等差数列的概念及性质

1、等差数列的概念及性质第6 页（共 11 页）选择题（共 12 小题）1等差数列 an 中， a27，a6 23 ，则 a4（2A 1113C15D17在等差数列 an 中， a46， a3+a5 a10 ，则公差d （）A1CD3等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a8 a5 9， S8S5 66，则 a33（A 82B 97C 100D 1154在等差数列 an 中，已知 a2+a5+a12+a15 36，则 S16（）A 288B 144C 572D725已知 an 为递增的等差数列，a4+a7 2，a5?a68，则公差 d（）A 6B 6C 2D4n1与 a11 的等差中项是 1

2、5 ，a12 3 9，则a9（6在等差数列 a 中，已知a+a +aA 24B 18C 12D6nn，且 a18 12 12，则 S13（）7已知等差数列 a 的前 n项和为 S+a +aA 104B 78C 52D398等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a1 3，S5 35，则数列 an 的公差为（）A 2B 2C 4D 79在等差数列 an 中，若 a3+a5+2 a104，则 S13（ ）A 13B 14C 15D 1610 在等差数列 an 中，若 2a8 6+a 11，则 a4+a 6（）A 6B 9C 12D 18211等差数列 an 中， a2 与 a4 是方程 x 4

3、x+3 0 的两根，则 a1+a2+a3+a4+a5（）D 12D 10A 6B 8C 1012 等差数列 an 满足 4a3+a11 3a5 10，则 a4（）A 5B 0C 5 二填空题（共 5 小题） 13数列 an 中，若 an+1 an+3， a2+a8 26，则 a12 14 在等差数列 an 中， a1+3a 8+a 15 120 ，则 3a9 a11 的值为，则15已知等差数列 an ， bn 的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若16等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn， a1< 0， S17< 0， S18> 0，则当 n时， Sn 取得最小值17等差数

4、列 an 、 bn 的前 n 项和分别为 Sn、 Tn，若，则 三解答题（共 5 小题）18 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a3 7， a5+a7 26 （）求 an 及 Sn；（）令 bn（nN+），求证：数列 bn 为等差数列19 已知等差数列 an 满足 a1+a2 10 ， a5 a3 4（）求 an 的通项公式；）设等比数列 bn 满足 b2 a3， b3 a7，问： b6 是数列 an 中的第几项？n20在等差数列 a 中，（ 1 ）求 an， Sn；n 为其前 n 项的和，已知 Sa1 3 22 ， S545+a2）设数列 Sn 中最大项为 Sk，求 k 及 S

5、k21观察如图数表，问：（ 1 ）此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？2 ）此表第 n 行的各个数之和是多少？ 3） 2012 是第几行的第几个数？22（理）在 ABC 中， a， b，c 分别是角 A， B， C 的对边，且角 B，A， C 成等差数列222（ 1 ）若 a c b mbc ，求实数 m 的值；（ 2 ）若 a ，求 ABC 面积的最大值等差数列的概念及性质参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1等差数列 an 中， a27， a6 23，则 a4（）A 11B 13C 15D 17【分析】 利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【

6、解答】 解：等差数列 an 中， a2 7，a6 23，解得 a1 3，d 4 a4 a1+3d 3+12 15故选： C【点评】 本题考查等差数列的第 4 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题2在等差数列 an 中， a4 6， a3+a5 a10，则公差 d（ ）A1B 0C 1D 2【分析】 根据等差数列的性质和通项公式即可求出【解答】 解： a4 6， a3+a5 a10 ， 2a4 a4+6d ， d a4 1，故选： C【点评】 本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题3等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a8 a5 9， S8S5 6

7、6，则 a33（）A 82B 97C 100D 115【分析】先求出公差 d ，再根据求和公式求出a1 4 ，即可求出 a33【解答】解：等差数列 ann，且 a8a5 9 ， 的前 n 项和为S 3d 9， d 3 ， S8 S5 66 ， 8a1+× 35a1×3 66，a1 4，a33 a 1+32d 4+32× 3 100， 故选： C【点评】本题考查等差数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题 n 2 5 12 15 36，则 S16（）4在等差数列 a 中，已知 a +a +a +aA 288 B 144C 572D 72【分析】根据等差数列的性

