2020-2021初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题含答案

1、2020-2021初三数学圆的综合的专项 培优易错难题练习题含答案一、圆的综合1.如图，AB是半圆。的直径，C是窟的中点，D是，密的中点，AC与BD相交于点E.(1)求证：BD平分/ABC;(2)求证：BE=2AD；_ DE(3)求的值.BE【答案】(1)答案见解析(2) BE=AF=2AD (3)2【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；(2)延长BC与AD相交于点F,证明BCEACF根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD(3)连接OD交AC于H.简要思路如下：设 OH为1,则BC为2, OB=OD=J2 ,DH=J2 1

2、,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1);D是费的中点.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延长 BC与AD相交于点F,证明BCEACF, BE=AF=2ADC(3)连接OD交AC于H.简要思路如下:设 OH 为 1,则 BC 为 2, OB=OD=72 ,DH=、,2 1,DE DHBE - BCDE= V2 iBE22.在。中，点C是AB上的一个动点（不与点A, B重合），/ACB=120,点I是/ABC的 内心，CI的延长线交。于点D,连结AD,BD.(1)(2)(3)求证：AD=BD.猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由.若。的半径为2,点E

3、, 5是AB的三等分点，当点 C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长.【答案】（1）证明见解析；（2） AB=DI,理由见解析（3） R39【解析】 分析：（1）根据内心的定义可得 CI平分/ACB,可得出角相等，再根据圆周角定理，可证 得结论；（2）根据/ACB=120, /ACD=/ BCD,可求出/ BAD的度数，再根据 AD=BD,可证得 ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明/BID=/IBD,得出ID=BD,再本艮据AB=BD,即可证得结论；（3）连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理

4、、解直角三角形，可求出 AD的长，再根据点 E, F是弧AB ? 的三等分点，ABD是等边三角形，可证得 ZDAI1 = ZAI1D,然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：二.点I是/ABC的内心.CI 平分 / ACB/ ACD=Z BCD,弧 AD=M BD.AD=BD(2) AB=DI / BCD* X 12住60 °弧 BD=M BD/ DAB=Z BCD=60 °.AD=BD.ABD是等边三角形, .AB=BD, /ABD=/ C .I是4ABC的内心BI 平分 / ABC/ CBI=Z ABI Z BID=Z C+Z CBI, /

5、IBD=/ABI+/ABD/ BID=Z IBD.ID=BD .AB=BD .AB=DI(3)解：如图，连接 DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DIi为半径的弧 / ACB=120，弧 AD=M BD, 1.1 / AEDK / ACBK X 120=60Jk:圆的半径为2, DE是直径.DE=4, / EAD=90 °，AD=sin/AEDX D匿 X 4哲 点E, F是弧AB ?的三等分点，ABD是等边三角形，/ ADB=60 ° 弧AB的度数为120； 弧AM、弧BF的度数都为为40 °/ ADM=20 =/ FAB/ DAIi=

6、Z FAB+/ DAB=80° / AIiD=180°-Z ADM-Z DAIi=180 -20 -80 =80° / DAIi=/AIiD，AD=IiD=2 弧Iil2的长为：?加“班瓦L80 - 9点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的 弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透3.如图i,已知AB是。的直径，AC是。的弦，过。点作OF，AB交。于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点 F,点G是EF的中点，连接 CG判断CG与。的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB2=BC?BF;(3)如

7、图 2,当/DCE= 2/F, CE= 3, DG= 2.5 时，求 DE 的长.却图2【答案】(1) CG与。相切，理由见解析；(2)见解析；(3) DE= 2【解析】【分析】(1)连接CE由AB是直径知4ECF是直角三角形，结合 G为EF中点知/ AEO= / GEC=/GCE 再由 OA= OC 知/OCA=/OAC,根据 OF，AB 可得 / OCA+/GCE= 90；即OCX GC,据此即可得证；.一 BC(2)证ABJFBO得一BOAB,结合 AB=2BO即可得;BFEC(3)证 ECDEGCH一EG ECED ,根据 CE= 3, DG= 2.5 知 3DE 2.53DE ,解之

8、可得.【详解】解：（1） CG与。O相切，理由如下:如图1,连接CE,.AB是。的直径，/ ACB= / AC3 90 °, 点G是EF的中点，.GF= GE= GC,/ AEO= ZGEC= / GCE .OA=OC,/ OCA= / OAC, .OFXAB, / OAG/AEO= 90 °, / OCA+Z GCE= 90 °,即 OCX GC,CG与。O相切；(2) Z AOE= Z FCE= 90°, ZAEO= Z FEC/ OAE= / F,又: / B= / B, .ABCAFBO,BC AB , ,即 BO?AB= BC?BF,BO BF

