吉布斯效应和栅栏效应要点

1、课程设计说明书题目：基于 Matlab的信号吉布斯效应和栅栏效应的验证学院（系）:电气工程学院年级专业：09级仪表1班学号:000000000000学生姓名：*指导教师：*教师职称：教授讲师燕山大学课程设计（论文）任务书院（系）： 电气工程学院基层教学单位：工业自动化仪表学号学生姓名*专业（班级）设计题 目基于Matlab的信号吉布斯效应和栅栏效应的验证设计技术参数栅栏效应：采样频率fs=5120 fs=2560;吉布斯效应信号函数：x-sin（c*t）./t ;吉布斯效应窗口长度通过比较自己设计；设 计 要 求利用Matlab软件，根据设计要求（包括：谱分辨率和采样频率）选择合适的参 数进行

2、频谱分析。进一步，从理论和实验上分析DFT造成的栅栏效应和信号截取产生的吉布斯效应。工 作 计 划6月18日：上午：自己分配任务，借阅书籍，上网查阅资料；下午：研究阅读分析相关知识点，GUI界面的自主学习；6月19日：根据所学知识，设计课题的GUI界面布局；6月20-22日：程序设计以及整理课程设计说明书。参 考 资 料1、 数字图像处理学电子工业出版社贾永红20032、数字图像处理（Matlab版）电子工业出版社冈萨雷斯20063、 数字图像处理学（第二版）电子工业出版社阮秋琦20064、matlab实用教程清华大学出版社徐金明20055、 其他的数字图像处理和matlab编程方面的书籍及相

3、关学习资料扌旨导教师签字*基层教学单位主任签字*说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。2012年6 月22日燕山大学课程设计评审意见表指导教师评语:正确完善完善认真较为合理合理较认真理论分析庆方法设计旗一般一般不认真较差较差工作态度成绩：指导教师：2012年6月22 日答辩小组评语：清晰设计结论正确基本正确基本掌握原理了解成绩：不清楚评阅人：不正确2012年6月22 日课程设计总成绩:答辩小组成员签字:2012年6月22 日燕山大学课程设计说明书摘要随着科技的发展，当今社会已经进入信息时代，人们每天都要接触各种各样载有信 息的信号形式，如接受广播、电视信号、使用电话传送

4、声音信号等，其目的是为了把不 同形式的消息借助一定形式的信号进行表达或传递。数字信号处理理论及其分析方法已应用于许多领域和学科中，通过功能强大的 MATLAB件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚理解，也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB勺使用。信号的数字化需要三个步骤：抽样、量化和编码。抽样是指用每隔一定时间 的信号样值序列来代替原来在时间上连续的信号，也就是在时间上将模拟信号离 散化。量化是用有限个幅度值近似原来连续变化的幅度值，把模拟信号的连续幅 度变为有限数量的有一定间隔的离散值。编码则是按照一定的规律，把量化后的 值用二进制数字

5、表示，然后转换成二值或多值的数字信号流。这样得到的数字信 号可以通过电缆、微波干线、卫星通道等数字线路传输。在接收端则与上述模拟 信号数字化过程相反，再经过后置滤波又恢复成原来的模拟信号。根据本次课题要求，通过使用MATLAB方便了在DFT中的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图像，能够更加形象的看到栅栏效应和吉布斯效 应，能够有更加形象的了解和分析。离散傅里叶变换（DFT）理论，是数字信号处理理论和技术分析的重要基础之一，在数字信号处理及应用中有着非常重要的作用。本课程设计注重于利用MATLAB软件,根据设计要求，选择合适的参数进行频谱分析， 进一步从理论和实验上分析

