xa xbba xa xa xbba xaxaxbbxx 简写为Max（Min）121,njjjjzCCx 121( , ),0nijjiijna xb bx ;1,2,im1,2,jn河北联合大学理学院-5-其中;均为区间数。1212,jjiiccb b1,2,im1,2,jn3.2.2 单目标区间线性规划模型的求解遇到所给出的最优解和最优值是区间数的实际问题中，常常采用需要具体的最优方案，基于此，下面给出规划（3-1）的一种新算法。这里讨论求最大值的情况，求最小值同理。由区间数的运算法则可将（3-1）转化为(

17、3-2) Max 11njjjzc x . .st21njjjc xs （3-2）21,1,2,nijjija xbim11,1,2,nijjija xb im 0,1,2,1,2, .jxim jn这里,s 是下面（3-3）的最优解。 Min 21njjjzc x (3-3). .st21,1,2,nijjija xbim 11,1,2,nijjija xb im 0,1,2,1,2, .jxim jn定理 3.2.1如果是问题（3-2）的最优解，则是问题（3-1）的最优解。其中*x*x，.*1(,)nxxxn*11jjjZc x河北联合大学理学院-6-证明：由于, ,设二者的可行集合为，很

18、明显0jx 1211nnjjjjjjc xc x,F G的，满足（3-2）的可行解一定被包含在（3-1）中，所以上述定理是成GF立的。综上，求解区间线性规划模型（3-1）的算法如下算法 3.1：步骤 1 求出线性规划（3-3）的解 s步骤 2 求解线性规划（3-2） ，得到问题（3-1）的最优解及最优值.*x*Z数值算例Max 1232.6,35.5,64.4,5zxxx . .st126.4,7xx1238,9xxx 31,3x 根据本文所给出的算法先求解下面一个线性规划的最优值Max 11232.65.54.4zxxx . .st126.4xx1238xxx31x 127xx1239xxx

19、33x 利用 lingo，求得的最优值为 ,1z147.3z *0,7,2Tx 接下来求下面的线性规划的最优值：Max 2123365zxxx . .st1232.65.54.447.3xxx河北联合大学理学院-7-126.4xx1238xxx31x 127xx1239xxx33x 利用 lingo 求出=52 ,因此是最优解，最优值是2z*2(0,7,2)Tx 0 7 2，*z .47.3,52.河北联合大学理学院-8-第 4 章多目标区间线性规划模型的建立及求解 这一节我们给出求解多目标区间数线性规划模型的算法在算法中，通过引入满意度函数的概念，得到最优满意度解多目标区间线性规划模型表示为

20、: 11111112122112212112222222111222,max,nnnnnnrrrrrrnrnnzcdxcdxcdxzcdxcdxcdxzcdxcdxcdx 11 11221111221 1222221221 1221212,0nnnnmmmnnmmna xa xa xbba xa xa xbba xaxaxbbx xx记:,()ijm nAa(,)ijijr nCc d111212(,)Tmmbbbbb，.12( ,)Tnxx xx12(,)TrZZ ZZ则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为:maxZCx. .st0AxbX模糊规划法由于多目标线性规划的目标函数不止一个,要想

21、求得某一个点,使得所有*x的目标函数都达到各自的最大值,这样的绝对最优解通常是不存在的。因此,在具体求解时,需要采取折衷的方案,使各目标函数都尽可能的大。模糊数学规划方法可对其各目标函数进行模糊化处理,将多目标问题转化为单目标,从而求该问题的模糊最优解。具体方法如下：河北联合大学理学院-9-先求在约束条件： 下各个单目标的最大值和最小0Axbx,1,2,iZ ir*iZ值，伸缩因子为iZ*,1,2,iiidZZir*1112max1,2,1,2,0,0nijjiiijnkjjkjnZc xdZd ira xb kmx xx 上式为单目标线性规划问题。最后求得模糊最优值为：.*1(,)TnZc

22、xx利用模糊规划法求解区间多目标线性规划模型将原区间多目标线性规划问题先拆解为几个单目标问题1111111212211max,nnnzcdxcdxcdx2212112222222max,nnnzcdxcdxcdx.111222max,rrrrrrnrnnzcdxcdxcdx11 11221111221 1222221221 1221212,0nnnnmmmnnmmna xa xa xbba xa xa xbba xaxaxbbx xx再利用文章中给出的求解单目标线性规划的方法分别求出各目标的最大值和最小值再确定伸缩因子为。iziz*,1,2,iiidZZir本文求解区间多目标线性规划问题的基本

23、步骤为：(1)多目标区间线性规划问题;(2)求解多个单目标区间线性规划问题;(3)利用区间数的运算规则转换为一般区间线性规划问题;(4)利用模糊数算法解决该问题。算例：河北联合大学理学院-10-Max 11232.6,35.5,64.4,5zxxx 21236,73,42,3zxxx . .st1220,30 xx 12345,50 xxx 310,50 x 先分别求两个线性规划的最优解：Max 11232.6,35.5,64.4,5zxxx. . st1220,30 xx12345,50 xxx310,50 x 求得 最优解为，最优值为。0 30 20，253 280，当目标函数取最小值时最