9、 .AB=2BO, 2OB2 = BC?BF；(3)由(1)知 GC= GE= GF,/ F= / GCF/ EGC= 2/F,又 / DCE= 2/ F,/ EGC= / DCE, / DEC= / CEG .ECtDAEGC；EC EDEG EC. CE= 3, DG= 2.5,3 DE , DE 2.53整理，得：DE2+2.5DE- 9=0,解得：DE= 2 或 DE= - 4.5 (舍)，故 DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与 性质及直角三角形的性质等知识点.4.如图，AC是。的直径，OB是。的半径，PA切。于点A, PB

10、与AC的延长线交于 点 M , / COB= / APB.(1)求证：PB是。的切线；(2)当MB=4, MC=2时，求。的半径.【答案】(1)证明见解析；(2) 3.【解析】【分析】(1)根据题意 /M + /P= 90°,而/COB=/APB,所以有 ZM + ZCOB= 90°,即可证明 PB 是。的切线.(2)设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明：(1) .AC是。的直径，PA切。O于点A, PAX OA在 RtA MAP 中，/ M + / P= 90 ；而 ZCOB= / APB,/ M+/ COB=

11、90 °,/ OBM=90 °,即 OB± BP,.PB是。的切线；(2)设。O的半径为r,OM r 2 ,OB r ,BM 4Q OBM为直角三角形.OM2 OB2 BM2,即(r 2)2 r2+42解得：r=3,OO的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是 证明半彳5垂直.5.如图，在 RtABC中， C 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,点O在AB上，OO 经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.(1)求证：BC是。的切线;(2)若OO的半径是2cm,【答案】(1)证明见解析E是弧AD的中

12、点，求阴影部分的面积(结果保留兀和根号)c 2(2) 一3(1)连接OD,只要证明OD/AC即可解决问题；(2)连接OE, OE交AD于K.只要证明4AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD. . OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ；OD±BC, . . BC是OO的切线.(2)连接OE, OE交AD于K.AE DE，OE± AD. ./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等边

13、三角形， ZAOE=60°,，S呻S 扇形 oae- Sa aoe 602- - 22 7336043【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型.6. AB是。直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 P在半圆弧 AB 上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已知AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ；(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 C

14、D的长；【答案】(1)证明见解析;(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.2) CD=14Y2； (3)当PC为。直径时，4PCD的最大面积 350.3【解析】【分析】AC BC(1)由圆周角定理可得 / PCD=Z ACB=90,可证ABO PCD,可得 即可得CP CD '证.(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求 PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值；1，4(3)当点P在AB上运动时，Svpcd PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得23c1422,_，Svpcd一P

15、CPC PC ,当PC最大时， PCD的面积最大，而PC为直径时最233大，故可求解.【详解】证明：(1),. AB为直径, / ACB=90 PCX CD, / PCD=90/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB.ABCAPCD.AC BCCP CD.AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90°.BC=4, AC=3,当点P运动到AB的中点时，过点 B作BE,PC于点E.点P是Ab的中点，/ PCB=45 ；且 BC=4.CE=BE=2 BC=2、.2 / CAB=Z CPBBC 4BEtan / CAB= =tan / CAB=

16、AC 3PEPE=.PC=PE+CE=32+22 =27.2.AC?CD=PC?BC3>CD=7.2X414 2.CD=31(3)当点P在AB上运动时，SaPCD=- >PC>CD,2由(1)可得：CD=4 PC314 2 oSapcd= - PC PC = PC2, 233当PC最大时，APCD的面积最大,，人22 50当PC为。直径时， PCD的最大面积=-X2=33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.BC,7.如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以。为圆心，OB为半径作圆，分别与AB相交于点

17、 D, E,连接AD.已知/CAD=/B.(1)求证：AD是。的切线；(2)若 CD= 2, AC= 4, BD= 6,求。的半径.【答案】(1)详见解析；(2) 述.2【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到Z1=Z3,根据直角三角形中角的大小关系得出ODXAD，从而证明AD为圆。的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】-.OB=OD,.1. / 3= / B,一/ B= / 1 ,Z 1 = Z 3,在 RtACD中，/1 + /2=90°,/ 4= 180 - ( Z2+Z 3) = 90 °,ODXAD,则AD为圆。的切线；(

