2020-2021备战中考数学培优易错难题(含解析)之初中数学旋转附答案解析

1、2020-2021备战中考数学培优 易错难题(含解析)之初中数学 旋转附答案解析一、旋转1. (1)如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O,过点O作直线EF，BD,交 AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分/ABD. 求证：四边形 BFDE是菱形；直接写出/ EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图 ，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI,连 接GD, H为GD的中点，连接 FH并延长，交ED于点J,连接IJ IH、IF、IG.试探究线段 IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图 ，当矩形AB

2、CD满足AB=AD时，点E是对角 线AC上一点，连接 DE、ER DF,使4DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)详见解析；60。. (2) IH= J3fH； (3) EG2=AG2+C左【解析】【分析】(1) 由DOEBOF,推出EO= OF, OB= OD,推出四边形 EBFD是平行四边形， 再证明EB= ED即可. 先证明/ABD= 2/ADB,推出/ ADB= 30°,延长即可解决问题.(2) IH= J3FH.只要证明JF是等边三角形即可.(3)结论：EG2=AG2+cE?.如图3中，将4ADG绕点D

3、逆时针旋转90。得到ADCM,先证 明DE84DEM,再证明 ECM是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中，四边形ABCD是矩形, .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOOD=OB,EOD= BOF.,.DOEABOF7,EO= OF, 1.OB=OD, 四边形EBFD是平行四边形，EF± BD, OB=OD,.EB=ED, 四边形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED,/ EBD= / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °,，/AD

4、B=30； /ABD=60 ；/ ABE= / EBO= / OBF= 30 °,/ EBF= 60 °.(2)结论：ih=J3fh.理由：如图2中，延长BE至1J M,使得EM=EJ,连接MJ.V1. 四边形EBFD是菱形，/ B= 60 ;,-.EB=BF= ED, DE/ BF,/ JDH= / FGH, 在 DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GH , JDH= FGH .DH乒GHF, .DJ=FG, JHF,.EJ= BG= EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等边三角形，.-.MJ=EM=NI, ZM = Z

5、B=60在ABIF和AMJI中，BI=MJB= M , BF=IM2 .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH± JF3 / BF+Z BIF= 120 :4 / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ；， JIF是等边三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IFH= 60°,/ FIH= 30 °,5 IH= 73 FH.(3)结论：EG2=AG2+C邑理由：如图3中，将4ADG绕点D逆时针旋转90°得到ADCM,6 / FA。/ DEF= 90 °,7 .AF

6、ED四点共圆，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ；8 / ADF+Z EDC= 45 °,9 / ADF= / CDM,10 / CDM+Z CDE= 45 = / EDG, 在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDM , DG = DM11 .DEGADEM,.GE= EM,12 / DCM= / DAG= / ACD= 45 ； AG= CM, / ECM= 90 ° EC2+CM2= EM2,13 EG= EM, AG=CM, .GE2=AG2+C邑【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定

7、和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思'考问题.2.（探索发现）如图， ABC是等边三角形，点 D为BC边上一个动点，将 ACD绕点A逆时针旋转 60得到 AEF ,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.小明是这样想的：等边三角形a" E * 或雇-= AC1 >.1 - JC -«- JE I > 贵形 ASCE（1）请参考小明的思路写出证明过程；（2）直接写出线段 CD, CF , AC之间的数量关系： ;（理解运用）如图，在 ABC中，AD BC于点DM ABD绕点A逆时针旋转9

8、0得到 AEF ,延 长FE与BC ,交于点G .（3）判断四边形 ADGF的形状，并说明理由；（拓展迁移）（4）在（3）的前提下，如图，将AFE沿AE折叠得到 AME ,连接MB ,若AD 6, BD 2,求 MB 的长.BDb DC 0 B DC G图1图2图3【答案】（1）详见解析；（2） CD CF AC; （3）四边形ADGF是正方形；（4）2 .13【解析】【分析】(1)根据旋转得： ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE则四边形 ABCE是菱形;(2)先证明C、F、E在同一直线上，再证明 BADCAF (SAS ,则/ADB=/AFC, BD=CF 可得 AC=CF+C

