力学竞赛试题

1、海南大学土木建筑工程学院、海南省力学学会第二届力学竞赛试题1、如图1所示，质量均为m的n(n 3)个均质圆柱体依次搁置在倾角为 30的 斜面上，并用铅垂设置的铰支板挡住。若已知圆柱半径为 R,板长为I，各圆柱 与斜面和挡板之间的摩擦系数尸1/3,且不计各圆柱之间的摩擦，试求维持系统 平衡时的最大水平力P。【解】先设圆柱On，由三力平衡汇交定理知其与斜面间摩擦力为零，依次判断， 直到圆柱。2与斜面间摩擦力均为零。再研究圆柱 O2,O3,.,On共n-1个柱体的整 体平衡，由、Fx =0有N2 =1 mg2N2为圆柱O,与02间的作用力。再研究Q圆柱，受力如图，由irioi = 0有m设 A0 二

2、 BO =a ,由 mo =0N, a mg R ,N a 2 N R当n 3时，NjN,，可知A处先滑动，且F N；。由 mB =0将N2代入，得(n +3、厲 1Nr 二m g所以(n + 3 )(73 +1 ) Fr N,mg12由Fx，0,(打X 3n+旷七9 Ni 二Neos30Fi cos3M0s4 n-Omg12最后研究铰支板的平衡，由二 mb = 0PI二 N 3 R所以PmaxV(5 + V3 n+ 3 )3 mg4I -2、如图2所示，偏心轮质量为m,偏心距OC = e。轮对质心C的回转半径为p, 置于光滑水平面上。初始时 OC呈水平，质心C有一水平初速u,轮的角速度为 零

3、。求当C点运动至最低位置时，水平面对轮的约束反力。【解】取质心平动参考系O1xy（图7），它以常速度v运动。质心C的相对速度vr沿y轴。由动能定理，有图712 12 2 1 2JC m v vr mv =mgcos2 2 2其中Jc。当质心C运动至最低点时，有vr =0，=0故有7p;此时运用相对质心的动量矩定理，有所以C点的加速度向上，为所以有空P2丿N -mg 二 mac2geN = mg + me = mg 1 +% 、3、图3所示对称桁架，受载荷P作用，己知各杆材料相同，横截面面积也相同, 问有何办法可使各杆同时达到材料的许用应力才？图3图8【解】办法1:利用装配应力改变内力分配 在准

4、确加工、装配的情况下，桁架中各杆的 受力为2(1)(2)P C 0 SV3N312 c o因此N3 M，总是杆3先达到为使各杆的应力同时达到t 1，可采用加装配应力的办法，即预先将杆3做长：，在强制装配以后，杆3将具有 预应力，而杆1、2将具有预拉应力。由图8可知，设外载增至P 1时，各杆的应力同时到达 J I，节点A到达A在小变形假设的前提下，叠加原理使用，与各杆伸长量之间应满足下列协调方 程(4)(5)-l ：l2 = ：l3 cos各杆的轴力又满足下列物理方程Nlk|.：l iu-（ i =1,2,3）EA E由方程（3）、（4）解得杆3长度的过盈量，右J t 2占二1 a 二E该桁架的

5、许用载荷为P A1 2c 0S由式（5）可以看出，这个解答的适用范围有一定的限制， 即若接近1时，就2变得相当大，这时，小变形假设就不适用了，因此所得：值也就没意义了。办法2:对于短暂加载情况，除了上述办法外，还可以采用加热应力的办法 来达到相同的目的，若材料的线膨胀系数为 ，又假设材料的许用应力不随 温度的改变而改变，则杆3所需升高的温度为二， 2 .1tan71、-| e、4、物块C的重量为G,置于悬臂梁AB上(图4),梁长L,弯曲刚度EI，物块 与梁间的摩擦系数为 禺求：(1) 物块开始滑动时的位置；(2) 物块滑离B端时的速度。【解】(1) 程为设物块开始滑动时的位置为s，如图图49所

6、示，则AD段的挠度曲线方由此可知Gx2% 二 yD Gs2 2EI由静力平衡条件，可求得摩擦力为(1)rP -彳A .i r丄建xJ、1F = 4G c o sD而物块开始滑动的条件为Gsi nD由以上二式易得t a nD将式(1)代入上式，即可得到物块开始滑动时的位置为/ . , 22EI GL3B :(2)物块由D处滑至B处，在此阶段的始、末两处的挠度分别为f Gs D 3EI， 3EI设物块滑离B端时的速度为v，W为摩擦力F在此滑动过程中所作的功, 由能量守恒定律可得I2g这里假定物块很小，其转动动能可忽略不计。 由于33 GL3 - Gs33EI 丿-W(2)1ds 二 1 y 2 %

7、x1c o|S| = dXds = （1 + y 2 尸故有1dW =卩GcoS。 41 + y2 Ydx = PG d x积分上式，得W -G L - s将式（3）代入式（2）,最后得到1r- gT 2v =2g（L S：|3EI （L2 +Ls + s2 卜卩”5、下列结构均为等直杆，各相应载荷为任意分布。证明图5中（a）杆的轴力图、（b）圆轴的扭矩图、（c）梁的剪力图、（d）梁的弯矩图，其图形面积代数和均 为零（c）梁剪力图在受分布和集中力偶矩时例外）。【证明】设轴力为N x，扭矩为T x，弯矩为M x，剪力为Q x，E为弹性模量，G为切变性模量，I和Ip分别为轴惯性矩和极惯性矩，A为杆

8、的截面面积（a）图，受任意分布和集中的轴向力作用。杆的总伸长为d = 0。由胡克定律,正应变；x二山，故轴力图面积的代数和为EAll（ N = NxdxEA ；xdx = EA 1=000（b）图,受任意分布和集中的扭力偶作用。圆轴扭转角，的边界条件为： Oi： il，根据圆轴扭转变形基本公式 =Tx，故扭矩图面积的代数和dx Gl P为ii d护l0(T )= 0T(xpx=GI P 0一 x =GIP护 0=0dx(c) 图，受任意分布和集中的横向载荷作用。对于简支梁，M 0二M l =0，且在无分布力偶矩的情况下，剪力与弯矩的微分关系为如二Q，故有dx| dMi0(Q )= dx = M 0 = 010 dx受到分布和集中力偶矩作用时，此值一般不为零，因为关系式如=Q中，未dx考虑分布力偶矩的作用。在这种情况下，应修正为l11 Q m x dx 亠二 M ii其中m x与Mi为分布力偶矩和集中力偶矩，逆时针为正。(d) 图，受任意分布和集中的横向载荷及力偶矩作用。两端固支梁，转角边2界条件为二0*1 = 0，有微分关系为4dx dx El11