18、2)过点。作OF, BC,垂足为F,.OFXBD1.DF= BF= BD=32 . AC= 4, CD= 2, /ACD= 90 ° -AD= Jac2 cd2=2V5 / CAD= Z B, Z OFB= / ACD= 90.,.BFOAACDBF _ OB AC =AD3 OB即一二4 2.5，OB="2【点睛】 此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相 似的判定条件是解题的关键8.如图，在 4ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0与边BC交于点D, DEL AC,垂足为 E,交AB的延长线于点F.求证：EF是。的切线；(2)若/

19、C= 60°, AC= 12,求？D 的长.(3)若 tanC= 2, AE= 8,求 BF的长.【答案】(1)见解析；(2) 2 ;兀(3)10.3分析：(1)连接OD,根据等腰三角形的性质：等边对等角，得/ABC=/ C,/ABC=/ODB,从而得到/C=/ODB,根据同位角相等，两直线平行，得到OD/AC,从而得证OD，EF,即EF是。的切线；(2)根据中点的性质，由 AB=AC=12,求得OB=OD=1AB=6,进而根据等边三角形的判 2定得到OBD是等边三角形，即 ZBOD=60P,从而根据弧长公式七届即可；(3)连接AD,根据直角三角形的性质，由在RtDEC中，tanC

20、匹 2设CE=xMCEAE _DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的长，然后根据相似三DE角形的判定与性质求解即可 .详解：(1)连接 OD AB=AC . / ABC玄 C. OD=OB . . / ABC=/ ODB，/C=/ ODBOD/ AC又DE，AC OD± DE,即 OD± EF.EF是。O的切线，、八 i i 1(2) AB=AC=12 OB=ODj AB =6由(1)得：/ C=/ ODB=6CC/ BOD=6CC即Bd的长2(3)连接 AD -. DEXAC / DECN DEA=9C0在 RtA DEC中，tanC

21、DE 2 设 CE=xB DE=2x CE AB 是直径/ ADB=Z ADC=9C0 / ADE+/ CDE=9C?在 RtA DEC中，/ C+Z CDE=9(J一 AE 一/ C=Z ADE 在 RtA ADE 中，tan ADE 2 DE AE=8,DE=4 则 CE=2，AC=AE+CE=1C直径 AB=AC=10 贝U OD=OB=51.OD/AEAODFAAEFOF ODBF 5 5 即：AFAEBF 10 8解得：BF=1°即BF的长为”.33点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及 相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握

22、辅助线的作法，注意掌握数形结合思 想的应用.9.如图，已知 AB为。的直径，AB=8,点C和点D是。上关于直线AB对称的两个点，连接 OC AC,且/BOC< 90°,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线 CG与线段AB的延长线相交于点 F,与直线 AD相交于点G,且/ GAF= / GCE（1）求证：直线CG为。的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接 CH,满足CB= CH,CBHkOBC求OH+HC的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；5.【解析】分析：（1）由题意可知：/CAB=/ GAF,由圆的性质可知：/CAB=/ OCA,所以 /OCA=/

23、GCE，从而可证明直线 CG是。O的切线；（2） 由于CB=CH所以/CBH=/ CHB,易证/ CBH=/ OCB,从而可证明 CBHAOBC；BC HB 一 BC2 由CBHMOBC可知：所以HB=，由于BC=HC所以BC2OH+HC=4-，一 +BC,利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值.详解：（1）由题意可知： /CAB=/ GAF, .AB是。的直径，/ ACB=90 ° .OA=OC,Z CAB=Z OCA / OCA+Z OCB=90 ； / GAF=/ GCE / GCE+Z OCB=Z OCA+Z OCB=90 ；OC是。的半径，直线CG是。的切线；(2)C

24、B=CFi/ CBH=Z CHB,.OB=OC,/ CBH=/OCB, .CBHAOBCBC _ HBOCBC.AB=8, BC2=HB?OC=4HB HB- BC2 HB=4BC2.OH=OB-HB=4 -4.CB=CHBC2.OH+HC=4+BC,当 / BOC=90 , 此时BC=4j2 / BOC< 90 ；.0< BCv 4近,令 BC=x贝U CH=x,2BH= 4OH HC当x=2时,.OH+HC可取得最大值，最大值为点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的 判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识.10.在平面直角坐标系

25、 xOy中，对于点P和图形 W,如果以P为端点的任意一条射线与图 形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形 W.图1图2图3(1)如图1,已知点A (-2, 0),以原点。为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于 点 b.在 Pi(0, 4), P2(0, i), P3(0, -3), P4(4, 0)这四个点中，独立于 Ab的 点是;(2)如图 2,已知点 C (-3, 0) , D (0, 3) , E (3, 0)，点 P是直线 l: y=2x+8 上的一 个动点.若点P独立于折线CD-DE,求点P的横坐标xp的取值范围；(3)如图3, OH是以点H (0, 4)为圆心，半径为1的圆.