9、D(3)先根据/ADC=/ DAF=Z F=90。，证明得四边形 ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；(4)证明BAMEAD (SA。，卞|据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】(1)证明： ABC是等边三角形，AB BC AC. ACD绕点A逆时针旋转60得到 AEF ,CAE 60 , AC AE.ACE是等边三角形.AC AE CE.AB BC CE AE.四边形ABCE是菱形.(2)线段DC , CF , AC之间的数量关系： CD CF AC.(3)四边形 ADGF是正方形.理由如下： Rt ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF , AF AD , DAF 90

10、 .AD BC ,ADC DAF F 90 .四边形ADGF是矩形. AF AD ,四边形ADGF是正方形.(4)如图，连接DE .株口:“ 四边形ADGF是正方形，DG FG AD AF 6. ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF ,BAD EAF , BD EF 2, EG FG EF 6 2 4. 将 AFE沿AE折叠得到 AME , MAEFAE , AF AM .BADEAM .BAD DAMEAMDAM ，即 BAMDAE . AF AD , AM AD.AM AD在 BAM 和 EAD 中， BAM DAE ,AB AE BAM EAD SAS .1 BM DEEG2 DG24

11、2 6 2 2 13.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边 三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解.3.如图1, 4ABC是边长为4cm的等边三角形，边 AB在射线OM上，且OA=6cm,点D 从。点出发，沿 OM的方向以1cm/s的速度运动，当 D不与点A重合时，将4ACD绕点C 逆时针方向旋转 60°得到ABCE连结DE.(1)求证：4CDE是等边三角形；(2)如图2,当6vtv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出 4BDE

12、的最小 周长；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当点D在射线OM上运动时，是否存在以 D、E、B为顶点的三角形是直角 三角形？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得到 /DCE=60。，DC=EC,即可得到结论；(2)当6vt<10时，由旋转的性质得到 BE=AD,于是得到Cdbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD± AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；(3)存在，当点D于点B重合时，D, B, E不能构成三角形

13、，当04V6时，由旋转的性质得到/ABE=60。，/BDE< 60。，求得/ BED=90。，根据等边三角形的性质得到Z DEB=60 ；求得 /CEB=30 ；求得 OD=OA-DA=6-4=2,于是得到 t=2 + 1s2 当 6<t< 10s 时，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质得到 / DBE=60°,求得/ BDE>60°,于是得到 t=14+ 1=145.试题解析：(1)证明：二.将4ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到ABCE/ DCE=60 ； DC=EC, .CDE是等边三角形；（2）存在，当6<t<10时

14、，由旋转的性质得，BE=AD, Ca dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，4cde是等边三角形， . de=cd,Cadbe=CD+4,由垂线段最短可知，当 CD± AB时，4BDE的周长最小，此时，CD=2 , 3 cm, .BDE 的最/J、周长=CD+4=2 73+4；（3）存在，二当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意；当04<6时，由旋转可知，Z ABE=60°, /BDEv 60°,/ BED=90 ；由（1）可知，4CDE是等边三角形，/ DEB=60 ；/ CEB=30 : /

15、 ceb=z cda,/ CDA=30 ； / CAB=60 :/ ACD=ZADC=30 ；DA=CA=4,.OD=OA- DA=6-4=2,2 .t=2 + 1=2 当 6vtv 10s时，由 ZDBE=120 °>90°,，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质可知，Z DBE=60 °,又由（1）知/ CDE=60°,/ BDE=Z CDEfZ BDC=60 +/ BDC,而/ BDC>0°,3 / BDE> 60 ；4 只能 / BDE=90 ；从而 / BCD=30°,.BD=BC=4,1. OD

16、=14cm, - t=14 + 1=S14综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代 数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类4. (12分)如图1,在等边 4ABC中，点D, E分别在边 AB, AC上，AD=AE,连接BE, CD,点M、N、P分别是 BE、CD BC的中点.(1)观察猜想：图1中，4PMN的形状是；(2)探究证明：把 4ADE绕点A逆时针方向旋转到图 2的位置， PMN的形状是否发生 改变？并说明理由；(3

17、)拓展延伸：把 4ADE绕点A在平面内自由旋转，若 AD=1, AB=3,请直接写出 4PMN 的周长的最大值.AA3 R C B P C图1图2【答案】(1)等边三角形；(2) 4PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形，理由见解析；(3) 6【解析】分析：(1)如图1,先根据等边三角形的性质得到AB=AC, ZABC=ZACB=60°,则BD=CE,再根据三角形中位线性质得PM/CE, PM=- CE, PN / AD, PN=- BD,从而得到22PM=PN, /MPN=60°,从而可判断 PMN为等边三角形；(2)连接CE BD,如图2,先利用旋转的定义，把 4AB

