分别是正弦余弦正切余切正割余割

1、维基百科正弦性质奇偶性奇定义域(-OO,TO)到达域-1,1周期2n特定值当 x=00当 x=+ON/A当 x=-ON/A最大值(2k+ ? )n,1)最小值(2k-?)n,-1)其他性质渐近线N/A根kn临界点kn-n/2拐点kn不动点0k 是一个整数.余弦性质奇偶性偶定义域(-到达域-1,1周期特定值当 x=00当 x=+ gN/A当 x=-ooN/A最大值(2kn,1)最小值(2k+1)n,-1)其他性质渐近线N/A根kn-n/2临界点kn拐点kn-n/2不动点0k 是一个整数.正切丿-u11I1户JJ/HJ尸J*9r111性质奇偶性奇定义域x|x 工 kn+n/2 , k Z到达域(-

2、oo,o)周期n特定值当 x=00当 x=+ gN/A当 x=-ooN/A最大值oo最小值-oo其他性质渐近线N/A根kn不动点0k 是一个整数.周期n特定值当 x=00当 x=+ gN/A当 x=-ooN/A最大值00最小值-OO其他性质渐近线N/A根幵kn+ 2不动点0k 是一个整数.性质奇偶性偶x|x 工 kn+n/2 , k定义域 Z至 U 达域|secx| 1周期2n特定值r7当 x=00当 x=+ gN/A当 x=-ooN/A最大值OO最小值-OO其他性质渐近线N/A根无实根临界点kn拐点kn-n/2不动点0k 是一个整数.余割性质奇偶性奇定义域x|x 工 kn,kZ到达域|csc

3、 x|1周期2n特定值当 x=00当 x=+ gN/A当 x=-ooN/A最大值lirn(2fc7r +x),o)最小值lirn(2fc*7r e其他性质渐近线N/A根无实根临界点kn-n/2拐点kn不动点0k 是一个整数.反正弦性质奇偶性奇定义域-1,1到达域7T 7T于2周期N/A特定值当 x=00当 x=+ gN/A当 x=-ooN/A最大值7T2最小值2其他性质渐近线N/A根0反余弦性质奇偶性非奇非偶函数定义域-1,1到达域周期N/A特定值当 x=07T2当 x=+ gN/A当 x=-ooN/A最大值开最小值D其他性质渐近线N/A根1反正切性质奇偶性奇函数定义域实数集到达域-詢周期N/

4、A特定值当 x=00当 x=+ g7T2当 x=-oo2其他性质渐近线7T=2根0拐点原点名称常用符号定义定义域值域反正弦y = arcsm xx sin y冋1-1J12J2J反余弦y arccosa; x cos y-1,10卫反正切y = arctana:x tan yJI（亠）反余切y = arccotx cotyn3 卫）反正割y arcsecsx see if(一 8* 1 U1,+OG)0u伶拥反余割y arGCiSGa;w cscy(-OO, 1 U l,+oo)F訥U(U冷百度文库下载分别是 正弦余弦正切 余切正割余割角B的所有三角函数（见：函数图形曲线）在平面直角坐标系xO

5、y中，从点0引出一条射线OP，设旋转角为设OP=r,P点的坐标为（x,y）有正弦函数sin0=y/r余弦函数cos0=x/r正切函数tan0=y/x余切函数cot0=x/y正割函数sec0=r/x余割函数csc0=r/y（斜边为r，对边为y，邻边为x。）以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数:正矢函数versin0=1-cos0余矢函数covers0=1-sin0正弦（sin）:角a的对边比上斜边余弦（cos）:角a的邻边比上斜边正切（tan）:角a的对边比上邻边余切（cot）:角a的邻边比上对边正割（sec）:角a的斜边比上邻边余割（csc）:角a的斜边比上对边编辑本段同角三角函数间的基本关系式

6、:平方关系：sin2a+cosA2a=11+tanA2a=secA2a1+cotA2a=CSCA2a积的关系：sina=tanaCosacosa=cotaXsinatana=sinaXsecacota=cosaXcscaseca=tanaXcscacsca=secaXcota倒数关系：tanacota=1sinacsca=1cosaseca=1商的关系：sina/cosa=tana=seca/CSCaCOSa/sina=COta=CSCa/seca直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边，三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：COS