6、DFT造成的 栅栏效应。关键字：数字信号处理 频谱分析 吉布斯效应 栅栏效应共17页第19页目录第一章：Matlab以及GUI简介1.1 Matlab 简介31.2 GUI 简介3第二章：离散傅立叶变换2.1 傅立叶变换的定义 52.2 离散FT(DFT)的用法6 第三章：用DFT对信号进行频谱分析3.1 频谱分析的概述 73.2 MATLAB 程序9第四章：吉布斯效应4.1吉布斯效应的定义 104.2吉布斯效应的实现 104.3 MATLAB 程序11第五章：栅栏效应5.1栅栏效应的定义 125.2 栅栏效应的验证 125.3 MATLAB 程序15第六章：学习心得 16第七章：参考文献 1

7、7第一章Matlab以及GUI简介1.1 Matlab 简介MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory ）的简称，是美国 MathWorks公司出品 的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算 语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB 和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件 中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、 创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处 理与通讯、图像处理、信号检测、金

8、融建模设计与分析等领域。MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用 MATLAB 函数集）扩展了 MATLAB 环境，以解决这些应用领域内 特定类型的问题。1.2 GUI简介图形用户界面（Graphical User In terface，简称GUI，又称图形用户接口）是指采用图形方式显示的计算机操作用户界面。与早期计算机使用的命令行界面相比，图形 界面对于用户来说在视觉上更易于接受。GUI的广泛应用是当今计算机发展的重大成就之一，他极大地方便了非专业用户的使用。人们从此不再需要死

9、记硬背大量的命令，取而代之的是可以通过窗口、 菜单、按键等方式来方便地进行操作。而嵌入式GUI具有下面几个方面的基本要求：轻型、占用资源少、高性能、高可靠性、便于移植、可配置等特点。GUI的组成部分：桌面在启动时显示，也是界面中最底层，有时也指代包括窗口、文件浏览器在内的“桌面环境”。在桌面上由于可以重叠显示窗口，因此可以实现多任务化。一般的 界面中，桌面上放有各种应用程序和数据的图标，用户可以依此开始工作。桌面与既存 的文件夹构成里面相违背，所以要以特殊位置的文件夹的参照形式来定义内容。比如在 微软公司的 Windows XP系统中，各种用户的桌面内容实际保存在系统盘 （默认为C盘） Doc

10、uments and Settings用户名 桌面文件夹里。墙纸，即桌面背景。可以设置为各种图片和各种附件，成为视觉美观的重要因素之一。视窗应用程序为使用数据而在图形用户界面中设置的基本单元。应用程序和数据在窗口内实现一体化。 在窗口中，用户可以在窗口中操作应用程序，进行数据的管理、生成和编辑。通常在窗口四周设有菜单、图标，数据放在中央。在窗口中，根据各种数 据/应用程序的内容设有标题栏， 一般放在窗口的最上方， 并在其中设有最大化、 最小化 （隐藏窗口，并非消除数据）、最前面、缩进（仅显示标题栏）等动作按钮，可以简单 地对窗口进行操作。单一文件界面在窗口中，一个数据在一个窗口内完成的方式。在

11、这种情况下，数据和显示窗口的数量是一样的。若要在其他应用程序的窗口使用数据，将相应生成新 的窗口。因此窗口数量多，管理复杂。多文件界面 在一个窗口之内进行多个数据管理的方式。这种情况下，窗口的管理 简单化，但是操作变为双重管理。标签多文件界面的数据管理方式中使用的一种界面，将数据的标题在窗口中并排，通过选择标签标题显示必要的数据，这样使得接入数据方式变得更为便捷。上述中，多文件界面主要是微软视窗系统采用。而在其他环境中，通常多是单文件界面，所以无 所谓单一/多文件界面的称呼问题。菜单将系统可以执行的命令以阶层的方式显示出来的一个界面。一般置于画面的最上方或者最下方，应用程序能使用的所有命令几乎

