一阶常微分方程解法的总结

1、实用标准文案第一章一阶微分方程的解法的小结(1)、可别离变量的方程：、形如孚=f(x)g(y)dx当g(y)wO时,得到d=f(x)dx,两边积分即可得到结果； g(y)当g(o) =.时,那么y(x) =/也是方程的解.例 1.1、 = xydx解：当ywO时,有m= xdx,两边积分得到InMu + C (C为常数)X2所以y = C1e> G为非零常数Jie1 =±e.)y=o显然是原方程的解；综上所述,原方程的解为y = Ge, (G为常数)、形如 M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=O当P(x)N(y)wO时,可有色0dx=&以dy,两边积分可得结果；

2、 P(x) N(y)当N(y0) = O时,y=y0为原方程的解,当P(Xo)= O时,乂=%为原方程的解.例 1.2、x(y2 - l)dx+ y(x2 - l)dy = 0解：当(/一0(寸一1)工0时,有dy=、dx两边积分得到一 y- x* -1加卜2-1卜回吐T = 1nle| (C#0),所以有(xZ-IXpTAC (CwO)；当(好l)(y21) = 0时,也是原方程的解；综上所述,原方程的解为(X? - ixy2-i) = c (C为常数).可化为变量可别离方程的方程：、形如= g() dx x解法:令u = 2,那么dy=Ru+i出,代入得到x型+ u = g(u)为变量可别

3、离方程,得到 xdx精彩文档实用标准文案fu,KC = O C为常数再把代入得到f工xC = O C为常数 x、形如包= Gax+by,abwOdx解法：u = ax+by,那么dy=adx+du,代入得到J.剪+3 = gu为变量可别离方程, bb dx b得到fu,x,C = O C为常数再把代人得到fax+by,&C = O C为常数.、形如空=f(平+"+dx a2x+b2y+c2解法：1°、31 ?=0,转化为8 = G(ax+by),下同;a2 b2dx2°、ai aa2 b2.0,aiX+biy+Ci = 0的解为%,%,令U= X-Xov=

4、y-y0得到,手=f(处等)=f(+13_)=g(¥),下同;dua2u + b2va +b 丫 u .还有几类：yf(xy)dx+ xg(xy)dy = 0,u = xy)dy 、dy r/yx yx-=f(xy),v=xy 晟=亚乒)“5M(x.y)(xdx+ ydy) +N(x y)(xdy- ydx) = O,x = r cos&y=r sin©以上都可以化为变量可别离方程.例 2.1、dy _ x- y+5dx x- y-2解：令u=x-y-2,那么 dy=dx-du,代入得到 1 一些=" +7,有 udu = -7dx dx u所以上= -7

5、x+C C为常数,把代入得到xy-21+7x = C C为常数.例22包=壬1 dx x-2y+l解:12x-y+l = 0z x = -7 人 u 由 ?得到令4x-2y+l = 0y=£ v13:,有y-idy= dvdx = du精彩文档实用标准文案2- -dv 2u v I,vdt 2 t=-=-,令1 = 一,有dY=tdu + udtg 代入得到t + u =,化简du u - 2v . o v udu l-2ti - z 一得到,=ul-2t J d(l-t + t2)1-t + f)-dt = -有In% < + C2-2t + 2f 2(l-t + f) 1

6、12所以有u =/ G ,(g = ±5),故代入得到x+1=Vl-t + t23(C为常数),(3)、一阶线性微分方程：一般形式：a/x) +a0(x)y=h(x)dx标准形式：+P(x)y=Q(x)dx解法：1、直接带公式：c -fp(x)dx -(P(x)dxf (P(x)dx y = Ce J +e I eJQ(x)dx= e小(x)dx+C)2、积分因子法:y(x) =/«x)Q(x)dx+ C, (x) = J00"入3%+P(x)y=Q(x),y(小 方-f Pa)d,X f p(.&-fy = e &Qdt+y0)=ipa.例 3、

7、(x+l)-ny=ex(x+l)n+1dx解：化简方程为：-y=ex(x+l)n,那么P(x) = -,Q(x) = ex(x+l)n; dx x+1x+1代入公式得到4(x) = e-fP(x)dx = J-彳卢=(x+ l)n所以,y(x) = (x+ l)nj(x+ l)-nex(x+ l)ndx+ C = (x+ l)n(ex + C) (C为常黝 (4)、恰当方程：形如 M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0,3G(x, y),s.t. dG = M(工 y)dx+ N(x, y)dy解法：先判断是否是恰当方程：如果有色处.2 = 变 恒成立,那么原方程是个恰当方程,找出一

8、个 cy ex精彩文档实用标准文案G(x, y), s.t 坐辿=M(X, y),外义=N(x, y),exoy有 G(x,y) = C,(C 为常数)；例 4、(3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y+ 4y3)dy = 0解：由题意得到,M(x. y) = 3x2 + 6xy N(x, y) = 6x2y+ 4y3OM - 西= "xy=得到,原方程是个恰当方程;下面求一个 G(x, y), s.t 网区上=M(X, y),空 = N(x, y) Sxdy由= m(X, y) = 3x? + 6xy2 得G(x, y) = x3 + 3x2y? + 例y),两边对 y 求偏导得

9、到诙=6乂与+9'(丫) = 6乂2丫+473,得到 d(y) = 4y 有火y)=y4,故G(x,y)=x3+3xy + y4,由dG = O,得到x' + Bx + y4 =C,(C 为常数)(5)、积分因子法：方程M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0,3/(x, y), s.t./zNdy = 0是一个恰当方程,那么称(x,y)是原方程的积分因子；积分因子不唯一-oM cN当且仅当0 = x),原方程有只与X有关的积分因子,且为 N两边同乘以4(x,y),化为恰当方程,下同(4).5M oN当且仅当 = y),原方程有只与y有关的积分因子,且为(x,y) =