8、质和求和公式计算即可【解答】解： a2+a5+a12+a15 2（ a 2+a 15 ） 36， a1+a16a2+a15 18， S16 8× 18 144，故选： B【点评】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题5已知 an 为递增的等差数列， a4+a7 2， a5?a6 8，则公差 d（）A 6B 6C 2D 42【分析】 a5， a6 是方程 x 2x8 0 的两个根，且 a5< a6，求解方程得答案 【解答】解： an 为递增的等差数列，且a4+a72， a5?a6 8，a5+a6 2，2a5， a6 是方程 x 2x 8 0 的两个根，且 a5&

9、lt; a6，a5 2， a6 4，d a6 a5 6，故选： A【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题n1 与a11 的等差中项是 15， a12 39，则 a96在等差数列 a 中，已知 a +a +aA 24B 18C 12D 6a9 的值【分析】利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出 【解答】解：在等差数列 an 中， a1 与 a11 的等差中项是 15， a1+5d 15，a1+a2+a3 9，第8页（共 11 页）10 在等差数列 an 中，若 2a8 6+a 11，则 a 4+a 6（） a1+d 3， 联立 ，得 a1 0， d

10、3 ，a9 a1+8d 0+24 24故选： A 点评】 本题考查等差数列的第 9 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1+a8+a12 12，则 S13（A 104B 78C 52D 39分析】 数列 an 为等差数列，1 8 a +a +a12 可以用首项和公差表示，进而得到a7，求出13S【解答】解：因为已知等差数列 an故 a7 4 ，所以 S13n， 的前 n 项和为 S13a7 13 ×4且 a18 12 3a1+a +a +18d 712，3a52第11页（共 11页）故选： C点评】本题

11、考查了等差数列的通项公式，等差中项，前n 项和公式，属于基础题8等差数列A2nn ，若 a1 3， a 的前 n 项和为 SB 2S5 35，则数列 an 的公差为（ D 7C 4分析】利用等差数列的求和公式即可得出解答】解： a1 3 ， S5 35， 5× 3+ 35，解得 d 2 故选： B【点评】 本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9在等差数列 an 中，若 a3+a5+2 a104，则 S13（）A 13B 14C 15 D 16【分析】 由 a3+a5+2 a10 4，可得 4a7 4，解得 a7，利用 S1313a7 即可得出【解答】 解

12、： a3+a5+2 a10 4， 4a7 4，解得 a7 1，则 S1313a7 13故选： A 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题A 6B 9C 12 D 18【分析】 由等差数列 an 中， 2a8 6+a 11 ，可得 a5 2a8 a 11 ，利用 a4+a6 2a5，即 可得出【解答】 解：由等差数列 an 中， 2a8 6+a 11 ， a5 2a8 a11 6， 则 a4+a6 2a5 12 故选： C【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题211等差数列 an 中， a2

13、与 a4 是方程 x 4x+3 0 的两根，则 a1+a2+a3+a4+a5（）A 6B 8C 10 D 12【分析】 利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出2【解答】 解： a2 与 a4 是方程 x 4x+3 0 的两根， a2+a4 4 2a 3，解得 a3 2 ， 则 a1+a2+a3+a4+a55a3 10 故选： C【点评】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题12 等差数列 an 满足 4a3+a11 3a5 10，则 a4（）A5B 0C 5 D 10【分析】 利用通项公式即可得出【解答】 解：设等差数

14、列 an 的公差为 d， 4a3+a11 3a5 10，4（ a1+2d） +（ a1+10d ） 3（ a 1+4d ） 10，化为： a1+3d 5 则 a4 5故选： C【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二填空题（共 5 小题）13数列 an 中，若 an+1 an+3， a2+a8 26，则 a12 34 【分析】 先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案【解答】 解： an+1 an+3，数列 an 为等差数列，其公差d 3， a2+a8 26 ， 2a 1+8d 26 ， a1 1 ， a12 1+11 × 3 34 ，故

15、答案为： 34点评】 本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题4814在等差数列 an 中， a1+3a 8+a 15120 ，则 3a9 a11 的值为【分析】 an 为等差数列，所以 a11 也表示为用 a8 表示即可18 15 120? 5a 1 a +3a +a+35d 120? a824 ，然后将 3a9解答】 解：因为数列 an 为等差数列，所以 a1+3a8+a15 120 可化为 5a 1+35d 120 可化为 a8 24 ，又因为 3a9a11 2a1+14d 2a8 48，故填： 48 点评】 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题nnn，Tn，若，则15已知等