7、(a+3)=COSaCOSB-sinasin3Cos(a-3)=cosacos3+s inasin3cos(3a)=4cos³(a)-3cosa=4cosacos(60+a)cos(60-a)sin(a0=sina cos3cosasin3tan(a+3)=(tana+tan3)/(1-tanatan3)tan(a-3)=(tana-tan3)/(1+tanatan3)三角和的三角函数：sin(a+3+Y=sinacos3cos y+cosasin3cosY+COSacos3sinY-Sinasin3sinYcos(a+3+Y=cosacos3cosYCOSasin3sin丫-sin

8、acos3sin丫-sinasin3cos丫tan(a+3+丫)=(tana+tan3+tan丫-tanatan3tan y)/(1-tanatan3-tan3tan丫-tanYtan a)辅助角公式：Asina+Bcosa=(A²+B²(1/2)sin(a+arctan(B/A)，其中si nt=B/(A²+B²；F(1/2)cost=A/(A²+B²)/2)tant=B/AAs ina-Bcosa=(A²+B²(1/2)cos(a-t),tan t=A/B倍角公式：sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+

9、cota)cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a)tan(2a)=2tana/1-tan²(a)COsa+COs3=2COs(a+3)/2COs(a-3)/2三倍角公式：sin(3a)=3sina-4sin³(a)=4sinasin(60+a)sin(60-a)tan(3a)=tanatan(n/3+a)tan(冗/3-a)半角公式：sin(a/2)=v(1-cosa)/2)COS(a/2)=v(1+cosa)/2)tan(a/2)=v(1-COSa)/(1+COSa)=si na/(

10、1+COSa)=(1-COS降幂公式sin²(a)=(1-COs(2a)/2=versin(2a)/2COs²(a)=(1+COs(2a)/2=COvers(2a)/2tan²(a)=(1-COs(2a)/(1+COs(2a)万能公式：sina=2tan(a/2)/1+tan²(a/2)cosa=1-tan²(a/2)/1+tan²(a/2)tana=2tan(a/2)/1-tan²(a/2)积化和差公式：sinaCOS3=(1/2)sin(a+B)+sin(a-3)COSasin3=(1/2)sin(a+3)-sin(a-

11、3)COSaCOS3=(1/2)COS(a+3)+COS(a-3)sinasin3=-(1/2)COs(a+3)-COs(a-3)a)/sinaCOsa+COs3=2COs(a+3)/2COs(a-3)/2和差化积公式：sina+sin3=2sin(a+3)/2COs(a-3)/2sina-sin3=2COs(a+3)/2sin(a-3)/2cosa-cosB=-2sin(a+B)/2sin(a-3)/2推导公式tana+cota=2/sin2atana-cota=-2cot2a1+cos2a=2cos²a1-cos2a=2sin²a1+sina=(sina/2+cosa/

12、2)²其他：sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2n*3/n)+.+sina+2n*(n-1)/n=0cosa+cos(a+2n/n)+COS(a+2n*2/n)+COS(a+2n*3/n)+ .+cosa+2n*(n-1)/n=0以及sin²(a)+sin²(a-2冗/3)+sin²(a+2冗/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+.

13、+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx(积化和差)sinx+sin2x+.+sinnx=cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证证明:左边=-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2 sinx)=- cos(n+1)x+cos

14、nx-cosx-1/2sinx=右边 等式得证三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4s in a(v3/2) ²-si n& sup2;a=4sin

15、a(sin²60-sin²a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)。-a)/2*2si n (60-a)/2cos(60+a)/2=4si nasi n(60+a)si n(60-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(v3/2)²=4cosa(cos²a-cos ²30)/2cos(a-30 )/2*-2si n(a+30)/2si n(a-30 )/2=-4cosas in( a+30)si n(a-30)=-4cosas in

16、90(60a)sin-90+(60 +a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得编辑本段三角函数的诱导公式公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin a-cos a/vran a-CO佃-csca=4si na*2s in(60+a)/2cos(60=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30tan 3a=ta natan(60-a)ta n(60 +a)匚对命銭抽乘机加I耳空自三用琴的上两牛G伍的平方和弄于下理血的平方X 箕谜務相邻的盂十哽庭H