18、D绕点A逆时针旋转60°可得到 CAE,贝U BD=CE, /ABD=/ACE 与(1) 一样可得 PM=PN, / BPM=/ BCE, /CPN=/CBD,则计算出 / BPM+/CPN=120 从而得至ij / MPN=60 ；于是可判断 PMN为 等边三角形.(3)利用AB- AD由D系B+AD (当且仅当点 B、A、D共线时取等号)得到 BD的最大值 为4,则PN的最大值为2,然后可确定4PMN的周长的最大值.详解：(1)如图1. 4ABC为等边三角形，AB=AC, Z ABC=Z ACB=60 °. AD=AE,，BD=CE点M、N、P分别是BE、CD BC的中

19、点， .PM/CE, PM = -CE, PN/AD, PN=-BD, 22.PM=PN, / BPM=/BCA=60 ； Z CPN=ZCBA=60 ；/ MPN=60 ； APMN 为等边三角形；故答案为等边三角形；(2) APMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形.理由如下:连接CE BD,如图2. AB=AC, AE=AD, Z BAC=Z DAE=60 °,.把 ABD绕点A逆时针旋转 60可得到ACAE,.BD=CE, /ABD=/ACE与（1） 一样可得 PM/CE PM =ce PN|/ AD, PN=-BD, 22 .PM=PN, /BPM=/BCE, ZCPNkZ

20、CBD, / BPM+Z CPN=Z CBD+Z CBD=ZABC- / ABD+Z ACBZ ACE=60 +60 = 120 ；/ MPN=60 ；APMN 为等边三角形.1（3） PN=-BD, .当BD的值最大时，PN的值最大.2,AB- AD<BDqB+AD （当且仅当点 B、A、D共线时取等号）BD的最大值为1+3=4,，PN的最大值为2, .PMN的周长的最大值为 6.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和三角 形中位线性质.5.如图1,菱形ABCD, AB

21、4 , ADC 120°，连接对角线AG BD交于点O,1如图2,将VAOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的 VA'BO与菱形ABCD 重合部分的面积.2如图3,将VA'BO绕点O逆时针旋转交AB于点E',交BC于点F,求证：BE' BF 2;求出四边形OE'BF的面积.DDD【答案】1 73?2证明见解析 6【解析】【分析】(1)先判断出4ABD是等边三角形，进而判断出 EOB是等边三角形，即可得出结论;(2)先判断出 OBF,再利用等式的性质即可得出结论；借助的结论即可得出结论.【详解】1Q四边形为菱形，ADC 1200,ADO 6

22、00，VABD为等边三角形，DAO 30°,ABO 600,. AD/A ',0. ./A' OB=60 °VEOB为等边三角形，边长 OB 2,重合部分的面积：3 4 J3,42在图3中，取AB中点E,由 1 知，/EOB=60, /E' OF=60 / EOE2BOF,又 EO=BO,/ OEE W OBF=60 , .OEE丝OBF, .EE' =BF .BE' +BF=BE ' +EE ' =BE=2由知，在旋转过程中始终有 OEE0OBF,Sa oee=Sa obf,S 四边形 OE BF= SvOEB 73

23、 .【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键6.如图(1)所示，将一个腰长为 2等腰直角 BCD和直角边长为2、宽为1的直角4CED 拼在一起.现将 CED绕点C顺时针旋转至 ACE D'旋转角为a.(1)如图(2),旋转角a=30°时，点D'到CD边的距离DA=.求证：四边形 ACED' 为矩形；(2)如图(1) , 4CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G,使得GD=E' p并说明理由.(3) 4CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，/CE

24、=90°时，直接写出旋转角 a的值.【答案】1【解析】分析：(1)过D作DN，CD于N.由30。所对直角边等于斜边的一半即可得结论.由D'A/ CE且D'A=CE=1,得到四边形 ACED为平行四边形.根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；(2)取BC中点即为点G,连接GD'.易证DCE'D'CG,由全等三角形的对应边相等即可得出结论.(3)分两种情况讨论即可.详解：(1) D'A=1.理由如下：过 D作 DNXCDT N.,一 4 1 一 /NCD =30 CD CD=2, . ND = CD = 12由已知