10、efM'"y, -M两边同乘以n(x,y),化为恰当方程,下同(4).例 5.1、(ex + 3y2)dx+ 2xydy = 0精彩文档实用标准文案解：由 M(x,y) = ex + 3y2,N(x, y) = 2xy 得 - = 6y-2y = 4y ,且有 dy Sx5N0_冬= 0(x) = 2 ,有(x,y) = J,* = x2 ,原方程两边同乘 火,得到 Nxx2(ex + 3y2)dx+ 2x3y d y 0,化为 d(x2 - 2x+ 2)ex + x3y2) = 0,得到解为(x2-2x+ 2)ex + x3y2 = C,(C 为常数)例 5. 2、ydx-

11、(x+ y3)dy= 0解:由题意得到,M(x,y)= y,N(x,y) = -(x+y3),有曳一变=1一(一 1) = 2Oy 5xoM 5N上与 改“、2 士 /、 p(y)dy卜：的_)_ . xa_-2 ,日有=0(y)= -一,有(尤y) = eJ =e y = y -,原方程两边同乘y 一,得一 Myax z x、 “X y-、八得到原方程的解为:到一十 (一-T-y)dy=d(-) = 0,y yy 22E 5 = c,(c为常数)y 2(6)、贝努力方程：形如包 + P(x)y = Q(x)y.dx解法：令口=炉心,有du = Q-n)y-ndy,代入得到四十 Q-n)P(x

12、)u = Q-n)Q(x),下同(3)例 6、 = 6 -xy2-U=x,那么P(x) = 9,Q(x)= x,dx x解：令口=丫-1有du = y-/y,代入得到卷+r2 c有"(x) = eJP0g = x6, u(x) = x-6fx6 -xdx+C = +(C为常数),把代人得J8 x到1=工+冬,仁为常数).y 8 x(7)、一阶隐式微分方程：一般形式：F(x,y,y) = O,解不出y'的称为一阶隐式微分方程.精彩文档下面介绍四种类型: (i)y= f(xy')实用标准文案(2)x= f(y, y) (3) F(x, y) = 0(4) F(y, y)

13、= 0、形如y= f(x,), dx一般解法：p =电,代入得到y= f(x,p),两边对*求导得到p = +四曳,这是 dx永 印dx关于X, p的一阶线性微分方程,仿照(3),1、得出解为p = 4C),C为常数,那么原方程的通解为y= f(x,ac),c 为常数2、得出解为x=p,C),C为常数,那么原方程的通解为,c为常数f X=0(p,C)y= f(穴 p,c),p)3、得出解为(x,p,C) = 0,C为常数,那么原方程的通解为I火KP'C)= °,c为常数I y= f(4p)、形如x= f(y,)dv1dp一般解法：令p = ",代入有x=f(y,p)

14、,两边对y求导,得到一 = = + =1,此方 dxp cy cp dy程是一阶微分方程,可以根据以上一求出通解(y,p,C) = 0,C为常数,那么原方 程的通解为t(yqc)=°c为常数I x= f(y,p)、形如F(x,y') = 0一般解法：设1 X= "),«为参数),dy= /dx=如泄(t)dt ,两边积分得到 y = 4)y = J欢t)d(t)dt + C,C为常数,于是有原方程的通解为.y=J-(t)dt+c,c 为常数x=9(t)精彩文档实用标准文案、形如F(y,y') = O一般解法：设！、=如,«为参数,由关系式

15、dy=y'dx得(t)dt = t)dx,有 y =如)dx=dt,两边积分得到x=J瑞dt + C, C为常数,于是有 卜J鬻"+上c为常数 丫=如)例 7.1 xy'3 = 1 + y'解：p=y',得到x=、?,两边对y求导,得到！=(3 3(lP)孚, PP P P dy7373有dy=(二My)dp,得到y=：+ c,C为常数,于是通解为 p- pp 2p-1+ p x=r7 P ,c为常数 y=：+kcP 2P例72 y = y2ey解：p=y得到y =,两边对*求导,得到p = (p? + 2p)eP半,有dxdx=(p + 2)epdp

16、,两边积分得到x=(p + l)eP+C,C为常数,于是通解为个晨为常数例 7.3 x2 + y2 = 1X = costcow2t 1解：设4 ,.,有dy= y'dx=sint(-sint)dt =-dt,所以y =sint2随至一,+ 为常数42于是通解为精彩文档实用标准文案sin2t ty=z 一5+c,c 为常数 x= cost例 7.4 y2(l-y2) = ly = siiit,.上解：设1,有dx=g=s i dt = - = d(-tant),所以 y = y cos_1 sint cos-1costx=-tant + C,C 为常数于是通解为x = -tant+ C1,c为常数Icost(8)、里卡蒂方程：一般形式： = p(x)y2+Q(x)y+R(x) dx一般解法：先找出一个特解y0(X),那么令y=y0+L,有学=学一 士生,代入原方 z dx dx 7T dx程得到 学-3 半=P(x)(y° + -)2 + Q(x)(y.+ 3 + R(x), dx z dxzz化简得到 关+(2P(x)y0 + Q(x)z+P(x) = 0,为一阶线性微分方程,解出z(x) = %C),C 为常数那么原方程的通解为y=为常数 奴LC