相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

1、实用文档相似三角形一、知识概述1 .平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2 .平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。3 .相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.4 .相似三角形的基本性质相似三角形的对应边成比例、对应角相等.相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方温馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例

2、.相似比具有顺序性. 例如 AB6 A B' C'的对应边的比，即相似比为k,则AA' B' C' s ABC上，的相似比%,当且仅当它们全等时，才有 k=k' =1.相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.5 .相似三角形的判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。温馨提示：(1)判定三角形相似的几条思路：条件中若有平行，可

3、采用判定定理1;条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必 须是成比例两边的夹角对应相等.条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。(2)在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用， 培养综合运用知识的能力。(3)运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题， 要注意培养当数学建模的思想。6 .位似定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经

4、过同一点，那么这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.因此，位似图形一定是相似图形，但 相似图形不一定是位似图形.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注意：(1)位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.(2)两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7,三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、相似三角形解题思路：1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问

5、题的一项基本功.通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边 (或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所 夹的角是对应角.2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形 成一整套完整的判定方法.如:(1) “平行线型

6、”相似三角形，基本图形见上节图.“见平行，想相似”是解这类题的基本思路;“见一对等角，找另(2) “相交线型”相似三角形，如上图.其中各图中都有一个公共角或对顶角.一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路; “旋转型”相似三角形，如图.若图中/1=/2, /B=/D5/C=/ E),则AADaAABC；该图可看成把第一个图中的 ADE绕点A旋转某一角度而形成的.D温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线.以上 “平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时 要注意从复杂图形中分解或添加辅

7、助线构造出基本图形.标准文案实用文档6.平行四边形ABCM,N,贝U CN=第3题相似三角形专题分类练习讲解题型一：线段的比、黄金分割1 .在比仞尺1: 10000的地图上，相距 2cm的两地的实际距离是D. 200kmA. 200cm B . 200dm C . 200m2 .若色=g则下列各式中不正确的是（）3 .平 2B, -Z- = 4 C , F = ：D. Lx _y2_X_3 .若丁 = 5 ,则7 =;已知2=2 ,则x y =;已知且3y=2z+6,则y 3 x y356x =, y =o4 .若 5x 4y = 0 且 xy ¥ 0 ,贝U x : y =。5 .

8、2和8的比例中项是 ;线段2 cm与8 cm的比例中项为 6.已知 a : b : c = 2 ： 3 : 4,且 2a+ 3b2c=10,求 a, b , c 的值。题型二：相似的性质1 .如果两个相似三角形的面积比为3 : 4,则它们的周长比为 。2 .已知 AB8 DEF且 AB DE=1: 2,则 ABC的面积与 DEF的面积之比为 3 .如图，DE/ BC, AD： BD=2： 3,贝U A ADE的面积：四边形 DBCEW面积=。4 .如图，已知等边三角形 ABC的边长为2, DE是它的中位线，则下面四个结论：(1) DE=1, (2) CDa CAB (3) CD前面积与 CAB

9、的面积之比为1 : 4.其中正确的有： 个5 .如图，在梯形 ABCD43, AD/ BC, 4ADE与 BCE面积之比为 4 : 9,那么 ADE与 ABE面积之比为 AB=2& E、F是对角线 AC上的两点，且 AE=EF=FC DE交AB于点M, MF交CD于点7.如图，已知平行四边形 ABCD43, E是AB边的中点，DE交AC于点F, AC, DE把平行四边形 ABC防成的 标准文案实用文档四部分的面积分别为 Si, S2, S3, S.卜面结论：只有一对相似三角形；EF: ED=1: 2;Si： S2： S3： S4=1： 2: 4 : 5.其中正确的结论是（）.8.如图，

10、大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S、Sa ,那么S1、S2的大小关系是A.S > S B.S = S2C.S<S2D.S、S2的大小关系不确定9.如图，在正方形 ABCD43,点E在AB边上，且 AE： EB= 2 ： 1AF± DE于G交BC于F,则4 AEG的面积与四边形BEG用勺面积之比为（A.1: 2B.1:4C.4D.210.如图，已知 DE/ BC, CM BE相交于点O,S DOESCOB =4 ： 9,则 AE： EC为()A.2： 1B.2:3C.4D.54排列，则图中阴影部分的面积为11.已知三个边长为 23, 5的正方形按图B第7题第8

11、题ADB第9题F CBD第10题第11题12.如图在 ABC中,矩形 DEFG G F在BC上，D> E分另在AB> AC上,AHL BC交DE于M, DG：=1 ： 2, BC= 12 cmAH= 8 cm,求矩形的各边长。DE13.已知如图，正方形CDFE勺面积S2。ABCD43, AB= 2, E是BC的中点，DF, AE, F为垂足，求 DFA的面积S1和四边形题型三：相似的有关证明标准文案1.已知：如图，梯形 ABCD, AB/ DQ E是AB的中点，直线N点求证：MD ME= ND NEED分别与对角线AC和BC的延长线交于M2 .如图，D在 AB上，且 DEE/ BC

12、 交 ACT E, F在 AD上，且 AD2 =AF AB ,求证： AEM AACID3 .如图，在平行四边形 ABCD43,过点A作AE! BC,垂足为E,连接DE, F为线段DE上一点，且/ AFE之B(1)求证： ADD DE(C(2)若 AB=& AD=6/3，AF=4/j,求 AE 的长.D题型四：函数与相似1 .如图，正方形ABC邛，AB= 1, G为DC中点，E为BC上任一点，(E点与点B、点C不重合)设BE=工， 过E作GA平行线交AB于F,设AFEC面积为尸，写出与工的函数关系式，并指出自变量 团的取值范围。2 .如图，ABC比矩形，AH 2, HD= 4, DE=