24、优解为,最优值为30,0,15144,165Max 21236,73,42,3zxxx . .st1220,30 xx12345,50 xxx310,50 x 求得最优解为,最优值为30,0,20220,270当目标函数为求最小值时最优解为,最优值为.0,20,25110,155所以.(136,60)id 可列出下面线性规划：Max z . .st123365136144xxx12374360210 xxx河北联合大学理学院-11-1230 xx1220 xx12350 xxx12345xxx350 x 310 x 120,0nx xx所以原线性规划最优解为.最优值为.(20.8 9.120)

25、Tx ，189.5,236河北联合大学理学院-12-第 5 章线性规划问题在证券投资中的应用 在真实的投资环境中,由于社会、经济、文化和心理等诸多因素的影响,使得证券市场具有很强的不确定性,这种不确定性包含随机性和模糊性。在这个复杂的金融系统中，由于市场本身的随机性和模糊性以及影响市场变化的各种因素的模糊性的存在, 对于证券的期望收益率、风险损失率和证券的流动性,投资者很难具体给出一个精确值，而区间方法是处理不确定性风险企业、政府机构之间合作的桥梁。在证券组合投资问题的研究中，难于用确定的常数来准确反映某证券的期望收益率与风险损失率。事实上，在现实的证券市场中，由于诸多因素如政治、经济、社会等

26、因素的影响，导致证券的期望收益率与风险损失率具有较强的模糊不确定性因此，在综合分析各因素影响的基础上，对某证券的期望收益率与风险损失率作出一个在一定精度范围内的估计，故采用区间值模糊数来刻划某证券的期望收益率与风险损失率，则显得更为科学与合理。 实际中经常把风险证券的收益率,投资风险及证券的流动性用区间数来描述,并结合绝对偏差风险函数的思想建立了一种关于区间数的证券投资组合选择模型。最后利用区间数的两种序关系将所提出的模糊线性规划问题转化为普通的参数线性规划问题进而求其解。下面通过简单实例说明问题下面是一个证券投资的投资项目和收益：2000 年 1-6 月份齐鲁石化，东北高速，武钢股份和东风汽

27、车 4 种证券的收益和风险损失率变化范围整理成表；证券名称齐鲁石化东北高速武钢股份东风汽车收益波动0.0138 0.1343，0.0258 0.2767，0.0339 0.1136，0.0347 0.0867，风险损失率0.0340.0260.0180.022河北联合大学理学院-13-依据银行规定去 r=，利率,建立持有期 t 内证券投资组合的0.20 0.22，00.05tr 优化模型为：+012max z=0.050.038,0.13430.0258,0.2767tttxxx 30.0339,0.1136tx40.0347,0.0867tx . .st12340.0340.0260.018

28、0.022ttttxxxx0.2,0.22 ()012341,0tttttntxxxxxx0,1,4i 先求解下列模型：max 012340.050.0380.02580.03390.0347tttttzxxxxx . .st12340.0340.0260.0180.0220.22ttttxxxx12340.0340.0260.0180.0220.2ttttxxxx () 012341,0tttttntxxxxxx0,1,4i 使用 lingo 求出 max 的值 s 再求max 012340.050.13430.27670.11360.0867tttttzxxxxx . .st012340.

29、050.0380.02580.03390.0347tttttxxxxxs12340.0340.0260.0180.0220.22ttttxxxx12340.0340.0260.0180.0220.2ttttxxxx () 012341,0tttttntxxxxxx0,1,4i 分别求得极大值和投资数 这样就能给出理想的投资方案和最大收益。解得最优解为（0.2，0.3，0.4，0.1） ，最大收益值为 1.6488.河北联合大学理学院-14-结论区间线性规划也是决策活动中经常碰到的问题，通过某些特殊的方法可以把这些看似复杂的区间线性规划转换成经典的线性规划并加以解决，由于证券投资存在风险性所以使

30、用区间线性规划模型合理的规划和分配是十分有必要和合理的。 本文通过给出新算法解决了含有区间数的单目标区间线性规划问题，为解决线性规划问题提供了新思路和新方法，再结合算例深入阐述了解题过程，同时印证了揭发的方便性。再利用模糊规划法将多目标问题转化为单目标问题，这就很好地解决了目标函数之间不能得到同一组最优解可以使得目标函数的值最大的问题，这样就可以较为方便的解决多目标区间线性规划问题。 证券投资往往是带有风险和不确定性的，区间数的存在加大了证券投资的难度，这样建立区间西岸行规划模型模型同时应用在证券投资上可以为证券投资做出合理的投资方案，使投资人获益更多而且可以尽量降低风险投资。 谢 辞-15-参考文献1陈希孺,倪国熙.数理统计学教程M.合肥:中国科学技术大学出版社.2010.2胡宝清,模糊理论基础M,