25、，D'A/ CE,且 D'A=CE=1, 四边形ACED为平行四边形.又 / DCE=90°, 四边形ACED为矩形；(2)如图，取 BC中点即为点 G,连接GD'.DA s. / DC曰/DCE' =90 ° / DCE £ D'CG.又.D'C= DC, CG=CE',. .DC三D'CG,.GD' E'D.(3)分两种情况讨论：如图1 . / CED=90 : CD=2, CE' =1.1. / CDE =30、/ ECD=60 ；. / ECB=30 ; ：.旋转角 =

26、/ECE =180° +30° .=210°如图2,同理可得 /E'CE=30°,旋转角=360° 30 =330 °.点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.7.在 RtACB和 4AEF中，/ ACB= / AEF= 90°,若点 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE.特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB, AC上，则结论：PC= PE成立(不要求证明).问题探究：把图1中的4AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边

27、CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由；AC (3)记=k,当k为何值时，CPE总是等边三角形？(请直接写出后的值，不必说)BC【答案】1 PC PE成立 2 , PC PE成立 3当k为W3时，VCPE总是等边三3角形【解析】【分析】(1)过点 P 作 PMLCE 于点 M,由 EF，AE, BC± AC,得到 EF/ MP/CB,从而有EM FP 一一口 一- ，再根据点P是BF的中点，可得 EM=MC,MC PB(2)过点F作FD

28、7;AC于点D,过点P作PMLAC于点 DAF0 EAF,即可得出 AD=AE;再证 DAP EAP,据此得到M,连接即可得出PC=PEPD,先证PD=PE最后根据/ CBA=30 ；。最后根据 处 k , BCFD)± AC, BC± AC, PMAC,可得 FD/ BC/ PM,再根据点 P是 BF 的中点，推得 PC=PD再根据PD=PE即可得到结论.可得 /CEP=60, /CAB=60;由 / ACB=90 ,求出(3)因为4CPE总是等边三角形,AC =tan30 求出当CPE总是等边三角形时，k的值是BC多少即可.【详解】解：(1) PC=PE成立，理由如下：

29、如图 2,过点 P 作 PMLCE于点 M ,EF± AE, BC± AC, . . EF/ MP / CB, . EM=MC,又. PMCE, .1.PC=PE(2) PC=PEI立，理由如下：如图3,过点F作FD, AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD, / Z DAF=Z EAF,/ FDA=Z FEA=90在 DAF 和 EAF中, Z DAF=Z EAF, Z FDA=Z FEA, AF=AF, .DAFAEAF(AA), .AD=AE,在 ADAP 和 AEAP 中， . AD=AE, Z DAP=Z EAP, AP=AP, ADAPAEAP (SA$

30、 ,，PD=PE,. FD1AC, BC± AC, PM1AC, .FD/ BC/ PM,DM FP"MC PB ' 点P是BF的中点，.DM=MC,又 PMXAC, PC=PD,又. PD=PE，PC=PESJ(3)如图4,CPE总是等边三角形,Z CEP=60,Z CAB=60 , Z ACB=90 ,Z CBA=90 - Z ACB=90 - 60 =30 ,，当k为上时，ACPE总是等边三角形.3c【点睛】考点：1.几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的 判定与性质；6.平行线分线段成比例.8.如图，点A是x轴非负半轴上的

31、动点, 点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点占八、C,轴的垂线与直线CF相交于点E,连接AC,(I )当t=2时，求点M的坐标；(n )设ABCE的面积为S,当点C在线段 自变量t的取值范围；(出)当t为何值时，BC+CAM得最小值.B坐标为(0, 4) , M是线段AB的中点，将 过点C作x轴的垂线，垂足为 F,过点B作y BC,设点A的横坐标为t.EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出【答案】(1) (1,2)； (2) S=| t+8 (0Wt 呼8； (3)当 t=0 时，BC+AC有最小值 【解析】试题分析：(I)过M作MGLOF于G,分另1J求 OG和MG的长即可；(