12、全部都能放入。重要程度一般是 从左到右，越往右重要度越低。命定的层次根据应用程序的不同而不同，一般重视文件 的操作、编辑功能，因此放在最左边，然后往右有各种设置等操作，最右边往往设有帮 助。一般使用鼠标的第一按钮进行操作。即时菜单（又称功能表）与应用程序准备好的 层次菜单不同，在菜单栏以外的地方，通过鼠标的第二按钮调出的菜单称为“弹出菜单” <根据调出位置的不同，菜单内容即时变化，列出所指示的对象目前可以进行的操作。图标显示在管理数据的应用程序中的数据，或者显示应用程序本身。数据管理程序，即在文件夹中用户数据的管理、进行特定数据管理的程序的情况下，数据通过图 标显示出来。通常情况下显示的

13、是数据的内容或者与数据相关联的应用程序的图案。另 外，点击数据的图标，一般可以之间完成启动相关应用程序以后再显示数据本身这两个 步骤的工作。应用程序的图标只能用于启动应用程序。按钮菜单中，利用程度高的命令用图形表示出来，配置在应用程序中，成为按钮。应用程序中的按钮，通常可以代替菜单。一些使用程度高的命令，不必通过菜单一 层层翻动才能调出， 极大提高了工作效率。 但是，各种用户使用的命令频率是不一样的， 因此这种配置一般都是可以由用户自定义编辑。第二章离散傅立叶变换2.1傅立叶变换的定义所谓傅里叶变换就是在以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函 数之间的某种变换关系。随时间自变量形

14、式的不同，其傅里叶变换的形式也有不同，常 用的两种傅里叶变换：周期序列的离散傅里叶级数(DFS)和非周期序列的傅里叶变换(DTFT)，其表示式分别为：j nk N(2-1)(2-2)N丄X k 二DFS |x n X ne-n -0oOX(ej ) =DTFT x(n) = ' x(n)enn z=PO在实际工作中，当用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以有限长度 的离散值作为输入，而计算所得的频谱值自然也是有限、离散的。上述两种形式的傅里 叶变换中，DFS变换满足时、频域自变量的离散化，但其时间变量和频率变量又同时具 有周期性；DTFT变换满足时间自变量的有限长度(非周期能

15、量有限信号)，但其频率变量 为连续形式。可见，这两种变换都难以实际应用。考虑到DFS变换的时、频域形式虽是周期序列，但每个周期却只有N个独立的复值，知道其一个周期的内容即可得到其它的内容。因此，若从 DFS变换的时、频域各取出一个周期，即可构造出时间和频率自变量 皆为离散、有限长度的傅氏变换，这就是离散傅里叶变换(DFT)的引出思想，下面进行具 体推导。设x n是一个长度为 M的有限长序列，由周期序列与有限长序列的本质联系，可以N丄M )为周期将x n展开为无重叠的周期序列，即周期延拓为Q0x n x n rN (2-3)r(k =0,1,., N -1)，代入再对x n进行DFS变换，得到周

16、期离散的频谱X k (k. (_：:,：:)，取X k的主值序列DFS反变换公式即(2-4)(n =0,1,., N -1)x n -idfs x k 计k：Xke“分析可见：在DFS正变换中，只要把一个周期内的 n乘以对应的即可得任意 k下的k ；同理，在 DFS反变换中， 仅用Xk的一个周 期的值 (k =0,1,.,n 1)，即可得到任意 n下的(n卜如果同时限制(2-3)式中的n和(2-4)式中 的k，使其都只在0N -1区间内取值，就得到了一个周期的x n和一个周期的X k间的对应关系N 4Xk 八 xn wNn0 岂kZN1(2-5)n =0N 4xn = X kWN”0 3 &l

17、t; N -1(2-6)N k=0式中，Wn =e N，N为DFT变换区间的长度，上两式即称为有限长序列的离散傅里叶变 换对。(2-5)式称为离散傅里叶变换，简称DFT; (2-6)式称为离散傅里叶逆变换 (InverseDiscrete Fourier Transform)，简称 IDFT。由上述DFT的推导过程和定义可以看出，DFT变换具有隐含周期性。一方面由于DFT变换由DFS变换引出，另一方面由DFT定义式中的W,满足下述周期性wNk =WN* mN) =wNk(n -mN)m为整数 (2-7)使得有限长序列x n和X k均具有周期性，即满足N _1N 丄X (k +mN 尸送 x(n