26、点T (0, t)在y轴上且t>- 3,以点T为中心的正方形 KLMN的顶点K的坐标为(0, t+3),将正方形 KLMN在x轴及 x轴上方的部分记为图形 W.若。H上的所有点都独立于图形W,直接写出t的取值范围.【答案】(1) P2, P3； (2) xpv-5 或 xp>-5 . (3) -3vtv1-T2 或 1 + 石 vt7-J2 . 3【解析】【分析】(1)根据点P独立于图形 W的定义即可判断；(2)求出直线DE,直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；(3)求出三种特殊位置时 t的值，结合图象即可解决问题 .【详解】(1)由题意可知：在P1(0, 4) ,P2(

27、0, 1) ,P3(0,-3),P4(4, 0)这四个点中，独立于Ab的点是P2, P3.(2) . C (-3, 0) , D (0, 3) , E (3, 0),直线CD的解析式为y=x+3,直线DE的解析式为y=-x+3,y= 2x 8由.y= x 3解得x二y=5,可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5,2由尸2x 8y= x 3x二53 53 ,可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-?143xpv-5 或 xp>-5 .3OT=OH+KH-KT=4+/2 -3=1+ 2z ，t（0, 1+T2）,此时 t=i+ 72,如图3-3中，当线段 MN与。H相切于点E时，连接EH.(

28、3)如图3-1中，当直线KN与OH相切于点E时，连接EH,则EH=EK=1 HK=J2 ,.OT=KT+HK-OH=3+/2 -4= 72 1 ， .T （0, 1-，此时 t=1-J2，如图3-2中，当线段KN与。H相切于点E时，连接EH.，满足条件的点 P的横坐标xp的取值范围为:当-3vtv1-J2时，O H上的所有点都独立于图形OT=OM+TM=4- 72 +3=7- 72，.T (0, 7-&)，此时 t=7-J2，.当1+T2vtv7-J2时，OH上的所有点都独立于图形 W.综上所述，满足条件的t的值为-3vtv1-应或1 +J2 vtv7-J2 .【点睛】本题属于圆综合题

29、，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形 W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.11.对于平面直角坐标系 xoy中的图形P, Q,给出如下定义： M为图形P上任意一点，N 为图形Q上任意一点，如果 M, N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P,Q间的 非常距离”，记作d (P,Q) .已知点A (4,0) , B (0,4),连接AB.(1) d (点 O, AB) = ；(2)。半径为r,若d (OO, AB) =0,求r的取值范围；(3)点 C( 3, -2),连接 AC, BC, OT 的圆心为 T (t, 0)

30、,半径为 2, d (OT, ABC),且0Vd <2,求t的取值范围.Vi654 -37 LI 口IIIIIIIIIIIIIIIII h-10 -9 -8 -? -6 -5-3 -1 -1 O L 2 3 4 5 6 7 810 X-4-【答案】(1) 2&；(2) 272 r 4；(3) 2y/5 2 t 押 2或 6<r<8.【解析】【分析】(1)如下图所示，由题意得：过点 。作AB的垂线，则垂线段即为所求；(2)如下图所示，当 d (。0, AB) =0时，过点。作OELAB,交AB于点E,则：OB=2, OE=2,2',即可求解；(3)分。T在 AB

31、C左侧、OT在4ABC右侧两种情况，求解即可.【详解】(1)过点。作ODLAB交AB于点D,根据非常距离”的定义可知,.AB .142 42d (点 O, AB) =OD= =2也；(2)如图,当 d (OO, AB) =0 时,过点 O 作 OE± AB,则 OE=2& ,OB=OA=4, O O与线段AB的 罪常距离”为0,272 r 4；(3)当OT在4ABC左侧时，如图，当OT与BC相切时，d=0,BC= .32 62 =3 5,过点C作CE! y轴，过点T作TF, BC则 TFH BEC,TF THBE BC即2 =6TH3、5TH= .5,. HO/ CE,.BH