32、II)如图1,同理可求得 AG和OG的长，证明AMG0CAF,得：AG=CF=- t2AF=MG=2,分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；(III)证明ABOsCAF,根据勾股定理表示 AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的 意义得出当t=0时，值最小.试题解析：解：(I)如图1,过M作MGLOF于G,MG/OB,当t=2时，OA=2.M是AB的中点，G是AO的中点，OG=1OA=1, MG是AOB的中位线,2.MG = 1OB=1X 4=2 M (1, 2);22(II)如图 1,同理得：OG=AG=lt. ./BAC=90°, 2 /

33、BAO+Z CAF=90 :/ CAF+ Z ACF=90 :MA=AC,AAMGACAF, .AG=CF=1t,2/ BAO=Z ACF. / MGA=Z AFC=90 :AF=MG=2, EC=4 - - t, BE=OF=t +2,2.Sa bce=1EC?BE=1 (4- 1t) (t+2)=- 2221t 2+3 t+4;42S；a abc= ?AB?AC= 一 ?16-12?：当A与O重合，C与F重合，如图2,此时=t2+4,S=Sa bec+Sa abc= t+8.42t=0,当C与E重合时，如图 3, AG=EF,即c 3，c一八S=1+8 (0+8 ;21、，、一，t=4,

34、t=8,，S与tN间的函数关系式为:2(III)如图 1,易得AB84CAF, 旭=QB=0A=2, .-5=2, CF=1t,由勾股定理AC AF FC2得：ac=,AF2 CF2=,22 (gt)、,4 ：t2 ,BC= , BE2 EC2(t 2)2 (4 gt)25(1t2 4) , . .BC+AO ( 75+1)1t2 4 , .当t=0时，BC+AC有最小值.E3C0El点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几 何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解 决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.9.如

35、图1,在RtABC中，/ACB=90°, E是边AC上任意一点（点 E与点A, C不重合），以 CE为一直角边作 RtA ECD /ECD=90,连接BE, AD.（1）若 CA=CB CE=CD猜想线段BE, AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； 现将图1中的RtECD绕着点C顺时针旋转锐角 %得到图2,请判断 中的结论是否 仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6 CE=3, CD=4,ECD绕着点 C顺时针转锐角 ”，如图3,连接BD,AE,计算8屏+ A炉的值.【答案】（1）BE=AD, BEX AD;见解析；（2） 125

36、.【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD, BEX AD;设BE与AC的交点为点F, BE与AD的交点为点 G,根据/ ACB=Z ECD=9。得出/ ACD=Z BCE然后结合 AC=BC CD=CE得出AC*4BCE 贝U AD=BE, / CAD=/ CBF,根据 / BFC=/ AFG,/ BFC+Z CBE=90得出/ AFG+Z CAD=90 ,°从而说明垂直；首先根据题意得出 ACDABCEL,然后说明Z AGE=Z BGD=90°,最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线 段转化成已知的线段得出答案.试题解析：（1）解：BE=AD, BEX

37、 ADBE=AD, BEX AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F, BE与AD的交点为点G,如图1./ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ' AC=BC CD=CE. AC* BCE . AD=BE / CAD=/ CBF v / BFC=Z AFG / BFC+Z CBE=90 °，/ AFG+Z CAD=90/ AGF=90BEX AD(2)证明：设BE与AC的交点为点F, BE的延长线与 AD的交点为点 G,如图2./ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ; AC=8, BC=6, CE=3 CD=4 ACgB

38、CE/ CAD=Z CBE / BFC=Z AFG / BFC+/ CBE=90 / AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD. / AGE=/ BGD=90 °AG2 + fiG2 = A + 解, I5?. BD2 + AE2 = AB1 + ED2 = CA2 + CB2 + CD2 + CE2 - 125考点：三角形全等与相似、勾股定理.10.已知：一次函数 尸=一彳工+ 4的图象与x轴、y轴的交点分别为 A、B,以B为旋转中(2)当/ BAD=45时，求D点的坐标; 当点C在线段AB上时，求直线 BCD (其中。与C A与D是

39、对应的顶点)(3)BD的关系式.【答案】(1)5; ( 2) D (4, 7)或【解析】(4 1) ； (3)试题分析：(1)先分别求得一次函数41,4- j r W工+ 4的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)根据旋转的性质结合 BOA的特征求解即可；(3)先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可4(1)在F二一三莫+4时，当无=0时，y = ,当F = 0时，x = 3= 3 ;(2)由题意得 D (4, 7)或(-4, 1);(2)由题意得D点坐标为(4, 一)6设直线BD的关系式为y=k+b;图象过点 B (0, 4) , D (4