18、 叶N)n =送 x(n 卩，"=X (k)N 1N 1x(n 4mN 尸送 X (k 卫卡N)k =送 x(n山=x(n)因此，周期序列 n可以看作长度为N的有限长序列xn的周期延拓序列，如式(2-3)，又可表示为(n )=x(n )N(2-8)x(n) =x(n) Rn (n)(2-9)式中Rn n是矩形序列，in n是余数运算表达式，即若n =mN ni (0乞niN_1,m为整数)，贝U n n二山，x n n表示以N为周期的周期序列。而 xn可 看作是 n从n =0到N -1的主值区间，表示上述关系如图2.1所示。同样可将X k表示为X k j=x(k) RN(k)X(k)

19、=X(k)N上述分析同样说明：有限长序列xn的离散傅里叶变换 X k，正好是xn的周期延拓序列 n的离散傅里叶级数系数X(k)的主值序列X k。也可以理解为，离散傅里叶变换(DFT)是对序列的傅里叶变换(DTFT)的频域采样，运用频域采样方法同样可以推导出DFT的变换公式。傅立叶分析：建立以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之 间的某种关系，在1822年，由法国科学家Fourier提出，基本思想：任意函数可分解为 无穷多个不同频率正弦信号的和，即频谱分析。2.2离散FT(DFT)的用法对常遇到的非周期序列，有限长或无限，只能作DTFT,即连续频谱，X( ejW ),模 拟在计算机上做

20、数值计算，实际中，把N点序列视为一周期序列的一个周期，再做DFTX(k)只是x(n)的FT在某种程度上的近似，X(k)是x(n)频谱(DTFT)的抽样值。周期信号可以分解成一系列正弦(余弦)信号或虚指数信号之和，即Nf t 八 Fnen Na。NN亠二 an cos ni】t i亠bn sin ni】tn -1n -1A门A其中，&办 _jbn111 2 1.2| Fn |An =anbn或22.：n = -arcta nbnanJ幅度和相位为了直观地表示出信号所含各分量的振幅代或| Fn | ,随频率的变化情况，通常以角频率为横坐标，以各次谐波的振幅代或虚指数函数|Fn|的幅度为纵坐

21、标，画出如图2和图4所示的各谐波的振幅 An或|Fn |与角频率的关系图，称为周期信号的幅度(振幅)频 谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。各谱线顶点连线 的曲线(如图中原点所示)称为频谱包络线，它反映了各谐波分量幅度随频率变化的情 况。类似地，也可画出各谐波初相角 与角频率的关系图，如图3和5中各谐波初相角；：n 与角频率的关系图，称为相位频谱，简称相位谱。如果Fn为实数，那么可用 Fn的正负来表示：n为0或二也可把幅度谱和相位谱画在一张图上第三章用DFT对信号进行频谱分析3.1 频谱分析的概述所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显

22、然不能直接用计算机进行计算，使其应用受到限制。而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值计算，成为分析离散信号和系统的有力工具。对连续信号和系统，可 以通过时域采样，应用DFT进行频谱分析。用DFT进行频谱分析的基本原理和方法：已经知道单位圆上的 z变换就是序列的傅里叶变换，即：X(jw) =X( z) |z=jw如果对序列x (n)进行N点DFT,得到X ( k), X ( k)是在区间0,2 n 上对X (jw ) 的N点等间隔采样。因 DFT有FFT算法，故常用DFT对有限长序列进行谱分析，实施方 法如下：首先依据频率分辨率的要求确定DFT变换区间长度N。频谱分析的衡量指标之一是频