17、0斗有旻:c-bsin(2kn + a)=sinaCOS(2kn + a)=COSatan(2kn + a)=tanaCOt(2kn + a)=COta公式二：设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin(n + a)=sinaCOS(n + a)=COsatan(n + a)=tanaCOt(n + a)=COta公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(a)=sinaCOS(a) =COsatan(a) =tanaCOt(a) =COta公式四:利用公式二和公式二可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(n a) =SinaCOs(n a)=COS

18、atan(n a)=tanaCOt(n a)=COta公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:Sin(2n a)=SinaCOS(2n a)=COSatan(2n a)=tanaCOt(2n a)=COta公式六:n/2a及3n/2a与a的三角函数值之间的关系：Sin(n/2+a)=COSaCOS(n/2+ a)=Sinatan(n/2+ a)=COtaCOt(n/2+ a)=tanaSin(n/2a)=COSaCOS(n/2a)=Sinatan(n/2a)=COtaCOt(n/2a)=tanasin(3n/2+a)=COSaCOS(3n/2+a)=sinatan

19、 ( 3n/2+a)=cotacot(3TT/2+a)=tanasin ( 3n/2a)=COSaCOS(3n/2a)=sinatan(3n/2a)=cotacot(3TT/2 a)=tana(以上kZ)补充：6X9=54种诱导公式的表格以及推导方法(定名法则和定号法则)f(旷f(B)= sin3cos3tan3cot3sec3csc3360k+asinacosatanacotasecacsca90 acosasinacotatanacscaseca90 +acosa-sina-cota-ta na-cscaseca180-asina-cosa-ta na-cota-secacsca180 +

20、a-sina-COSatanaCOta-seca-CSCa270-a-COSa-sinaCOtatana-CSCa-SeCa270 +a-COSasina-COta-ta naCSCa-SeCa360-a-sinaCOSa-ta na-COtaseCa-CSCa_a-sinaCOSa-ta na-COtaseCa-CSCa定名法则90。的奇数倍+a的三角函数，其绝对值与a三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍+a的三角函数与a的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同， 奇变偶不变”定号法则将a看做锐角(注意是“看做”)，按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”比如：9

21、0a。定名：90。是90。的奇数倍，所以应取余函数；定号：将a看做锐角，那么90a是第二象限角， 第二象限角的正弦为负，余弦为正。所以Sin(90a)=COSa, cos(90+a)=-Sina这个非常神奇，屡试不爽编辑本段三角形与三角函数1、 正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/si nA=b/sinB=c/sinC=2R.(其中R为外接圆的半径)2、 第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC3、 第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即aA2

22、=bA2+cA2-2bccosA4、 正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即(a-b)/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2)5、 三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中，如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明：已知(A+B)=(n-C)所以tan(A+B)=tan(n-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tann-tanC)/(1+tanutanC)整理可得ta nA+ta nB+ta nC=ta nAta nBta nC类

23、似地，我们同样也可以求证：当a+3+ Y=nn(nZ)时，总有tana+tanB+tan y=tan atanBtan丫编辑本段部分高等内容高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：si nx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2ta nx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数，eAz=exp (z)=1+z/1! +zA2/2! +zA3/3! +zA4/4!+ .+ zAn/n !+此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y”;y=y”，有通解Q,可证明

24、Q=As in x+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。角度a 0304560901801.si na0 1/2V2/2V3/21 02.cosa1V3/2V2/21/2 0 -13.ta na0V3/31 v3/ 04.cota/V31V3/30 /(注：“V”为根号)编辑本段三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn +.=Enxn (n=0. g)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=刀cn(x-a)n(n=0.g)它们的各项都是

25、正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法):f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.实用幂级数：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.arcsinh x = x - 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5arctanhx = x +乂人3/3+乂人5/5 + . (|x|

26、1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图 像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。sin xx-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-gxg)cos x1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-gxg)arcsinx = x +1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+ . (|x|1)arccosx =n- ( x +1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+ . ) (|x|1)arctanx = x - xA3/3+ xA5/5.(x1)sinh xx+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-gxg)(|x|1)(-gxg). (|x|1)傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+0n=0.m) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/nj(n.-n) (f(x)dxan=1/nj(n.-n) (f(x)cosnx)dxbn=1/nj(n.-n) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦第- ，二象限为正，第三，四象限为负余弦第- ，四象限为正第二，三象限为负正切第一，三象限为正第二，四