40、,)6；5 = 4r _ 7L 1",解得Q -五+ i = , 16 5=47. y=F# + 4直线BD的关系式为24.考点：动点的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典 型.11.如图所示，在 4ABC中，D、E分别是AB AC上的点，DE/ BC,如图，然后将 ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图 ，然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM= (BD, EN= ±CE,得到图，请解答下列问题：22(1)若AB=AC,请探究下列数量关系： 在图 中，BD与CE的数量关系是 ；在图中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与

41、/ BAC的数量关系，并证明你的猜 想；(2)若AB= k AC(k> 1),按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.【答案】(1)BD=CE; AM=AN , / MAN= / BAC理由如下：在图中，DEBC, AB=AC .AD="AE."AR = AC, = LCAEt在 ABD 与 AACE 中AABDAACE.BD=CE /ACE玄 ABD.在ADAM与 EAN中， 111. DM=7BD, EN='CE, BD=CE DM=EN, / AEN=/ ACE-+Z CA

42、E, / ADM= / ABD+Z BAD,. / AEN=Z ADM.y.' AE=AD,AADMAAEN.'.AM=AN, / DAM=/EAN.，/ MAN= / DAE=/BAC.AM=AN, /MAN=/BAC.(2) AM=kAN, /MAN=/BAC.【解析】(1) 根据题意和旋转的性质可知 AE®4ADB,所以BD=CE; 根据题意可知 Z CAE=BAD AB=AC, AD=AE,所以得到 BA4 4CAE,在 ABM和 ACN 中，1 1DM= BD, EN=CE,可证ABM0ACN,所以 AM=AN ,即 / MAN= / BAC.22(2)直接

43、类比(1)中结果可知 AM=k?AN, /MAN=/BAC.12.小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图4ABC, DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为 A (1,1), B (2, 2) , C (2, 1) , D ( J2 , 0) , E ( 2& , 0), F(空空).22(1)他们将 ABC绕C点按顺时针方向旋转 450得到A1B1C.请你写出点 A1, B1的坐 标，并判断AC和DF的位置关系；(2)他们将 ABC绕原点按顺时针方向旋转 45°,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落 在抛物线y 2 2x2 bx c上.请你求出符合条件的抛物线解析式；(

44、3)他们继续探究，发现将 ABC绕某个点旋转45,若旋转后的三角形恰好有两个顶点 落在抛物线y x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点 P的所有坐标.【答案】解:1) 2.2312运b c月222AiC和DF的位置关系是平行.(2) ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为DEF,，当抛物线经过点 D、E时，根据题意可得:一 2 一2,2.2.2b c 02.2 2.2 2 2 2b c 0解得b 12 Lc 8 2y 2,2x2 12x 8.2 .当抛物线经过点 D、F时，根据题意可得:2.22.2b c 0-3.2 2 3、2.22、2 b c 2

45、22b 11c 7 2，y 2x2x2 11x 7 . 2 .当抛物线经过点 E、F时，根据题意可得:2.22、2b c 02.2 全 2 db c " 222b 13c 10V2"y 2 ,2x2 13x 10 、2.(3)在旋转过程中，可能有以下情形：顺时针旋转45。，点A、B落在抛物线上，如答图 1所示,易求得点P坐标为（0, 1亚）.2如答图 2所示, 顺时针旋转45°,点B、C落在抛物线上,设点B', C'的横坐标分别为x1，x2, 易知此时B'唠一、三象限角平分线平行, 联立 y=x2 与 y=x+b 得：x2=x+b,即 x2

46、，设直线B'的解析式为y=x+b.b 0,x1x21, x1x2b=1根据题意易得:xx22x1 x2x1 x24x1x2 1 4b1一，解得2 点C的横坐标较小,42 .2P (4顺时针旋转2；2十x或x422.4且83_2±1)845°,点G A落在抛物线上,如答图 3所示,设点C', A'的横坐标分别为x1，x2.易知此时C'组二、四象限角平分线平行,设直线C' A勺解析式为y x联立y=x2与yx b得：x2一x1x21, x1x2b.CA； =1根据题意易得:xix2、22xix2xix24x1x2-24b1一一 0,解得8

