《材料力学》7-2平面应力状态的应力分析主应力

1、 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析 主应力主应力一、公式推导：ax y cx b ay c n x yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx二、符号规定： 由由x x正向逆时针转到正向逆时针转到n n正正向者为正；反之为负。向者为正；反之为负。nx正正 应应 力力yx拉应力为正拉应力为正x压应力为负压应力为负切切 应应 力力 yx 使单元体或

2、其局部顺使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之时针方向转动为正；反之为负。为负。 某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。MPa20MPa103MPa30abc1n xy 22cos2yx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32. 2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33. 12n230100600120cos230100120sin20MPa32.42060120sin2301000120cos20

3、MPa33. 1006030yxMPa40在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。x xy 22cos2yx2sinx2cos22yx 2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。 分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。 xy 22cos2yx2sinx2sin 2sin2yx2cosx2cos045max450max4500045minma

4、x 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。 应力圆一、应力圆的方程式222)(Ryax xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx222222xyxyx 在坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上 应力对应的点a和d 连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。a( x , x)d( y , y)c xy 2 yyxADx o、几种对应关系 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力； 转向对应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转

5、角度的两倍。 yyxADxa( x , x)d( y , y)c o yyxx caA c2 2anb 试用应力圆法计算图示单元体e-f截面上的应力。图中应力的单位为MPa。4 . 42 . 2n030ef oadcMPa2 . 5030MPa8 . 0030060 对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力max85MPa，试求x的取值范围。图中应力的单位为MPa。50100 x ox,100y,50adcx2yx222222xyxyx2max222xyxx22285250100100 xMPax40 主应力和主平面切应力等于零的截面为主平面主平面上的正应力称为主应力a( x , x)

6、d( y , y)c xy 2 o222222xyxyx22122xyxyx1202yxxtg2200002)90(2tgtg22222xyxyx 已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.bhzsFM123mm2541、画各点应力状态图1323412、计算各点主应力123bhIz4500cm zIMy14310500501010MPa1001点021MPa10032点 (处于纯剪状态)AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyxMPa3010

7、2MPa3033点(一般平面状态) zIMy34310500251010MPa50bISFzzs*60105005 .3725601012043MPa5 .22MPa6 .58102MPa6 . 834点MPa10010203 自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示, .试求此点的主应力及主平面.3abd060060abcxad面,db面是该点的主平面.xy0 xF030cos30sin00abxabAA3x3102333 构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力A50100100200 o100,20050,100c在应力圆上量取MPa235102MPa1103MPa5 .172max平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩2sin2 x)2cos1 (2 xx 10 322minmaxx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx平面应力状态的几种特殊情况扭 转2cos x 2sin xx 1x3- xminmax xy 22cos2yx2sinx 2