16、差数列 a ， b 的前 n 项和分别为S分析】由等差数列的性质得，由此能求出结果解答】 解：等差数列 an ， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn， ，故答案为：【点评】 本题考查等差数列的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn， a1< 0， S17< 0， S18> 0，则当 n 9 时， Sn 取得 最小值【分析】 推导出 a8+a9< 0，a9> 0， a8< 0，由此能求出当 n 8 时， Sn 取得最小值第7页（共 11 页）解答】 解：等差数列

17、 an 中，前 n 项和为 Sn，a1< 0，S17<0， S18> 0 ， a9< 0， a9+a10>0，a9< 0， a10> 0， a1< 0 ，当 n 9 时， Sn 取得最小 值故答案为： 9 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和最小时 n 的值的求法， 考查等差数列等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题17等差数列 an 、 bn 的前 n 项和分别为 Sn、 Tn，若，则 【分析】 由题意可设 Sn kn（n+1）， Tn kn（ 2n 1），（ k0）由此求得 a8， b9，则答 案可求【解答】 解，依题意，设 Sn kn（

18、 n+1 ）， Tnkn（ 2n1），（ k 0）则 a8 S8 S7 72k 56k 16k ， b9 T9 T8 33k，所以，故填： 【点评】 本题考查等差数列的性质，考查等差数列前 n 项和的应用，是中档题三解答题（共 5 小题）18 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a3 7， a5+a7 26 （）求 an 及 Sn ；（）令 bn（nN+），求证：数列 bn 为等差数列【分析】（）设等差数列的首项为a1，公差为 d，利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1 3， d 2，由此能求出 an， Sn（）由 ，能证明数列 bn 为等差数列【解答】 解：（）设等差数列的首

19、项为a1，公差为 d， a3 7， a3+a2 26 由题意得 ，解得 a1 3 ， d 2 ， an a1+（ n 1 ）d 3+2 （n 1） 2n+1 n（n+2 ）证明：（） ，bn+1 bn n+3 （ n+2 ） 1，数列 bn 为等差数列【点评】 本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的求法，考查等差数列的证明，考查等差数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力， 考查函数与方程思想， 是基础题 19 已知等差数列 an 满足 a1+a2 10 ， a5 a3 4（）求 an 的通项公式；（）设等比数列 bn 满足 b2a3， b3 a7，问： b6是数列 an 中的第几项？

20、【分析】（）设 an 公差为 d ，由已知列式求得首项与公差，则an 可求；（）由 b2 a3 8， b3 a7 16 ，得公比 q 2 ，进一步求得 b6，代入等差数列的通项公 式求得 n 值得答案【解答】 解：（）设 an 公差为 d，由 a5 a3 4 2d? d 2，由 a1+a2 10 2a1 +d? a 14， an 2n+2 ；（）由 b2 a38， b3 a7 16 ，得公比 q 2，令 an 2n+2 128 ，得 n63即 b6 为 an 中的第 63 项【点评】 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题20在等差数列 an 中， Sn为其前 n 项的和，已知

21、a1+a3 22， S545（ 1 ）求 an， Sn；（ 2）设数列 Sn 中最大项为 Sk，求 k 及 Sk【分析】（ 1）利用已知条件列出方程组，求出数列的首项与公差，然后求解an， Sn；（ 2 ）利用变号的项，求解最值即可【解答】（ 10 分）解：（ 1）由已知得，所以 ，第16页（共 11 页）所以 an a1+（ n 1） d 2n+15 ；（ 2 ） 由 an 0 ， 即 2n+15 0 ， 可 得 n 7 ， 所 以 S7 最 大 ， k 7 ， S7 49 【点评】 本题考查等差数列的性质，数列求和以及通项公式的应用，考查计算能力 21观察如图数表，问：（ 1 ）此表第 n

22、 行的第一个数与最后一个数分别是多少？（ 2 ）此表第 n 行的各个数之和是多少？（3） 2012 是第几行的第几个数？【分析】（ 1）写出此表 n 行的第 1 个数，且第 n 行共有 2n1 个数，且成等差数列，由此 求出第 n 行的最后一个数；（ 2 ）由等差数列的求和公式求出第n 行的各个数之和；（ 3 ）设 2012 在第 n 行，列不等式求出n 的值，再计算 2012 在第该行的第几个数n1【解答】 解：（ 1）此表 n 行的第 1 个数为 2 ，n 1第 n 行共有 2 个数，依次构成公差为 1 的等差数列； （ 4 分）n 1n 1n由等差数列的通项公式，此表第 n 行的最后一个数是 2 +（ 2 1）× 1 21 ； （8 分）（ 2 ）由等差数列的求