47、丁点C的横坐标较大,当x时,42243 2.28. p（,48 逆时针旋转45。，点A、B落在抛物线上.因为逆时针旋转45。后，直线A的y轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种 情形不存在.逆时针旋转45。，点B、C落在抛物线上，如答图 4所示，与同理，可求得：P （ 2亚,3 2后）.48逆时针旋转45。，点C、A落在抛物线上，如答图 5所示，与同理，可求得：P（21，3 2我）.综上所述，点P的坐标为：（0, 1贬）,（2瓢,3 2&）,P （ 2衣24843 2c (U, 3 2灰、848【解析】（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解.（2）首先明确 ABC绕原点按

48、顺时针方向旋转 45。后的三角形即为 DEF,然后分三种情 况进行讨论，分别计算求解.（3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解.考点：旋转变换的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线的性质，等腰直角三角形 的性质，分类思想的应用.13.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点 A的坐标为（5, 0）,菱形OABC的-r，4 ，"井一一，、一、一一顶点B, C在第一象限，tan/AOC、，将菱形绕点 A按顺时针万向旋转角a（0。旧AOC）得到菱形FADE（,岚O的对应点为点F

49、） , EF与OC交于点G,连结AG.(1)求点B的坐标；(2)当OG=4时，求AG的长；(3)求证：GA平分/OGE(4)连结BD并延长交X轴于点P,当点P的坐标为(12, 0)时，求点G的坐标.15 >0【答案】 (8,4);(2) JF；3 3) ( r ).7 7【解析】试题分析：(1)如图1,过点B作BHI± x轴于点H,由已知可得/BAH=/COA在RtABH中,4tanZ BAH=tanZ AOC=7 , AB=5,可求得 BH=4, AH=3,所以OH=8,即可得点 B的坐标为 、一_ 4 _(8,4) ; ( 2)如图 1,过点 A 作 AMLOC 于点 M,

50、在 RtA AOM 中，tan/AOC、, OA=5,可求得AM=4, OA=3,所以GM=1,再由勾股定理即可求得 AG=/r ； (3)如图1,过点A 作ANLEF轴于点N,易证AOMAFN,根据全等三角形的性质可得 AM=AN,再由角平分线 的判定可得 GA平分/OGR (4)如图2,过点G作GQ± x轴于点 Q,先证 GOAs BAP2015根据相似三角形的性质求得 GQ=三，再由锐角三角函数求得 OQ=，即可得点G的坐标试题解析：(1)如图1,过点B作BHx轴于点H,四边形 OABC为菱形，OC/ AB,/ BAH=Z COA.tan / AOC=v ,4tan / BAH

51、=.又在直角 BAH中，AB=5,43.BH=3 . AB=4, AH= _ AB=3, .OH=OA+AH=5+3=8,点B的坐标为(8, 4);(2)如图1,过点A作AMOC于点M,在直角 AOM 中，tan/AOC,OA=5,3 J3° . AM= OA=4, OM=- OA=3,44,.OG=4, .GM=OG-OM=4-3=1 ,AG=：r+GX：二次十/ 二后；(3)如图1,过点A作ANEF于点N,在 AOM 与AFN 中，/ AOM = / F,OA= FA,/ AMO = / ANF= 90 ；.AOMAAFN (ASA),.AM=AN, GA平分 / OGEA r(

52、笫26题图l )(4)如图2,过点G作GQ±x轴于点Q, 由旋转可知：/ OAF=Z BAD形.AB=AD, 第0匚-仪/ ABP=. /AOT=/F, /OTA之 GTF,1*0：-仪/ OGA=Z EGA=1,/ OGA=ABP 又 / GOA=Z BAP, .GOAABAP,GQ QA, =RR aP'520GQ=_ X 4=".77tan / AOC=r ,.OQ=20 3 15x=一.八 15 20、 G （二 ,） 7考点：三角形、四边形、锐角三角函数的综合题14. (1)发现如图，点 A为线段BC外一动点，且 BC a, AB b.填空：当点 A位于 时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a , b的式子表示)A(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC 3, AB 1.如图所示，分别以 AB , AC为边，作等 边三角形ABD和等边三角形 ACE ,连接CD , BE .找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 2, 0，点B的坐标为 5, 0，点P为线段AB外一动点，且PA 2 , PM PB , BPM 90 ,求线段AM长的最大值及此时 点P的坐标.【