13、 2, EC= 1 , F是 BC上任一点(F与岚B、点C不重合），过F作EH的平行线交AB于G,设BF为工|,四边形HGFE®积为了，写出尸与1的函数关系式，并指出自变量的取值范围。3 .如图，有一块直角梯形铁皮ABCDAD=3cm,BC= 6cm,CD= 4cm,现要截出矩形EFCG（ E点在AB上,与点A、点B不重合），设BE=|K ,矩形EFCGW长为尸,（1）写出厅与1的函数关系式，并指出自变5量乂取值范围；（2） 7取何值，矩形 EFCGW积等于直角梯形 ABC面积的“。4 .如图，已知抛物线 y = x2 1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. （1）求A、B C三点

14、的坐标.（2）过点A作AP/ CB交抛物线于点 P,求四边形 ACBP勺面积.（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E,连接AE,求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问以题型五、圆与相似B、F,为顶点的三角形与1. （2013?绥化）如图,占八、A, B, C, D为。O上的四个点，AC平分/ BAR AC交BD于点E, CE=4, CD=6则AE的长为(A.4B.5C.6D.72 .如图，AB为。的直径,D是弧BC的中点，DE! AC交AC的延长线于 E,。的切线 BF交AD的延长线于点F。求证：DE是。的切线;(2

15、)若DE= 3,。的半径为5,求BF的长。3 .如图，RtABC中，/ C=90° ,。为直角边BC上一点，以。为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边 AB相切于点D,与BC交于另一点 E.(1)求证： AO挈 AOD(2)若BE=1, BD=3,求。的半径及图中阴影部分的面积S.4 .如图。是 ABC外接圆，AB是直彳5, D是AB延长线上一点， AE± DC的延长线于点E,且AC平分/ EAR (1)求证：DE是。的切线；(2) 若AB=6, AE=4,求BC和BD的长5. (2012辽宁)如图，AB是。的直径，点 C在。0上，/ CAB的平分线交。于点D,过点D作AC的垂线

16、交AC的延长线于点E,连接BC交AD点F。(1)猜想ED与。的位置关系，并证明你的猜想;(2)若 AB= 6, AD= 5,求 AF的长。6. (2013?十堰)如图1, 4ABC中，CA=CB点O在高CH上，ODLCA于点D, OELCB于点E,以。为圆心，OD为半径作。O.(1)求证：O。与CB相切于点E;(2)如图2,若。过点H,且AC=5, AB=6,连接EH,求 BHE的面积.题型六、因动点产生的相似问题实用文档1. D是4ABC的AB边上一点，过 A D及三角形边上的一点 E的三角形与 ABC相似，画出示意图。AADCBBCDOB的中点2C在什么位置时DBABPPxBCFC的坐标为

17、使得由点4使以ANy87654321-3-4y54321PC把RtOAB成两部分(3形ABCra积最大，并求出最大面积m点运动到什么位置时，四边写出点C的坐标M点在BC上运动时，保才e AMW M照直3.在直角坐标系中有两点(1)证明：RtAABIVhRtAMCN如图，P是边长为4的正方形ABCD一点(3)当M点运动到什么位置时 RtAABMh RtAMN求此时xC为折线OAB±的动点.1o-1123456 A x(2)设BMx,梯形ABCN勺面积为y,求y与x之间的函数关系式Rt OA西直角坐标系中白位置如图，P-5-4-3-2-1 o-1-2A12345A (4, 0), B (

18、0, 2),如果点C在x轴上(C与A不重合)5.正方形ABCDi长为4, M N分别是BC CD上的两个动点D是RtABC的BC边上一点，过 C D及三角形边上的一点 E的三角形与 ABC相似，画出示意图。CB M6.如图，在 ABC中，/ BAC=90 , AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点(不与 B,C重合)，EFLAB,EGJ± AG垂足分别为 F,G.标准文案实用文档(1)求证：EG _CG ； AD 一五(2) FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由;(3)当AB=AC寸， FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由.7 .矩形OABCE平面直角坐标

19、系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为 A (6, 0), C (0, 3),直线y =3x与BC边相交于D点.4(1)求点D的坐标；(2)若抛物线y=ax29x经过点A,试确定此抛物线的表达式； 4(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线O或于点M点P为对称轴上一动点，以 P、O M为顶点的三角形与 OCDI似，求符合条件的点 P的坐标.8 .如图，抛物线 y= 1x2+ _5x2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.22(1)求证： AOGACOB（2）过点C作CD/ x轴交抛物线于点 D.若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由 A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由

20、 D向C运动，则经过几秒后， PQ= AC9 .如图，二次函数的图象经过点D（0, 7可），且顶点C的横坐标为9P,使PA+PDt小，求出点 P的坐标;的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点 在抛物线上是否存在点 Q使QA*4ABCt目似？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由.题型三：位似1 .如图所示，以点O为位似中心，将五边形ABCD敞大后得至IJ五边形 A B' C' D' E.已知OA= 10 cm, OA =20 cm,则五边形 ABCDE勺周长与五边形 A B' C' D' E'的周长的比值是2

21、 .如图，在6X8的网格图中，每个小正方形边长均为1,点O和ABC勺顶点均为小正方形的顶点以O为位似中心，在网格图 的AA',求四边形AA' CC的周长.（结果保留根号）3.如图，点O是等边三角形PQR勺中心，P'、Q'、R'分另1J是 OR OQ OR的中点，则 P' Q' R'与4此时，P' Q' R'与 PQR勺位似比为PQR1位似三角形.第1题相似三角形分类题型讲解 题型一：第3题（答案）1.C2.C3.7; -1; 6; 5510；4.4:55.±4、46.a=4b=6 c=8中作 A' B