32、OABEC, .HO=2,此时 T(-J5-2, 0);当d=2时，如图，r同理可得，此时T ( 2 J5 2 );0<d <2, 275 2 t75 2；当。T在ABC右侧时，如图,.0<d <2,，6<r<8;综上， 2，5 2 tV5 2 或 6<r<8.【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用.12.如图，已知Rt ABC中， ACB 90°，AC 8 , AB 10,点D是AC边上一 点(不与C重合)，以AD为直径作eO,过C作CE切eO于E ,交AB于F

33、 .(1)若e O的半径为2,求线段CE的长；(2)若AF BF ,求e O的半径；(3)如图，若CE CB，点B关于AC的对称点为点 G ,试求G、E两点之间的距 离.【答案】(1)CE 4J2； (2)eO的半径为3； (3)G、E两点之间的距离为9.6.【解析】【分析】(1)根据切线的性质得出 /OEC=90,然后根据勾股定理即可求得；(2)由勾股定理求得 BC,然后通过证得 OE84BCA,得到OE =OC ,即1=8-r ,解BC BA 6 10得即可；(3)证得D和M重合，E和F重合后，通过证得 GBEABC, GB GE 即AB AC12 GE . 口一 ，解得即可.108【详解

34、】如图，连结OE . CE切 e O 于 E ,ACAOEC 90 .AC 8 , e O半径为2,OC 6, OE 2.CE OC2 OE2 4 2；(2)设e O半径为r.在 Rt ABC 中， ACB 90 , AB 10, AC 8,BC .AB2 AC2 6. AF BF ,AF CF BF .ACF CAF. CE切 e O 于 E ,OEC 90 .OEC ACB, OEC BCA.OE OCBC BAr 8 r610解得r 3. e O的半径为3；连结EG、OE ,设EG交AC于点M ，由对称性可知，CB CG.又 CE CB,CE CG.EGCGEC. CE切 e O 于 E

35、 ,GECOEG 90.又EGCGMC 90, OEGGMC .又GMC OME , OEGOME. OE OM .，点M与点D重合.，G、D、E三点在同一条直线上.连结AE、BE ,AD是直径， AED 90 ,即 AEG 90 .又CE CB CG,BEG 90 .AEB AEG BEG 180 ,A、E、B三点在同一条直线上.，E、F两点重合.GEB ACB 90 , B B,GBE ABC.GB GE12 GE,即.AB AC10 8GE 9.6.故G、E两点之间的距离为9.6.【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及

36、A、E、B三点在同一条直线上是解题的关键 .13.如图，AB是e O的直径，弦CD AB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点（2）连接 BC ,若 BCF 30 , BF 2 ,求 CD 的长.【答案】（1）见解析；（2） 2J3【解析】【分析】（1）连接OD,由垂径定理证 OF为CD的垂直平分线，得 CF=DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/OCD,再证 ZCDO +/CDB=/OCD+/DCF=90可得 ODDF,结论成立.（2）由/OCF=90°, /BCF=30°,得/OCB=60°,再证 A OC的等边三角形，得 /COB=60°,

37、可 得/CFO=30,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接OD.CF是。O的切线/ OCF=90 ° / OCD+Z DCF=90 ° 直径ABL弦CD .CE=ED即OF为CD的垂直平分线.CF=DF/ CDF=Z DCF .OC=OD,/ CDO=Z OCD / CDO +/ CDB之 OCD+Z DCF=90 ° ODXDF .DF是。O的切线（2）解：连接ODZ OCF=90, °Z BCF=30 °/ OCB=60 °.O

38、C=OB A OCBj等边三角形，/ COB=60 °/ CFO=30 °FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/ CEO=90 / COE=60CE 立sin COEOC 2 .CF , 3A .CD=2 CF 2,3【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形.解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有 30。角的直角三角形性质，巧解直角三角形.14.如图，ab是e O的直径，DF切e O于点D, bf DF于F ,过点a作AC /BF 交BD的延长线于点C.(1)求证：ABC C;(2)设CA的延长线交e O于E, BF交e O于G ,若DG的度数等于60°,试简要说明 点D和点E关于直线AB对称的理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1)作辅助线，连接 OD,由DF为。的切线，可得 ODL DF,又BF, DF, AC/ BF,所 以 OD/ AC, / ODB=Z C,由 OB=OD得 / ABD=Z ODB,从而可证 / ABC=Z C;(2)连接 OG, OD, AD,由 BF/ OD, Gd=60°,可求证?G