23、率分辨率，它是频谱分析中能够分辨的两个相邻频率点谱线的最小间距。在数字频率 域，N点DFT能够实现的频率分辨率是 2n /N弧度，进行频谱分析时，要求N>=2n /D(D为要求的分辨率)。为了便于使用 FFT, 一般取N= 2AM.接下来计算N点DFT，并以自变量k所对应的数字频率 wk=2 n /N为横坐标变 量绘制频谱图。用程序运行后得下图：时间nn频率频率3.2 MATLAB 程序：syms t;x=si n(t)+cos(t);ezplot(x,-30 30);grid on;xlabel(' 时间');ylabel('幅值')； title(&#

24、39;时域信号波形');n=0:20;T=0.02;y=si n(n *T)+cos (n *T);figure,subplot(2,2,1); stem( n, y);grid on;xlabel(' n');ylabel('x (n)');title('500Hz采样信号');Y=fft(y,16);n1= 0:15;omega=2*pi/16*( n1-16/2); subplot(2,2,3);stem(omega,abs(fftshift(Y);grid on;xlabel('频率');ylabel('幅

25、值')； title(' n=20时采样信号的频谱');n=0:100;T=0.02;y=si n(n *T)+cos (n *T);subplot(2,2,2); stem( n, y);grid on;xlabel(' n');ylabel(' x(n)');title('500Hz采样信号');Y=fft(y,128);n1= 0:127;omega=2*pi/128* (n 1-128/2); subplot(2,2,4);stem(omega,abs(fftshift(Y);grid on;xlabel('

26、;频率');ylabel('幅值')；title(' n=100时采样信号的频谱');第四章 吉布斯效应4.1 吉布斯效应的定义在x(t)的不可导点上，如果我们只取x(t)等式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏1。但从信号的傅立叶变换恢复或逼近原信号时， 如果原信号包含有间断点，那么，在各间断点处将出现过冲击尖峰，这种现象称为吉布 斯现象。4.2 吉布斯效应的实现吉布斯现象是当用信号的谐波分量的和来表述具有间断点的波形时出现，并能观察。(1) 信号中频率较低的谐波分量的幅值较大，占主体地位，信号波形中所含的频率 吉布斯现

27、象越突出。(2) 当截取窗变长时，跳变峰向间断点靠近，但跳变峰值并未明显减小，跳变峰所 包围的面积减小，通过 matlab使这种吉布斯现象得到清楚的表现。模拟信号x( t)=sin(10t)/t的时域图及其频谱图界面如下：模拟信号的时域圏时间信号的频谱圈3 532 S21510 50-3©-20-1001-02030频率半截取窗长度显示披毎|模拟信号函数x=sin(w*t).ft半截取窗长度4显示波形摸拟信号載断后的时城图信号截断后的频谱图4.3 MATLAB 程序：显示波形1a=str2double(get(ha ndles.edit1,'stri ng'); c=

28、str2double(get(ha ndles.edit3,'stri ng'); syms t;x=s in (c*t)./t;axes(ha ndles.axes1); ezplot(x,-a,a); xlabel('时间'); ylabel('幅值');axis(-a a -4 12);grid on;%hold on;X=fourier(x);XX=abs(X);axes(ha ndles.axes2); ezplot(XX,-3*c,3*c); xlabel('频率'); ylabel('幅值');gri

29、d on;%hold on;显示波形2b=str2double(get(ha ndles.edit2,'stri ng'); c=str2double(get(ha ndles.edit3,'stri ng'); ts=-b+1;te=b-1;n=100;t1=li nspace(ts,te ,n);x1=si n( c*t1)./t1;axes(ha ndles.axes3);plot(t1,x1) axis(-b,b,-4,12); xlabel('时间'); ylabel('幅值'); grid on;%hold on;X1

30、=abs(fft(x1,128);fs=n/(te-ts);f=(O:le ngth(X1)/2-1)*fs/128*2*pi; axes(ha ndles.axes4);plot(f,X1(1:le ngth(X1)/2); xlabel('频率');ylabel('幅值');grid on;%hold on;第五章栅栏效应5.1栅栏效应的定义快速傅立叶变换得到的频谱是离散谱，是信号的频谱与一个窗函数的频谱做卷积后，按归一化频率分辨率等间隔频域采样的结果，它只给出频谱在离散点 =2k二/N（0乞k岂N -1）上的值，而无法反映这些点之间的频谱内容，即使在其它点

