《数学分析选论》习题解答

1、11 / 10数学分析选论习题解答第二章连续性 设X, y山n，证明：I|X y|2|x-y|2=2(|x|y |2).证由向量模的定义，nn2 2 2 2I|X y|x y|八(Xiyi) (Xi yi)i Li =1n= 2、(X2yi2H 2 (|X|2|y |2).口i =12 设S山n,点x三】：n到集合S的距离定义为(x, S) =inf：?( x, y ).yES证明：(1)若S是闭集，x S，贝 yT(x,S) 0;d(2)若S = S S(称为S的闭包)，则S = x：knI T(x, S) = 0证 (1)倘若r(x,S)=0，则由J(x,S)的定义，y S，使得1?(X,

2、 yn)冷，n =1,2,因X - S，故yn = X，于是X必为S的聚点；又因S是闭集，故X S，这就导致矛盾所以证得?(x , S )0.(2)-x S若xS，则珥x, S) = 0显然成立若x S，则xSd(即x为S的聚点)，由聚点定义，一；-0, U(X；) fS =，因此同样有inf。(X, y) =(x, S)=0 y =S反之，凡是满足T(X, S) = 0的点x,不可能是S的外点(若为外点，则存在正数；0,使U(x;；0)S二一，这导致inf r(x,y) _；0.0，与(x, S) = 0相矛盾)从y匸S而x只能是S的聚点或孤立点若X为聚点，则X-Sd二S；若X为孤立点，贝

3、y12/10证 如图所示，把直线段x0 x1置于一实轴上，并x E S u S.所以这样的点x必定属于S.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。综上，证得SJ.X山n| T（x, S）=0 1成立.3 .证明：对任何S二. :n,Sd必为闭集.d证如图所示，设x0为S的任一聚点，欲证X。Sd，即xo亦为S的聚点.这是因为由聚点定义，.“；抵0 , T y，使得y U （x0;；）S再由y为S的聚点，-U（ y；U （x0;；），有U （ y;；） S -.Q_dd于是又有U （x；） rS =，所以X0为S的聚点，即xS,亦即S为闭集.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。4 .证明：对任何S二n,；S必为闭集.

4、证 如图所示，设X0为；S的任一聚点，欲证X0 ，即X0亦为S的界点.由聚点定义，- ； 0, T y，使再由y为界点的定义，-U （ y ;）U （ x0;；）,在U（ y;：）内既有S的内点，又有S的外点.由此证得在U（x;；）内既有S的内点，又有S的外点，所以X0为S的界点，即:S必为 闭集.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤東。” $ .设S山n,X0为S的任一内点，Xi为S的任一外点.证明：联结X0与Xi的 直线段必与至少有一交点.13 / 10为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字母表示.下面用区间套方法来证明x0X - ；：S = ._ .a1+b1记ai, bi =xo, Xi

5、, ci.若 &；：S,则结论成立；若ci为S的内点，则取a2, b2 =ci, bi；若ci为S的外点，则取lim anlim bn= y,n nT:由区间套定理的推论，-；.0，当n足够大时，an,bn U（y;；）,因此在U（ y;名）中既含有S的内点（例如an），又含有S的外点（例如bn），所以xXi 上的点y必是S的界点.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。6 证明聚点定理的推论 2 和推论 3.推论 2山n中的无限点集S为有界集的充要条件是：S的任一无限子集必有聚点.证 必要性当S为有界集时，S的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接推知结论成立.充分性用反证法来证明倘若S为无界集

6、，则必能求得一个点列9k 1S,使得lim | Pk|=止二.这个 作为S的一个无限子集不存在聚点， 与条件矛盾.故Sk）：为有界集.口（2）推论 3 山n中的无限点集S为有界闭集的充要条件是：S为列紧集，即S的任一无限子集必有属于S的聚点.a2, b2二ai, Ci.般地，用逐次二等分法构造区间套：记Cn二anbn2（不妨设cn,bn,an +i,bn申=an, cn,6 为S的内点，6 为S的外点,n =i, 2,此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点an恒为S的内点，右端点bn恒为S的外点现设F面证明14/10证 必要性因S有界，故S的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚

7、点.又因子集的聚点也是S的聚点，而S为闭集，故子集的聚点必属于S.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤。充分性由上面(1)的充分性证明，已知S必为有界集下面用反证法再来证明S为闭集.S的某一聚点P S，则由聚点性质，存在各项互异的点列 很S，使,)lim Pk -P据题设条件，Pk ?的惟一聚点P应属于S，故又导致矛盾所以S的k .所有聚点都属于S，即S为闭集.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂。7设X山n, f:A,B X.证明：(1)f(A B)二f(A) f(B);(2)f (A - B)二f(A) - f (B);(3)若f为一一映射，则f(A - B)二f (Ar f(B).证 (1)- y f (A

8、 B), Tx A B ,使y = f (x).若x A,则y f (A)；若x B,则y f (B).所以，当x A B时，y = f (x) f (A) f (B).这表示f(A B) f (A) f(B).反之，-y f(A)一f(B), x X ,使y二f(x).若y f(A),则x A；若y f (B),则B，于是A . B这表示y = f(x)f(A_. B)，亦即f(A _ B)二f (A) _ f(B).综上，结论f (A B) = f(A) f(B)得证.(2)y f (AB), Tx AB,使f (x)二y因x A且x B，故f(x) f(A)且f(x) f(B),即y =

9、 f(x) f(A)- f(B)，亦即f(AB) f(A) - f(B).然而此式反过来不一定成立.例如f(x)=x2, A=-2,1, B=-1, 2 ，则有f(A)二f(B)二f (A厂f(B)二0, 4;A一B二-1, 1, f(A一B) =0, 1.可见在一般情形下，f (A)、f(B)二f(A - B).15 / 10(3)-y f (A) - f (B), -IA , X2B，使y = f (x)=f (x2).当f为一一映射时，只能是 召=x2 A - B，于是y f(A - B)，故得f(A)一f (B) f (A一B).联系(2),便证得当f为一一映射时，等式f (A)f(B

10、)二f (AB)成立.口8.设f, g :J 汕一；r.m, a山n, - c：Hm，且lim f (x) = b , lim g (x) = c._.a_.a证明：(1)lim | f(x)|llb|,且当|b| =0时可逆；a(2)lim f (x)g(x) =bTc.x.a证设f(x) = .fi(x), fm(x)卜，g(x) = g(x), gm(x)卜，a= ai,anb= bi,， -，c = ci,，cm.利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道lim fi(x)二bi, lim gi(x)二Ci, i = 1, 2 , m.x.a. a(1)lim |f(x)二lim.f12(x) fm2(x)二b12bm2二|b II.xa.a当|b|=0时，由于|f(x)|-|b| =|f(x)|，因此由lim |f(x)| = 0，推知xTa2 . lim fi(x) = 0, i = 1, 2