31、上有重要的峰值也会被忽略。这就好像在百页窗内观察窗外的景色，看到的是百叶窗窗 缝内的部分景色，而无法看到被百叶窗遮挡住的部分，这就是栅栏现象。5.2栅栏效应的验证设计一个离散傅立叶计算程序，计算方波的频谱。观察栅栏效应带来的计算误差。设计如下：利用505Hz方波信号的频谱分析说明栅栏效应所造成的频谱误差。设定采样频率：fs=5120，MATLAB默认的FFT计算点数为512,其离散频率点为：fi=i*fs/N=i*5120/512=10,i=0,1,2,3,N/2位于505HZ位置的真实谱峰被挡住看不见，看见的只是它们在相邻频率500Hz或510Hz处能量泄漏的值。若设fs=2560Hz,则频

32、率间隔为df=5Hz，重复上述分析步骤，这时在505 Hz位置有谱线，因此可以得到它们的精确值。从时域看，这个条件相当于对信号进行整周期采样，实际中常用此方法来提高周期信号的频谱分析精度。squ3ne(2*pi*505*t1)square(2>'505*t2)将上图中的后两个图是不同采样频率下的采样图，从图看出是不一样的，下面我们 把后面的两图，即刚才离散的采样的频率图进行局部放大可以得到下面的图，由此看出 栅栏效应的影响。square(2*pi*505*t1)square(2*pi*505*t2)fs=5120我们知道，N点DFT是频率区间0,2兀上对信号的频谱进行 N点等间隔

33、采样，而采 样点之间的频谱函数值是不知道的。这就好像从(N+1)个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到N个缝隙中看到的频谱函数值。因此称这种现象为栅栏效应。由于栅栏效应，有可能漏掉(挡住)大的频谱分量。为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，需 要提高频率分辨率(用频率采样间隔 F来描述，表示谱分析中能够分辨的两个频率分量的 最小间隔)，也就是说：间隔 F越小，谱分析越接近原连续频谱Xa，频率分辨率越高。按照(1-10)式，F =fs N，为使F减小，需要减小采样频率 fs或增大采样点数 No 由于采样频率的降低会引起谱分析范围的减少或者引起频谱混叠，所以在维持fs不变的条件下。S，只有增

34、加对信号的观察N,因为 NT =Tp,T频率分辨率可以增加采样点数 时间Tp，才能增加NO Tp和N可以按照下面两式进行选择：(5-2)N > 暑(5-1)tF增加观察时间或者采样点数最简单的办法可以采用在原序列尾部补零的方法，改变序列 长度N(即改变DFT变换区间长度)，从而增加了频域采样点数和采样点位置，使原先漏 掉的某些频谱分量被检测出来。界面图辭点数一fc=5120方誠104D.10£D4_ 0.063 Q054 0.CS D.E6 0.06?Q-002 DO* D0601局臥放尢百；i辭点贮机酗0；1oel0.3|02015.3 matlab 程序采样程序如下：t1=

35、 0:1/5120:0.1;m1= 0:10:5120;t2=0:1/2560:0.2;m2=0:5:2560;y仁 square(2*pi*505*t1);tran sf1=abs(fft(y1)/256);y2=square(2*pi*505*t2);tran sf2=abs(fft(y2)/256);subplot(2,2,1);plot(t1,y1);title('square(2*pi*505*t1)');subplot(2,2,3);stem(m1(1:256),tran sf1(1:256);title('fs=5120');subplot(2,2,2);plot(t2,y2);title('square(2*pi*505*t2)');subplot(2,2,4);stem(m2(1:256),tran sf2(1:256);title('fs=2560');界面显示程序如下：显示波形1a=str2double(get(ha ndles.edit4,'Stri ng');t1=0:1/a:0.1;m1=0:10:a;y1=square(2*pi*505*t1);tran sf1=abs(